在初中生的心靈播種“極限思想”方法

康聰

在素質(zhì)教育的今天，教師教育教學(xué)的重點(diǎn)是傳播數(shù)學(xué)思想方法，增加學(xué)生的數(shù)學(xué)課程整體性，而數(shù)學(xué)思想的形成具有階段性，教師根據(jù)學(xué)生在各個(gè)年齡段間的認(rèn)知結(jié)構(gòu)把數(shù)學(xué)思想逐步滲透.那么教材在數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中適當(dāng)?shù)慕榻B數(shù)學(xué)知識(shí)非常有益于學(xué)生的思維的發(fā)展.極限是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間連接的橋梁，在中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程之中滲透極限思想，可以讓學(xué)生在還沒(méi)有真正面臨高等數(shù)學(xué)中的極限問(wèn)題之前，就能夠先在一定程度上了解極限思想.極限思想能夠幫助學(xué)生靈巧地記憶某些數(shù)學(xué)公式，解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

一、圓周率與無(wú)理數(shù)

在小學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中，是將圓分割為無(wú)窮多個(gè)相同的近似小三角形，并拼成近似的平行四邊形而得到的，由于小學(xué)知識(shí)的局限，在圖形的認(rèn)識(shí)上只接觸了三角形和平行四邊形，還不是很全面.

劉徽的割圓術(shù)，是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無(wú)限逼近圓的面積并以此求取圓周率的方法，由圓內(nèi)接正六邊形算起，逐漸把邊數(shù)加倍，算出正12邊形、正24邊形、正48邊形、正96邊形，計(jì)算出π=3.14.由此提出：“割之彌細(xì)，所失彌少；割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”.劉徽可以說(shuō)在世界上第一次把極限思想引入數(shù)學(xué)證明，使之成為數(shù)學(xué)方法.

劉徽之后祖沖之也對(duì)圓周率進(jìn)行了研究得到π介于3.141 592 6與3.141 592 7之間的8位正確的可靠數(shù)學(xué)，不僅在當(dāng)時(shí)是最精密的圓周率，直到1924年，被阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西超越，并且發(fā)現(xiàn)π是無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)——無(wú)理數(shù).

進(jìn)入初中階段，會(huì)繼續(xù)領(lǐng)略數(shù)學(xué)“極限思想”的光芒.

二、不可公度線段與無(wú)理數(shù)

人們很早就發(fā)現(xiàn)的無(wú)理數(shù)，它與不可公度線段，面積的計(jì)算以及方程的求解都有著不可分割的關(guān)系.在初中階段，在了解無(wú)理數(shù)之后，將繼續(xù)學(xué)習(xí)無(wú)理數(shù).在初中數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)的方式上，先讓學(xué)生從代數(shù)的角度上認(rèn)識(shí)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的概念區(qū)分，從而拓寬無(wú)理數(shù)概念的范圍.

不可公度是指不能表示為整數(shù)之間的比例關(guān)系的數(shù)，從我們熟知的勾股定理（在西方也稱畢達(dá)哥拉斯定理）說(shuō)起.在我國(guó)《周髀算經(jīng)》中記載，商高答周公：“勾廣三，股修四，徑隅五.”但是當(dāng)時(shí)并沒(méi)有給出證明.在西方畢達(dá)哥拉斯也發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理，將此定理表述為：另一個(gè)直角三角形的兩個(gè)直角邊和一個(gè)斜邊的邊長(zhǎng)分別為a、b和c，則有a2+b2=c2.由定理知，當(dāng)兩個(gè)直角邊邊長(zhǎng)分別為a=1和b=1，則斜邊長(zhǎng)為c=2.但是，2是不能表示為兩個(gè)整數(shù)之比的形式的.2的出現(xiàn)打破了古希臘人認(rèn)為的可以用整數(shù)或者整數(shù)之比度量一切事物的思想.

數(shù)學(xué)研究范圍無(wú)非是代數(shù)和幾何兩大內(nèi)容，這兩者組合在一起形成的題型——數(shù)形結(jié)合，這一類題目是初中階段最重要的題型，而極限思想無(wú)論在函數(shù)中的應(yīng)用，還是在幾何中的應(yīng)用都較為常見(jiàn).

三、多邊形的內(nèi)角和與圖形的認(rèn)識(shí)

在小學(xué)里，曾經(jīng)把一個(gè)三角形拼在一起，發(fā)現(xiàn)“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論，這一內(nèi)容在七年級(jí)下學(xué)期會(huì)繼續(xù)擴(kuò)充到：三角形內(nèi)角和等于180°與多邊形外角和等于360°的證明.

教材中，以“議一議”的方式呈現(xiàn).

如圖所示，在△ABC的邊AC所在的直線繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的過(guò)程中，直線AC與邊BC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)C1，C2，C3…當(dāng)直線AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AC′∥BC時(shí)，度量∠BAC′的度數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

顯然，教材中對(duì)三角形內(nèi)角和等于180°的證明借助于兩條平行直線BC∥AC′，當(dāng)直線BC∥AC′時(shí)，恰是直線AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的極限位置，此處是證明方法的精髓.

數(shù)學(xué)的極限思想是用發(fā)展的思想來(lái)看待和處理問(wèn)題的，教師要注重滲透極限思想，所謂極限思想，指的是一種思考和研究問(wèn)題的思想方法，是數(shù)學(xué)思想方法之一，今后要學(xué)習(xí)更加龐大的“極限”體系：高等數(shù)學(xué)，如微積分內(nèi)容，變量與不變的思想，有窮與無(wú)窮理論.極限從哲學(xué)角度上看有限與無(wú)限、直與曲、近似與精確等對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律，從中使學(xué)生理解極限思想，都蘊(yùn)含著大量的辯證思想.

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是刻畫(huà)自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語(yǔ)言和有效工具，而數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)研究活動(dòng)的根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)思想方法是在研究數(shù)學(xué)過(guò)程中所發(fā)現(xiàn)、發(fā)明、創(chuàng)新和其他創(chuàng)造性思維活動(dòng)的規(guī)律和方法，以及探索數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律的一門規(guī)律.數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的精髓，是數(shù)學(xué)的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法，是銘記在人們頭腦中起永恒作用的精神和觀點(diǎn)，它能使人們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，懂得數(shù)學(xué)價(jià)值，學(xué)會(huì)思考和解決問(wèn)題，它能把知識(shí)的學(xué)習(xí)、能力的培養(yǎng)和智力的發(fā)展有機(jī)結(jié)合起來(lái).徐斌艷認(rèn)為數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)課程的重要目的，是發(fā)展學(xué)生智力的關(guān)鍵，是培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)的基礎(chǔ)，也是一個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，滲透數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教師教學(xué)中的主要任務(wù)之一.

由此，數(shù)學(xué)思想的教育在教學(xué)中有不可忽視的作用，為了使學(xué)生增加數(shù)學(xué)課程整體性，在數(shù)學(xué)知識(shí)中適當(dāng)?shù)慕榻B簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)非常有益于學(xué)生的思維的發(fā)展.中小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)與掌握直接影響著繼續(xù)教育的路途.教材中如何引入，引入到什么程度，以及教師在什么方面有什么樣的應(yīng)用都是值得研究的問(wèn)題.endprint