數(shù)形結(jié)合思想與二次函數(shù)的教學(xué)

孫培輝

摘要：數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓。新課程下注重、加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成良好思維品質(zhì)的關(guān)鍵。而數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，是對(duì)立統(tǒng)一在數(shù)學(xué)中的重要體現(xiàn)。由數(shù)與形之間的相互借助，互相促進(jìn)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為一種固定的、依賴的、不可分割的關(guān)系。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法可以使一些題目解決起來既簡(jiǎn)潔又明快，大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟一條重要的途徑。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想；一元二次方程；不等式；二次函數(shù)；拋物線

著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非?！绷攘葦?shù)語把數(shù)形結(jié)合說得淋漓盡致。數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，是對(duì)立統(tǒng)一在數(shù)學(xué)中的重要體現(xiàn)。數(shù)與形有“對(duì)立”和“差異”的一面，但同時(shí)也有著“同一”和“互化”的一面。引導(dǎo)學(xué)生正確樹立數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。就初中教材而言，初一階段對(duì)數(shù)軸、絕對(duì)值、相反數(shù)等知識(shí)的學(xué)習(xí)，是數(shù)形結(jié)合思想的初步滲透。當(dāng)然用“圖示法”分析解有關(guān)應(yīng)用題也是數(shù)與形的結(jié)合。初二階段的“等邊對(duì)等角”及其逆定理，勾股定理與直角三角形、一次函數(shù)等知識(shí)的學(xué)習(xí)進(jìn)一步使數(shù)與形結(jié)合起來。而初三階段，二次函數(shù)、反比例函數(shù)、銳角三角函數(shù)的教學(xué)，圓的教學(xué)等使數(shù)形結(jié)合思想有了相當(dāng)充分的體現(xiàn)，基本上由數(shù)與形之間的相互借助，互相促進(jìn)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為一種固定的、依賴的、不可分割的關(guān)系。學(xué)生學(xué)好二次函數(shù)這一章，對(duì)于以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)解析幾何、三角函數(shù)、微積分等學(xué)科都有著重要的基礎(chǔ)作用。

數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)這一章集中體現(xiàn)在函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）與其拋物線圖像之間的關(guān)系。同時(shí)由于二次函數(shù)值與數(shù)值0的大小比較，使得一元二次方程及不等式與拋物線有機(jī)地結(jié)合起來。這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡(jiǎn)潔明快，而且可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟一條重要的途徑。因此在這一部分的教學(xué)時(shí)要使學(xué)生養(yǎng)成一種辯證的思維習(xí)慣：在解決二次函數(shù)、一元二次方程、方程組、不等式有關(guān)“數(shù)”的問題時(shí)，要立刻想到與它們所對(duì)應(yīng)的“形”是怎樣的，借助“形”來解決“數(shù)”的問題，反之亦然?，F(xiàn)就教材中基本的數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系列表如下，僅供參考。

在學(xué)生掌握了上述基本的數(shù)形對(duì)應(yīng)關(guān)系之后，再引導(dǎo)學(xué)生解決稍復(fù)雜的有關(guān)題目就顯得輕松自然。學(xué)生也不會(huì)去死記一些知識(shí)了。例如：a，b，c滿足什么條件時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)相異正根。

分析：一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）有兩個(gè)相異的正根，與其相對(duì)應(yīng)的“形”就是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的正半軸有兩個(gè)不重合的交點(diǎn)。這時(shí)可作出草圖（1），（2）。既然有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，必滿足條件Δ=b2-4ac>0；既然交點(diǎn)都分布在x軸的同一半軸，則必有條件a，c同號(hào)，即ac>0：；既然交點(diǎn)均勻分布在右半軸，對(duì)稱軸也必在y軸的右側(cè)，因此必有條件a，b異號(hào)。即ab<0.綜合上述分析可得：a，b，c必須滿足不等式組

Δ=b2-4ac>0

ac>0

ab<0

圖（1）

圖（2）

有了上述數(shù)形結(jié)合的分析思想，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），什么條件下有兩負(fù)根，一正一負(fù)，負(fù)根絕對(duì)值大，兩根位于某兩個(gè)已知數(shù)之間或之外等類似問題，均可一一得出解答。

二次函數(shù)這一部分，是中考試題中的重要內(nèi)容，因此引導(dǎo)學(xué)生樹立數(shù)形結(jié)合思想顯得極為重要。下面部分省市最近幾年的中考試題中選出有代表性的兩道，以供大家從中體會(huì)。

1. 拋物線y=x2-（m-3）x-m.（1）證明：無論m為何值時(shí)，拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)。（2）試求m為何值時(shí)，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離等于3？（3）當(dāng)m為何值時(shí)，方程x2-（m-3）x-m=0的兩根同負(fù)或兩根同正？

2. 已知二次函數(shù)y=-x2+bx+4，且不等式-x2+bx+4>0的解集是-5

（1） 求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）這個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過怎樣的平移，使它與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)？（3）這個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過怎樣的平移，滿足當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x增大而減??？（4）試寫出同時(shí)滿足（2）（3）的函數(shù)的解析式。