基于數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)例析

謝孝順

【摘要】數(shù)學(xué)文化作為一種特殊的文化形態(tài)，已經(jīng)得到了數(shù)學(xué)界和數(shù)學(xué)教育界的廣泛重視.近年來，隨著信息技術(shù)的發(fā)展、數(shù)學(xué)課程的不斷改革，表明數(shù)學(xué)素養(yǎng)在數(shù)學(xué)教育中的地位越來越突出，同時也說明了數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教育中扮演的角色也越來越重要.基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)該是聯(lián)系數(shù)學(xué)文化理論與實(shí)踐研究的一種方式，對其深入探究可以促進(jìn)數(shù)學(xué)文化理論在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中的滲透.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化；教學(xué)設(shè)計(jì)；函數(shù)

數(shù)學(xué)文化作為一種特殊的文化形態(tài)，已經(jīng)得到了數(shù)學(xué)界和數(shù)學(xué)教育界的廣泛重視.近年來，隨著信息時代的發(fā)展、數(shù)學(xué)課程的不斷改革，表明數(shù)學(xué)素養(yǎng)在數(shù)學(xué)教育中的地位越來越突出，同時也說明了數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教育中扮演的角色也越來越重要.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》在“課程的基本理念”中指出，數(shù)學(xué)教育應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值[1]，而體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值實(shí)質(zhì)上就是在數(shù)學(xué)教育中，不僅僅要注重?cái)?shù)學(xué)知識的教育，更重要的是注重知識背后蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思維過程、背景、發(fā)展脈絡(luò)和數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神等的教育，即數(shù)學(xué)文化教育[2][3][4].《九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》明確提出，數(shù)學(xué)課程應(yīng)反映數(shù)學(xué)文化，并要求以滲透的方式融入數(shù)學(xué)課程當(dāng)中.那么如何讓數(shù)學(xué)教學(xué)充滿活力，特別是在當(dāng)前提倡發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的背景下，如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中更好地融入數(shù)學(xué)文化，做到數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)文化的和諧統(tǒng)一，數(shù)學(xué)知識與人的全面發(fā)展相結(jié)合，從而更好地促進(jìn)數(shù)學(xué)教育的發(fā)展，是擺在我們每一個數(shù)學(xué)教育工作者，特別是一線數(shù)學(xué)教師面前一個重要的課題.本文擬從兩個方面闡述，如何在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中真正融入數(shù)學(xué)文化.

一、數(shù)學(xué)教學(xué)“教什么”

現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教學(xué)存在的若干個困惑，主要表現(xiàn)在三個方面：（1）數(shù)學(xué)概念教學(xué)的困惑；（2）學(xué)生形成個人的數(shù)學(xué)觀與其成長的困惑；（3）《課標(biāo)》與高考應(yīng)試之間對應(yīng)的困惑.

教育部在《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》中闡明，高中教學(xué)應(yīng)積極培育學(xué)生的社會主義核心價值觀，充分發(fā)揮高考命題的選拔功能和育人功能，同時也要增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核，比如，在數(shù)學(xué)中增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容.筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是知識層面，更重要的是思想方法層面、精神層面和知識的生成過程，即數(shù)學(xué)文化應(yīng)該滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)中，只有這樣才符合現(xiàn)代教育的發(fā)展理念[5].因此，可以說數(shù)學(xué)文化能夠決定和影響數(shù)學(xué)教學(xué)，其主要表現(xiàn)在兩個方面：（1）決定“教什么”；（2）影響“如何教”.

決定“教什么”，從宏觀方面看，就是要符合高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)；從微觀方面看，就是要能夠?qū)崿F(xiàn)高中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)目標(biāo).而判斷課堂教學(xué)是否真正高效的標(biāo)準(zhǔn)，是要看教師在教學(xué)中是否能引導(dǎo)學(xué)生積極探索，學(xué)生思維是否受到了有效的啟迪，學(xué)生分析問題、解決問題的能力是否能有所提高，學(xué)生的鉆研品質(zhì)是否能得到培養(yǎng).因此，在課堂教學(xué)中不僅僅要注重?cái)?shù)學(xué)知識的傳授，更重要的是對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).特別是數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從日常生活中的實(shí)例入手，通過有關(guān)的實(shí)物、圖示、模型等，在學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷從感性認(rèn)識到理性理解的轉(zhuǎn)變，從而自然地引入概念，使學(xué)生對概念有深刻的認(rèn)識，同時讓我們的教學(xué)目標(biāo)水到渠成.下面以“函數(shù)的概念”中的教學(xué)片斷為例簡要說明.

函數(shù)的概念是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，其本質(zhì)是從一個非空數(shù)集到另一個非空數(shù)集的特殊對應(yīng)，它揭示了現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系之間相互依存和變化的實(shí)質(zhì)，是描述客觀世界中變量間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中指出，函數(shù)概念的教學(xué)應(yīng)通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步讓學(xué)生體會函數(shù)是描述變量之間的一種重要的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用，了解構(gòu)成函數(shù)的要素；從學(xué)生已掌握的具體函數(shù)和函數(shù)的描述性定義入手，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自己的生活經(jīng)歷和實(shí)際問題，嘗試通過列舉不同的函數(shù)，從而構(gòu)建函數(shù)的一般概念[6].因此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

1.正確理解函數(shù)的概念，能用集合與對應(yīng)語言描述具體函數(shù).通過實(shí)例分析，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.

2.理解函數(shù)的三要素，會判斷兩個函數(shù)是否相等，認(rèn)識函數(shù)概念的整體性.

3.理解符號f（x）的含義，能解釋y=f（x）與y=f（a）的區(qū)別與聯(lián)系.體會函數(shù)思想、代換思想.

4.通過學(xué)生親身經(jīng)歷，由特殊到一般的研究過程，培養(yǎng)學(xué)生類比與聯(lián)想的學(xué)習(xí)能力.提高學(xué)生的抽象概括、分析總結(jié)、數(shù)學(xué)表達(dá)等基本數(shù)學(xué)能力，同時培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑、探究精神.

初中函數(shù)的概念比較直觀，本節(jié)課函數(shù)的概念較為抽象，高一學(xué)生的思維水平還不善于把抽象概念和具體實(shí)例聯(lián)系起來.因此，在教學(xué)中，需要幫助學(xué)生建構(gòu)情境，便于學(xué)生理解函數(shù)是從集合到集合的一個對應(yīng)關(guān)系.但是，短短的45分鐘要讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)定義發(fā)展史上一百多年的探究歷程，學(xué)生獨(dú)立完成起來很困難.在教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的心理特征和認(rèn)知規(guī)律，以問題為主線，以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)的教學(xué)理念，通過一系列的設(shè)問、引導(dǎo)、啟發(fā)、發(fā)現(xiàn)，從而引領(lǐng)學(xué)生歸納概括出函數(shù)概念的本質(zhì).筆者認(rèn)為，本節(jié)課要想達(dá)到預(yù)設(shè)的效果，在教學(xué)過程中必須向?qū)W生解釋清楚以下幾個疑問.（1）怎么從初中概念出發(fā)得到高中函數(shù)概念？（2）對應(yīng)法則是指什么？（3）為什么要引入函數(shù)符號？

教學(xué)片斷一

教師：我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)，就函數(shù)這個內(nèi)容，你還有哪些印象呢？（學(xué)生躍躍欲試）

問題1：根據(jù)初中學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念，你能舉出幾個函數(shù)的具體例子嗎？（直接引入，留給學(xué)生思考時間）

在學(xué)生回答基礎(chǔ)上繼續(xù)問：你為什么認(rèn)為你舉的是一個函數(shù)的例子？

設(shè)計(jì)意圖：通過具體實(shí)例，激活學(xué)生的原有知識，形成學(xué)生的“再創(chuàng)造”欲望.目的是在學(xué)生對初中所學(xué)函數(shù)概念的認(rèn)知基礎(chǔ)上，讓學(xué)生感受函數(shù)概念的本質(zhì)，即對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng).通過此問題來刺激學(xué)生大腦，活躍課堂，并培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

教師：同學(xué)們舉的例子非常好，那么大家能否對教材的實(shí)例1做出判斷？

問題2：一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26 s落到地面擊中目標(biāo)，炮彈的射高為845 m，且炮彈距地面的高度h（單位：m）隨時間t（單位：s）變化的規(guī)律是h=130t-5t2，那么炮彈距離地面的高度h是時間t的函數(shù)嗎？為什么？

生1：對于任一個給定的時間t，都有唯一確定的高度h跟它相對應(yīng)，因此，h是t的函數(shù).

教師：很好，那給一個具體的時間t，你怎么得到與之相對應(yīng)的高度？

生2：通過h=130t-5t2.

教師：你能說出t=1 s，5 s，10 s，50 s時對應(yīng)的高度h嗎？

生3：t=1 s時，h=125 m；t=5 s時，h=525 m；t=10 s時，h=800 m.由于炮彈在26 s時已經(jīng)落到地面爆炸了，因此，在t=50 s時沒有高度跟它對應(yīng)了.

教師：那能否說任何一個時間t，都有唯一確定的高度h與之對應(yīng)？

生4：對于0 s～26 s之間的每一個時間t，通過h=130t-5t2，都有唯一確定的高度h跟它相對應(yīng).

教師：0 s～26 s是我們生活中的語言，其實(shí)我們可以用數(shù)學(xué)語言——集合來表示這個范圍，你能說出這個集合嗎？

生5：A={t|0≤t≤26}.

教師：那么高度h也應(yīng)該是一個范圍，也能用集合表示嗎？

生6：B={h|0≤h≤845}.

教師：下面我們能否用集合的語言來描述這個實(shí)例中的對應(yīng)關(guān)系？

生：對于集合A中的每一個時間，集合B中都有它的130倍減去它平方的5倍與它對應(yīng).

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在初中階段，已經(jīng)學(xué)習(xí)了用變量觀點(diǎn)描述的函數(shù)的概念，并具體研究了幾類簡單的初等函數(shù)，對函數(shù)有了一定的感性認(rèn)識.另一方面，在第一章已經(jīng)學(xué)習(xí)了集合，為學(xué)習(xí)用集合和對應(yīng)的語言描述的函數(shù)的概念打下了基礎(chǔ).以上知識為函數(shù)概念學(xué)習(xí)，提供了認(rèn)知基礎(chǔ).同時，這一年齡段的學(xué)生，普遍思維活躍、求知欲較強(qiáng)、自我表現(xiàn)欲望較強(qiáng).以上因素為本節(jié)課教學(xué)提供了非認(rèn)知基礎(chǔ).本例題具有承上啟下的作用：既是對初中已學(xué)函數(shù)概念的進(jìn)一步深入，又是為下一步用集合的語言刻畫函數(shù)概念的本質(zhì)埋下伏筆.此外，本例題符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，化抽象為直觀，學(xué)生容易理解.

二、數(shù)學(xué)教學(xué)“怎么教”

在新課程背景下，課堂是師生成長、發(fā)展的主陣地，它強(qiáng)調(diào)了以人為本，以學(xué)生的發(fā)展為本，一切為了學(xué)生，為了一切學(xué)生，為了學(xué)生一切的課程理念.因此，現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該倡導(dǎo)學(xué)生的自主探究、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等多元的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，把“課堂交給學(xué)生”，真正實(shí)現(xiàn)“不教而教”的終極目標(biāo).但這并不是否定教師的主導(dǎo)作用，而是更強(qiáng)調(diào)教師要時時調(diào)控與把握課堂，讓數(shù)學(xué)文化融入其中，讓教與學(xué)兩者處于最佳狀態(tài)，從而真正實(shí)現(xiàn)“高效課堂”[7].那么在平時的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們的數(shù)學(xué)教師如何教，怎樣引導(dǎo)學(xué)生學(xué)、怎樣幫助學(xué)生才能真正體現(xiàn)學(xué)生是教學(xué)的主體.教師作為教學(xué)活動的組織者、引導(dǎo)者和參與者，是我們每一個高中數(shù)學(xué)教師的事業(yè)追求目標(biāo)和職業(yè)狀態(tài)，這也正好體現(xiàn)了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和數(shù)學(xué)本身發(fā)展的規(guī)律[8].

教學(xué)片斷二

問題3：近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而，出現(xiàn)了臭氧層空洞問題.下圖的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞面積從1979—2001年的變化情況，那么臭氧層空洞面積S是時間t的函數(shù)嗎？為什么？

生1：面積S是時間t的函數(shù)，因?yàn)閷τ诿恳粋€確定的t值，都有唯一確定的一個面積S跟它對應(yīng).

教師：好，那給一個具體的時間t，你怎么得到與之相對應(yīng)的面積S？

生2：根據(jù)圖像.

教師：那你能說出2001對應(yīng)的面積嗎？

生3：26.

教師：前面問題2中的對應(yīng)關(guān)系是用解析式表示的，那這個問題中的對應(yīng)關(guān)系是用什么表示的？

生4：用圖像表示的.

教師：好，那么是不是對任何一個時間t，通過圖像，都有一個面積S與它對應(yīng)呢？

生5：不是，對于1979～2001之間的每一個時間，都有唯一的面積S與它對應(yīng).

教師：很好，如何用集合來表示時間這個范圍.

生6：A={t|1979≤t≤2001}.

教師：同樣的，那面積S也是一個范圍，怎么用集合表示？

生7：B={S|0≤S≤26}.

教師：你能用集合的語言描述一下這個對應(yīng)關(guān)系嗎？

生8：對于集合A中的每一個時間t，集合B中都有唯一的面積S與它對應(yīng).

教師：那么集合B可以是B={S|0≤S≤30}嗎？

生9：可以.

教師：那集合B可以是{S|0≤S≤24}嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生參與學(xué)習(xí)過程，體驗(yàn)圖像是一種記錄兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系的語言，進(jìn)一步提高學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題的能力.

教師：我們學(xué)習(xí)過很多的數(shù)學(xué)概念，當(dāng)我們認(rèn)識到概念的本質(zhì)屬性以后，我們并沒有停止，這些數(shù)學(xué)概念往往都沉淀成一個數(shù)學(xué)符號.如某個銳角的正弦，我們發(fā)現(xiàn)不管在那個直角三角形中，只要這個角的大小一定，那么這個角的對邊比斜邊都不變，我們把這個定值稱為這個銳角的正弦，那么這兩個實(shí)例的共同屬性是不是也可以用一個符號來表示？

教師板書：f：A→B，即x→y=f（x）.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)中的概念通常是用符號來表示的.學(xué)生總結(jié)兩個實(shí)例的共同屬性，能夠認(rèn)識到函數(shù)的本質(zhì)，這時及時地引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生把符號和它所代表的實(shí)質(zhì)內(nèi)容聯(lián)系起來，使學(xué)生在看到符號時就能夠聯(lián)想起符號所代表的本質(zhì)特征，從而可以提高學(xué)生的抽象能力、概括能力.

構(gòu)建函數(shù)的概念：

設(shè)A，B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f（x），x∈A其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域；x與的值相對應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫作函數(shù)的值域[9].

總之，基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)立足于數(shù)學(xué)教育本質(zhì)，通過建立數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)史（或數(shù)學(xué)文化史）、社會文化、數(shù)學(xué)應(yīng)用、民族傳統(tǒng)等的聯(lián)系，將數(shù)學(xué)本質(zhì)與學(xué)生主體的經(jīng)驗(yàn)有機(jī)地融合.同時數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是數(shù)學(xué)知識的傳授，還要發(fā)掘蘊(yùn)涵于知識之中的精神、思想和方法，發(fā)揚(yáng)它的文化教育價值，使其能夠在學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成方面，發(fā)揮積極的作用，從而促進(jìn)學(xué)生文化素質(zhì)的全面提高[10].

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