初中數(shù)學(xué)中的反證法

【摘要】 初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，傳統(tǒng)的教學(xué)方式及教學(xué)模式已經(jīng)無(wú)法滿足現(xiàn)階段學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中反證法屬于較為重要的一種證明教學(xué)方式，主要運(yùn)用于平面幾何的解題過(guò)程中。反證法的學(xué)習(xí)要求學(xué)生具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及推理能力，屬于教學(xué)過(guò)程中的教學(xué)難點(diǎn)之一，為了分析初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中反證法的應(yīng)用及作用，筆者針對(duì)反證法的基本概念及特征等進(jìn)行了分析。

【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué) 反證法 應(yīng)用方式

隨著新課程改革的發(fā)展及進(jìn)步，傳統(tǒng)、單一及枯燥的以教師為主導(dǎo)的教學(xué)方式已經(jīng)無(wú)法滿足現(xiàn)階段初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的需求，因此，有效地、新穎的、以學(xué)生為主導(dǎo)的教學(xué)方式顯得尤為重要。反證法屬于初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中具有自身特點(diǎn)的教學(xué)方式，能顯著提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率、解決問(wèn)題的能力及數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)[1]。

1.反證法的基本概念及種類(lèi)

a.反證法的基本概念：反證法主要是指不直接通過(guò)證明命題的結(jié)論進(jìn)行問(wèn)題的解決，而是采用先提出與結(jié)論相反的假設(shè)，然后逐步推理出與已知證明的定理、定義、題設(shè)相矛盾的結(jié)果，以這種方式證明與結(jié)論相反的假設(shè)無(wú)法成立，這種間接證明命題的方式叫做反證法，反證法就是通過(guò)確定與命題相反的命題的虛假，采用由假命題推出真命題的方式進(jìn)行論證的一種方式。b.反證法的基本種類(lèi)：反證法主要包括歸謬法、窮舉法兩種，歸謬法主要是針對(duì)原命題否定情形只有一種，只需要將此否定推翻就可以得出原命題結(jié)論正確的方式；而窮舉法主要是在原命題否定情形不止一種的狀態(tài)下，對(duì)否定情形進(jìn)行駁倒，最后得出原命題結(jié)論的正確的方式。

2.反證法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的應(yīng)用

2.1課堂教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生使用反證法

學(xué)生在剛開(kāi)始接觸反證法進(jìn)行學(xué)習(xí)、解題的過(guò)程中對(duì)于反證法中將結(jié)論的反面否定，肯定正面的這種思想及方式感到較為陌生，教師在教學(xué)過(guò)程中可以通過(guò)以學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)或生活過(guò)程中的相關(guān)事例進(jìn)行舉例教學(xué)，讓學(xué)生們明確反證法的教學(xué)方式，熟悉反證法的模式及主要的步驟等。學(xué)生在應(yīng)用反證法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，教師可以利用學(xué)生已經(jīng)熟悉掌握的知識(shí)點(diǎn)及例題引入進(jìn)來(lái)進(jìn)行講解，方便學(xué)生們進(jìn)行理解及運(yùn)用[2]。

如在進(jìn)行例題1解題過(guò)程中，已知問(wèn)題為求證0與1之間存在著無(wú)窮個(gè)有理數(shù)，證明這個(gè)命題的正確性？教師在進(jìn)行例題的教學(xué)過(guò)程中可以引導(dǎo)學(xué)生采用反證法進(jìn)行解題，證明的過(guò)程如下：假設(shè)0與1之間存在n各有理數(shù)，分別為a1、a2、a3、...an，將這些有理數(shù)相乘即可得出b=a1·a2·a3·..·an，根據(jù)有理數(shù)的積為有理數(shù)得出，b也應(yīng)該是0至1之間的有理數(shù)，故可以推理出在0至1之間有n+1個(gè)有理數(shù)，這與題目的相矛盾，所以，在0至1之間存在無(wú)窮個(gè)有理數(shù)是正確的。

2.2尋找針對(duì)性的例題，驗(yàn)證反證法的規(guī)律

在反證法的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)注意每一個(gè)具有代表性及針對(duì)性的例題，需要值得注意的是告知學(xué)生在建立新概念的基礎(chǔ)上引出新方式的例題，教學(xué)過(guò)程中應(yīng)利用具體的幾何事實(shí)將證明的過(guò)程逐一說(shuō)明，啟發(fā)學(xué)生們的規(guī)律性思考方式，運(yùn)用這種方式得出結(jié)論。

如：已知n為自然數(shù)，證明n2+n+2不能被15整除。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行規(guī)律的證明：假設(shè)n2+n+2能被15整除，那么也可以被5整除、被3整除，如果是5的倍數(shù)，則改數(shù)的尾數(shù)應(yīng)為5，由于n2+n+2=n（n+1）+2，當(dāng)尾數(shù)為5時(shí)，改數(shù)為奇數(shù)，但實(shí)際上尾數(shù)是偶數(shù)，相矛盾，則原命題屬于成立的，因此，n2+n+2不能被15整除。

2.3加強(qiáng)課后練習(xí)，培養(yǎng)反證法的驗(yàn)證能力

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)課堂，在學(xué)生初步掌握反證法的相關(guān)概念及使用方式后，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，多聯(lián)系才能鞏固及強(qiáng)化對(duì)反證法的掌握及運(yùn)用，提高學(xué)生運(yùn)用反證法證題的能力，教師應(yīng)在課堂練習(xí)或課后練習(xí)的過(guò)程中多尋找一些運(yùn)用反證法進(jìn)行解題的練習(xí)讓學(xué)生們進(jìn)行學(xué)習(xí)。練習(xí)應(yīng)具備針對(duì)性及重點(diǎn)應(yīng)突出，根據(jù)反證法的特點(diǎn)將練習(xí)的重點(diǎn)放在反設(shè)、歸謬及結(jié)論三個(gè)方面[3]。首先，反設(shè)就是直接將結(jié)論否定，這一步驟屬于反證法的第一步，否定結(jié)論這一步驟的正確性直接影響著反證法的的后續(xù)步驟，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)及時(shí)糾正學(xué)生喜歡否定假設(shè)的行為，告知學(xué)生反設(shè)的含義是將結(jié)論的反面作為假設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生先弄清楚需要證明的命題的題設(shè)及結(jié)論是什么？尋找結(jié)論的全部相反情況，在否定的過(guò)程中將“不”加在結(jié)論前面，將句子簡(jiǎn)化，反設(shè)過(guò)程中注意分析“至少一及至多一”的含義，找出結(jié)論反面的可能情況。

3.結(jié)語(yǔ)

在使用反證法進(jìn)行解題或分析的過(guò)程中首先應(yīng)提出假設(shè)，作出與所要求證的結(jié)論相反的假設(shè)，再由假設(shè)出發(fā)進(jìn)行推理，得出與定義、定理、概念及題設(shè)相矛盾的結(jié)論，根據(jù)矛盾得出假設(shè)不成立，即原求證結(jié)論是正確的這一結(jié)論。反證法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中作用較大，反證法的步驟很好理解及掌握，能簡(jiǎn)化證明過(guò)程，快速得出結(jié)論，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率及實(shí)際運(yùn)用能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 歐陽(yáng)秋霞.反證法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].當(dāng)代教育實(shí)踐與教學(xué)研究（電子刊），2016，10（4）：187-187.

[2] 閻平連.淺談反證法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].呂梁高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2002，18（1）：28-29.

[3] 陳莉莉.反證法在兩直線平行條件下的具體運(yùn)用[J].中學(xué)教學(xué)參考，2013，06（20）：50.