摘要:本文對中點(diǎn)在線段中計算,三角形三邊的關(guān)系求解,三角形全等的證明,坐標(biāo)軸中的應(yīng)用等方面進(jìn)行探究。
關(guān)鍵詞:中點(diǎn)、應(yīng)用
一、中點(diǎn)在線段中的計算
例1:如圖C是線段AB的中點(diǎn),D是線段AC的中點(diǎn),已知圖中所有線段的長度之和為26cm,求線段AC的長度。
解:∵點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),∴AC=BC,AB=2AC,∵點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn),∴AD=DC,AC=2AD,∴AB=4AD
設(shè):AD=xcm則DC=xcm,AC=2xcm,AB=4xcm,BD=3xcm,BC=2xcm,x+x+2x+2x+3x+4x=26,13x=26,x=2,∴AC=4cm。
例2:點(diǎn)C在線段AB上,AC=8,CB=6,點(diǎn)M、N分別是AC、BC、的中點(diǎn)。①求線段MN的長;②若C為線段AB上任一點(diǎn),滿足AC+CB=a cm,點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn),你能猜想MN的長度嗎?并說明理由。③若C在線段AB的延長線上,且滿足AC-CB=b cm,M、N分別為AC、BC的中點(diǎn),你能猜想MN的長度嗎?請畫出圖形,寫出你的結(jié)論,并說明理由。
解:(1)∵點(diǎn)M、N為線段AC、BC的中點(diǎn),∴MC= AC,CN= CB,∴MC+CN=MN= (AC+CB)?!逜C=8、CB=6,∴MN=7。
(2) ∵點(diǎn)M、N為線段AC、BC的中點(diǎn),∴MC= AC,CN= CB,∴MC+CN=MN= (AC+CB)?!逜C+CB=a,∴MN= a。
(3) ∵點(diǎn)M、N為線段AC、BC的中點(diǎn)?!郙C= AC,CN= CB?!進(jìn)N=MC-NC= (AC-BC),AC-BC=b
∴MN= b。
二、中點(diǎn)在三角形三邊關(guān)求解中的應(yīng)用
例:在已知⊿ABC中:AB=6,AC=4,D是BC的中點(diǎn)求:AD的取值范圍?
解:延長AD到點(diǎn)F,使DF=AD,∵點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn),∴BD=DC。在⊿ADC 與⊿FDB中:AD=DF,∠ADC=∠FDB,CD=BD,∴⊿ACD≌⊿FBD (SAS),∴BF=AC。∵AB-BF 三、中點(diǎn)在圓中的應(yīng)用 例:⊙O的半徑是 5 cm,弦AB=8 cm,求圓心O到弦AB的距離。 解:過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C,連接OB?!逴C⊥AB,O為圓心,∴AC=BC= AB?!逜B=8,∴BC=4。在RT△OBC中: , 。 四、中點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用 如圖:在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)B(a,0),點(diǎn)C(0,a),點(diǎn)A在第一象限內(nèi),連接AB,過點(diǎn)A作AD⊥AB交Y軸于D,在射線AD上截取AE=AB,連接CE,F(xiàn)是CE的中點(diǎn),連接AF,OA,當(dāng)點(diǎn)A在第一象限內(nèi)運(yùn)動(AD不過點(diǎn)C)時,證明:∠OAF的大小不變。 證明: 延長AF到點(diǎn)H,使HF=AF,連接HC,OH ∵ 點(diǎn)F為CE的中點(diǎn),∴ CF=FE。在⊿CFH 與 ⊿EFA中:CF=EF、∠CFH=∠EFA、HF=AF,∴ ⊿CFH≌⊿EFA (SAS)、CH=EA、∠CHF=∠EAF?!摺螩HF=∠EAF,∴HC∥AD,∴∠HCD=∠CDA?!逜D⊥AB,∴∠DAB= 。∵∠ADO+∠DOB+∠OBA+∠BAD= ,∠DOA= ,∴∠ADO+∠OBA= ?!摺螦DO+∠CDA= ,∴∠CDA=∠OBA?!摺螲CD=∠CDA∴∠HCD=∠OBA,∵CH=EA,AE=AB,∴AB=CH。 在⊿CHO 與 ⊿BAO中:CH =AB、∠HCO=∠OBA、OC=OB?!啜SCHO≌⊿BAO(SAS)、HO=OA、∠HOC=∠AOB?!摺螦OC+∠AOB= ,∴∠AOC+∠HOC = ,∴∠AOH= ,∴⊿AHO 是等腰直角三角形,∴∠OAF= 不變。 了解了線段的中點(diǎn)的倍長中線,構(gòu)造垂直平分線,聯(lián)想“垂徑定理”等用法對中點(diǎn)的學(xué)習(xí)起到融會貫通,事半功倍的效果。 參考文獻(xiàn): 人民教育出版社,課程教材研究所 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心,《數(shù)學(xué)》(七年級 上冊)[M]人民教育出版社出版,2012