巧用“整體代入”數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問題

在解決數(shù)學(xué)問題的時候，有時不能直接解決問題，可以考慮使用“整體代入”數(shù)學(xué)思想方法解決問題，往往能起到事半功倍的效果。下面就我在教學(xué)中用“整體代入”數(shù)學(xué)思想方法解決的幾個數(shù)學(xué)問題。以此提供給大家參考，不妥之處請指正。

一、利用“整體代入”數(shù)學(xué)思想方法解決實際中方程組的求解

問題1.甲、乙兩人合作完成一項工程需24天，若乙先干10天后甲加入則需20天完成；問甲乙單獨完成這項工程各需多少天？

解：設(shè)甲、乙單獨完成這項工程過需x天，y天，依據(jù)意得； 。將①式代入②式得 ，解得y=60. 將y=60代入①式得x=40.經(jīng)驗根知：x=40是方程組的解。由此發(fā)現(xiàn)整體代入在解決問題中取到的功效顯而一見。

二、利用“整體代入”數(shù)學(xué)思想方法解決代數(shù)式的求值問題

在學(xué)習(xí)了代數(shù)式的化簡求值之后，對代數(shù)式的化簡求值，有時在不能直接求出代數(shù)式值的情況下，可以考慮使用”整體代入”數(shù)學(xué)思想解決問題。

問題2.已知 ，求 的值。分析：因為 ，所以 。兩邊同除以m得； ，于是 =25+2=27，

因此 +（ ）=1+27=28。利用“整體代入”數(shù)學(xué)思想方法解決與一元二次方程根與系數(shù)有關(guān)的代數(shù)式的求值問題。

問題3.設(shè)a、b是方程 的兩個實數(shù)根，求代數(shù)式 的值。

解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得a+b=-1，又因為a是方程 的實數(shù)根，所以 即： ，因此， = =2009+（-1）=2008

三、利用“整體代入”數(shù)學(xué)思想方法解決求三角形的周長問題

問題4. 如圖，Rt?ABC的內(nèi)切圓?O與兩直角邊AB、BC分別相切于點D、E，過劣弧DE（不包括端點D、E）上任一點P作?O的切線MN與AB、BC分別交于點M、N，若?O的半徑為r ，求Rt?MBN的周長。

解：由切線長定理可得.DM=PM，NP=NE.連接OD、OE，則四邊形ODBE是正方形。所以DB=BE=OD=OE=r，于是Rt?MBN的周長為：BM+BN+MN=BM+MP+BN+NP=BM +MD+BN+NEBD+BE=2 BD=2r。

四、利用“整體代入”數(shù)學(xué)思想方法解決求幾何中最小值問題

問題5.如圖，MN是?O的直徑，MN=2，點A在?O上，∠AMN=300，B為劣弧AN的中點，P為直徑MN上的一個動點，則PA+PB的最小值為____.

解：如圖，作點B關(guān)于MN的對稱點C點，連接AC、OA、OC，則（容易證明線段AC的長就是點P到A、B兩點距離之和的最小值）線段AC的長就是PA+PB的最小值.在?O中，∵∠AMN=300，B為劣弧AN的中點，∴∠AON=600，∠CON=300，∴∠AOC=900，于是在?AOC中，AC2=OA2+OC2=2，∴AC=

五、利用“整體代入”數(shù)學(xué)思想方法解決求圓環(huán)的面積問題

問題6.如圖，兩同心圓的圓心為O，大圓的弦AB切小圓于P點，AB=2 ，求圖中陰影部分（圓環(huán)）的面積.

解：連接OP、AO?！叽髨A的弦AB切小圓于P點，∴OP⊥AB，AP= ，∴AO2-PO2=AP2=6，∴圓環(huán)的面積為： AO2- PO2= AP2=6

六、利用“整體代入”數(shù)學(xué)思想方法解決求陰影部分的周長問題

問題7.如圖，已知正方形ABCD的對角線長為 ，將正方形ABCD沿直線EF折疊，求圖中陰影部分的周長。

解：∵正方形ABCD的對角線長為 ，即BD= ，∠A=900，AB=AD，∠ABD=450，∴AB=BD ，∴AB=BC=CD=AD=2.由圖形折疊的性質(zhì)得： ∴圖中陰影部分的周長為：

七、利用“整體代入”數(shù)學(xué)思想方法解決求函數(shù)的解析式問題

問題8. 如圖，A是反比例函數(shù) 的圖像上一點，點B、D在y軸正半軸上，?ABD是?COD關(guān)于點D的位似圖形，且?ABD與?COD的位似比是3：1，?ABD的面積為1，求反比例函數(shù)的解析式。

解.設(shè)D點的坐標(biāo)為（0，b），AB=a.∵?ABD ?COD∴ ，∴ ，∴A點的坐標(biāo)為 ，又因為?ABD的面積為1，∴ ，∴ab=6，又點A 在函數(shù) 的圖像上，k= ，∴反比例函數(shù)的解析式為： .