淺談“兩角差的余弦公式”之推導(dǎo)

數(shù)學(xué)思想方法的滲透，有助于我們理性數(shù)學(xué)思維能力的提高，從而提高我們?cè)趯?duì)問題進(jìn)行分析、解決的能力?！皟山遣畹挠嘞夜健痹谕茖?dǎo)過程中具有重要的教育價(jià)值，蘊(yùn)涵著換一個(gè)角度看問題的轉(zhuǎn)換思想，是數(shù)學(xué)家創(chuàng)造發(fā)明的法寶，也是我們進(jìn)行再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造活動(dòng)的探索方式。本文針對(duì) “兩角差的余弦公式的推導(dǎo)”章節(jié)進(jìn)行學(xué)習(xí)，分析并推導(dǎo)兩角差的余弦公式，實(shí)踐檢驗(yàn)。

筆者在近年來的各省數(shù)學(xué)高考試卷中發(fā)現(xiàn)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)考查數(shù)學(xué)教材中相關(guān)公式或定理的證明試題，比如證明兩角和的余弦公式及余弦定理等等。因而在學(xué)習(xí)“兩角差的余弦公式”這一章節(jié)時(shí)，較為注重對(duì)余弦公式生成及證明過程的學(xué)習(xí)。“兩角差的余弦公式”屬于《三角恒等變換》中出現(xiàn)的第一個(gè)公式，因而是推證其它公式的基礎(chǔ)，教材首先給出幾何法的推導(dǎo)證明，然后采用向量法對(duì)公式進(jìn)行推導(dǎo)及證明。現(xiàn)對(duì) “兩角差的余弦公式”的推導(dǎo)方式進(jìn)行如下分析。

1 公式推導(dǎo)

1.1動(dòng)手實(shí)踐推導(dǎo)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中強(qiáng)調(diào)動(dòng)手與動(dòng)腦并重的觀點(diǎn)，因此在學(xué)習(xí)的過程中可以在動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上推導(dǎo)兩銳角差的余弦公式。如圖 1所示：

用圖1 中兩塊三角板拼出不同角度，是否利用兩塊三角板拼出如圖2、圖3的圖形，并求出cos15°的值。并思考將上面45°及30°角改成銳角α與β，能否求出cos（α-β）值。

1.2 三角起源弦圖

《數(shù)學(xué)匯編》中曾給出如下命題，如圖4所示。將設(shè)H是以AB為直徑半圓上的一點(diǎn)，CE則是半圓在點(diǎn)H處的一條切線，其中CH=HE。EF與CD是AB的垂線，其中D、F為垂足，則表明AB·DF=（CD+EF）·CE，從中我們可以出的兩銳角差的余弦公式。

因而可以設(shè)∠HOF=α，∠COH=β，對(duì)∠EOF采用α及β來表示。進(jìn)而可以將OE=OC=1，然后表示sinα、cosα、sinβ、cosβ以及cos（α-β），根據(jù)此可以探究出cos（α-β）與sinα、cosα、sinβ、cosβ之間的關(guān)系。

通過推導(dǎo)，可以在學(xué)習(xí)的過程中了解數(shù)學(xué)也是一種文化，因而在學(xué)習(xí)的過程中可以適當(dāng)?shù)亓私鈹?shù)學(xué)史知識(shí)，從中領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，最終提高自身的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。由于三角學(xué)具有源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的歷史文化，主要起源于力法推算以及天文觀測(cè)，屬于幾何問題代數(shù)化的典型案例。因此，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程中融入三角學(xué)歷史知識(shí)，能夠使我們?cè)谔骄炕顒?dòng)中充滿濃郁的文化氣息，更好地掌握學(xué)習(xí)知識(shí)。

1.3 面積中隱含的變換

“兩角差的余弦公式”推導(dǎo)過程中通過各種奇妙的變換，可以在普通的圖形中找到其推導(dǎo)公式，如圖5所示。

2 角度范圍推廣

2.1 誘導(dǎo)公式化角變換

在三角學(xué)習(xí)的過程中，有一部分學(xué)生沒有重點(diǎn)關(guān)注到“誘導(dǎo)公式”強(qiáng)大功能，在解題的過程中僅僅只記住了“奇變偶不變，符號(hào)看象限”定義，僅僅要求能夠在解題的過程中熟練運(yùn)用誘導(dǎo)公式。但蘊(yùn)含于誘導(dǎo)公式中的數(shù)學(xué)本質(zhì)是“化角變換”，通過誘導(dǎo)公式可以將任意角轉(zhuǎn)化為0 ～ 2π之間的角， 并且能夠在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步將π/2～ 2π之間的角轉(zhuǎn)化為0 ～π/2之間的角。因此，通過誘導(dǎo)公式可以將“兩任意角差的余弦”轉(zhuǎn)化為 “兩銳角差的余弦”。

2.2 向量中變換

眾所周知，向量是聯(lián)系幾何、代數(shù)以及 三角之間的橋梁，屬于現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的工具，通過向量可以簡(jiǎn)單化一些復(fù)雜的問題。在人教版的教材中將《三角恒等變換》置于《平面向量》之后，并對(duì)“兩任意角差的余弦公式”采用向量數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行簡(jiǎn)潔證明。此證明過程是以運(yùn)動(dòng)、變化觀點(diǎn)來對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行研究，因而不僅能夠更好地促進(jìn)我們對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展，也能幫助我們逐步地學(xué)會(huì)采用辯證法的觀點(diǎn)對(duì)問題進(jìn)行思考、分析及解決。

3“兩角差的余弦公式”推導(dǎo)重要性

3.1 將課標(biāo)課程與大綱教材進(jìn)行比較可以得出，在對(duì)三角恒等變換這一章節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)的過程中，其內(nèi)容及理念均發(fā)生了較大的變化。在學(xué)習(xí)完三角函數(shù)后，便開始學(xué)習(xí)三角恒等變換，而在課標(biāo)課程中三角恒等變換章節(jié)后插入了平面向量的學(xué)習(xí)，主要的目的在于讓學(xué)生利用向量對(duì)兩角差的余弦公式進(jìn)行證明。因此，在學(xué)習(xí)的過程中我們應(yīng)該領(lǐng)會(huì)編寫的意圖，并品出其中所包含的內(nèi)含義，悟出其中精髓，才能從教材中汲取更多知識(shí)。大綱教材在推導(dǎo)公式的過程中所采用的是兩點(diǎn)間距離公式，在推導(dǎo)的過程中更加注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的邏輯推理；而課標(biāo)教材則對(duì)幾何法點(diǎn)到為止，在推導(dǎo)的過程中更加突出對(duì)建立公式過程的探索及公式證明的簡(jiǎn)潔，在其中體現(xiàn)出了向量作用。原因可能在于以下兩點(diǎn)：其一，更加注重前后章節(jié)內(nèi)容的聯(lián)系，從中揭示出數(shù)學(xué)的本質(zhì)；第二，加強(qiáng)學(xué)生幾何直觀，更加注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想；第三，加強(qiáng)公式的發(fā)現(xiàn)及探索過程。

3.2 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，其知識(shí)具有較為明顯的策略性，但在教材中一般并未明確指出。數(shù)學(xué)思想方法的滲透，有助于我們理性數(shù)學(xué)思維能力的提高，從而提高我們?cè)趯?duì)問題進(jìn)行分析、解決的能力?！皟山遣畹挠嘞夜健痹谕茖?dǎo)過程中具有重要的教育價(jià)值，蘊(yùn)涵著換一個(gè)角度看問題的轉(zhuǎn)換思想，是數(shù)學(xué)家創(chuàng)造發(fā)明的法寶，也是我們進(jìn)行再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造活動(dòng)的探索方式。并且在推導(dǎo)的過程中滲透分類討論的思想及數(shù)形結(jié)合思想，通過詳細(xì)完整的分類，能夠提高我們的討論意識(shí)；而通過圖形呈現(xiàn)的方式，有助于我們更好地理解問題的本質(zhì)。

4 結(jié)束語

一部分學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中認(rèn)為“兩角差余弦公式”推導(dǎo)過程并不重要，認(rèn)為重要的是學(xué)會(huì)在解題的過程中更好地運(yùn)用公式。但從各種變換的角度對(duì)兩角差的余弦公式推導(dǎo)過程中發(fā)現(xiàn)，推導(dǎo)的過程中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，若是在公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)中加以重視，想必能夠顯著地提高學(xué)生對(duì)余弦公式的理解。通過推導(dǎo)，可以在學(xué)習(xí)的過程中了解數(shù)學(xué)也是一種文化，因而在學(xué)習(xí)的過程中可以適當(dāng)?shù)亓私鈹?shù)學(xué)史知識(shí)，從中領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，最終提高自身的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。除此之外，在解題的過程中能夠更好地應(yīng)用公式，從中能夠發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，最終提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率。