高數(shù)微積分思想的實(shí)踐運(yùn)用分析

張哲龍

【摘要】微積分是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，是高等數(shù)學(xué)的精髓和靈魂.隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，高數(shù)微積分思想在生活中的運(yùn)用不斷得到普及，為各個(gè)領(lǐng)域和學(xué)科的問(wèn)題的解決提供了便利.

【關(guān)鍵詞】高數(shù)；微積分思想；實(shí)踐運(yùn)用

一、高數(shù)微積分思想的基本理念簡(jiǎn)介

微積分是高等數(shù)學(xué)的重要分支，是建立在實(shí)數(shù)、函數(shù)以及極限等數(shù)學(xué)板塊的基礎(chǔ)之上的，它是以研究函數(shù)變化規(guī)律為目的的一門基礎(chǔ)學(xué)科，主要運(yùn)用到的數(shù)學(xué)工具就是微分和積分.

（一）微分的基本思想

微分是對(duì)函數(shù)的局部變化率的一種線性描述.微分學(xué)的基本思想是“無(wú)限細(xì)分”和“等效替代”.其幾何意義可以這樣來(lái)表述：設(shè)函數(shù)y=f（x），假設(shè)函數(shù)上有一點(diǎn)A，當(dāng)點(diǎn)A在沿著橫坐標(biāo)移動(dòng)Δx時(shí)，其在縱坐標(biāo)上的變化范圍為Δy.特別的是，當(dāng)A的移動(dòng)范圍足夠小時(shí)，A點(diǎn)的縱坐標(biāo)的變化值Δy與該點(diǎn)的切線的變化距離dy之間的差值|Δy-dy|比|Δy|要小得多，于是便可以將A點(diǎn)附近的一個(gè)切線段用來(lái)近似替代原函數(shù).運(yùn)用微分近似替代的思想可以使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，提高解決問(wèn)題的效率.

（二）積分的基本思想

積分是在確定函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)基礎(chǔ)上通過(guò)一定的數(shù)學(xué)方法對(duì)原函數(shù)進(jìn)行求解的過(guò)程.微分是對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)過(guò)程，于是又可以將積分看成是微分的一個(gè)逆向過(guò)程.積分還可以分為兩部分.第一種，是單純的積分，也就是已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)，而若F（x）的導(dǎo)數(shù)是f（x），那么F（x）+C（C是常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)也是f（x），也就是說(shuō)，把f（x）積分，不一定能得到F（x），因?yàn)镕（x）+C的導(dǎo)數(shù)也是f（x），C是任意的常數(shù)，所以f（x）積分的結(jié)果有無(wú)數(shù)個(gè)，是不確定的，一律用F（x）+C代替，這就稱為不定積分.而相對(duì)于不定積分，還有定積分，它積分后得出的值是確定的，是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)函數(shù).同時(shí)對(duì)于多元函數(shù)而言，還會(huì)有二重積分、三重積分等，其解決問(wèn)題的基本思想都是通過(guò)積分的“無(wú)限求和”來(lái)進(jìn)行的.

二、高數(shù)微積分思想解決實(shí)踐問(wèn)題的重要性

（一）提高問(wèn)題解決的效率

作為高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，微積分的思想方法可以很好地運(yùn)用到經(jīng)濟(jì)、管理活動(dòng)中去，提高其在數(shù)據(jù)運(yùn)算上的效率，減少因?yàn)橐揽咳斯び?jì)算帶來(lái)的時(shí)間和資源的浪費(fèi)，提高資源的利用效率和數(shù)據(jù)運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

（二）提高決策的科學(xué)性

將微積分思想運(yùn)用于人們的生活實(shí)踐中，可以促使人們?cè)谄鋰?yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維和規(guī)范的數(shù)學(xué)體系中做出科學(xué)和準(zhǔn)確的判斷和決策.例如，對(duì)于企業(yè)的管理人員來(lái)說(shuō)，正確的決策對(duì)于企業(yè)的發(fā)展有著很好的促進(jìn)作用，而一旦由于個(gè)人主觀或者經(jīng)驗(yàn)所產(chǎn)生的錯(cuò)誤決策，將會(huì)給企業(yè)帶來(lái)嚴(yán)重的經(jīng)營(yíng)問(wèn)題，阻礙企業(yè)的發(fā)展.所以企業(yè)管理者在進(jìn)行決策時(shí)要借助微積分這一數(shù)學(xué)工具，得出科學(xué)的決策結(jié)論.

三、高數(shù)微積分思想在實(shí)踐中的具體運(yùn)用案例

（一）在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的運(yùn)用

在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，高數(shù)微積分的運(yùn)用較為普遍，主要用于解決邊際需求、邊際收益、邊際成本和邊際利潤(rùn)、彈性分析等問(wèn)題.企業(yè)管理者經(jīng)常會(huì)運(yùn)用微積分思想來(lái)解決企業(yè)生產(chǎn)成本最低、利潤(rùn)最大化的問(wèn)題，從而促進(jìn)企業(yè)收益的提高.以下將用一個(gè)具體的例子進(jìn)行闡述.

某企業(yè)的產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為f（x）=100+2x，其中x表示企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量，其生產(chǎn)的固定成本為f（x0）為1 000元，該公司產(chǎn)品的售價(jià)為500元，那么，假設(shè)企業(yè)想要獲得最大的收益，該怎么進(jìn)行生產(chǎn)安排？

可以運(yùn)用微積分的思想進(jìn)行解題：企業(yè)的成本函數(shù)為f（x）=∫x0（100+2x）+1 000+dt，總收益函數(shù)為R（x）=500x，接下來(lái)便可以利用微分思想確定利潤(rùn)最大化時(shí)企業(yè)的生產(chǎn)產(chǎn)量，企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)L（x）=R（x）-f（x）=-x2+400x-1 000，令L′（x）=0，由此便可以得出企業(yè)的利潤(rùn)最大化下的產(chǎn)量為200件，與之對(duì)應(yīng)的最大利潤(rùn)為3 900元.

（二）在物理教學(xué)中的運(yùn)用

微積分在一定程度上是產(chǎn)生于物理，微積分誕生的標(biāo)志就是牛頓提出的“流數(shù)術(shù)”，因此，微積分與生俱來(lái)就被用于解決許多物理問(wèn)題.微積分思想中的“無(wú)限逼近”等對(duì)于解決物理教學(xué)中所涉及的瞬時(shí)速度、加速度以及位移公式的推導(dǎo)具有重要作用.微積分運(yùn)用在物理解題中也主要有兩種方法：一是取消元，即將陌生和較為困難的物理過(guò)程劃分成若干個(gè)趨于無(wú)限小的微元，從而將每個(gè)元過(guò)程劃分成為熟悉和易于理解的過(guò)程；二是在物理解題中一般采取將若干個(gè)元過(guò)程進(jìn)行累加的求和方式，提高解題的效率.

（三）在其他學(xué)科中的運(yùn)用

微積分的思想在其他學(xué)科中也有比較廣泛的運(yùn)用.最明顯的就是在幾何教學(xué)中的運(yùn)用，在求曲線的斜率和函數(shù)增量的近似值中都可以很好的利用微積分的思想來(lái)解題；其次，在醫(yī)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，利用高數(shù)微積分思想可以很好地計(jì)算一定時(shí)間內(nèi)細(xì)菌等的繁殖數(shù)量，提高醫(yī)學(xué)實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性；微積分思想同樣可以運(yùn)用到航空航天技術(shù)中，微分的求導(dǎo)和積分求原函數(shù)都可以對(duì)航天設(shè)備的運(yùn)行速度等進(jìn)行很好的監(jiān)測(cè)和控制，促進(jìn)航天技術(shù)的發(fā)展.

四、結(jié)束語(yǔ)

在現(xiàn)代化生活中，數(shù)學(xué)思維已經(jīng)滲透在了人類生活的各個(gè)角落，微積分思想被廣泛應(yīng)用于物理、化學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、天文學(xué)、力學(xué)、醫(yī)學(xué)、生活學(xué)、計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域.隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，借助計(jì)算機(jī)將進(jìn)一步提高微積分思想在各學(xué)科及實(shí)際生活當(dāng)中的應(yīng)用，這些實(shí)踐應(yīng)用是科技發(fā)展、社會(huì)進(jìn)步的重要表現(xiàn).

【參考文獻(xiàn)】

[1]王嬌.淺談高數(shù)微積分思想及其在實(shí)踐中的應(yīng)用[J].科技視界，2015（14）：167.endprint