淺析第二個重要的極限

高等數(shù)學是從函數(shù)及其極限為基礎展開研究的。第二個重要極限跟第一個重要極限一樣是極限中特殊的極限形式。理解第二個重要極限的本質形式，是學好第二個重要極限的前提。文章先分析第二個重要極限本質表現(xiàn)形式，然后分析其應用。用事實說明第二個重要極限在高等數(shù)學和經濟上的重要性

第二個重要極限是型的極限類型，為導數(shù)的學習奠定了基礎，在經濟上用于復利的計算。

1 結構

第二個重要的極限： .

當時，底數(shù)趨向于1，指數(shù)趨向于無窮大，屬于型的極限類型。利用單調有界數(shù)列必有極限，可以求得極限為。

在極限中 只要是無窮小 就有

①型的極限類型

②表達式中，只要是無窮小

即

這說明：當及時，函數(shù)的值會無限地趨近于。常數(shù)就是這個極限值，即

.

如果令公式還可以寫成

. （1.5.5）

這兩個極限式可以統(tǒng)一為“1加無窮小的無窮大次方的極限為”。

如：； ；

用求極限時，函數(shù)的特點是型冪指函數(shù)，只要中 是無窮小，而指數(shù)為無窮大，兩者恰好互為倒數(shù)就符合第二個重要極限的類型。

2 應用

2.1公式的直接應用

應用第二個重要極限求極限：

例1 求

解

這道題屬于求冪指函數(shù)的極限，先變形化簡后整理成第二個重要極限的形式，然后應用第二個重要極限求出結果。

應用第二個重要極限推導指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的求導公式：

例2 求函數(shù)的導數(shù)

解

例3 求函數(shù)的導數(shù)

解

即

特殊地

運用導數(shù)的定義表達出指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的導數(shù)形式，結合第二個重要極限，推導得出求導公式，為導數(shù)的進一步學習鋪磚引路。

第二個重要的極限在推導求指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的求導公式過程中，起到了舉足輕重的作用。第二個重要極限是基本初等函數(shù)求導公式得出的奠基石。第二個重要極限在初等函數(shù)求導過程中起到了重要的橋梁紐帶作用。

2.2公式的間接應用

經濟上連續(xù)復利計算就是以第二個重要極限為依據的：

設初始本金為p （元）， 年利率為r， 按復利付息， 若一年分m次付息， 則第n年末的本利和為

89

如果利息按連續(xù)復利計算， 即計算復利的次數(shù)m趨于無窮大時， t年末的本利和可按如下公式計算

若要t年末的本利和為s， 則初始本金。

經濟上連續(xù)復利的計算，大家廣泛熟悉的是購買商品房貸款。貸款期的本金和利息采用連續(xù)復利的計算方法計算出來，然后在一定的前提下，根據本金和利息劃分每個月應償還的數(shù)目。

3 小結

第二個重要極限的運用是求解函數(shù)極限的方法之一，是求解型的極限直接而有效的方法之一，是銀行計算復利有效工具。

學好第二個重要極限是學好求函數(shù)極限和導數(shù)等知識點的前提和基礎，是理解和計算銀行連續(xù)復利必備的知識。

（作者單位：湖南科技職業(yè)學院）