《一類(lèi)可以對(duì)角化的矩陣》一文的進(jìn)一步研究結(jié)果

宮玉榮，劉慧娟

鄭州商學(xué)院 通識(shí)教育中心，河南 鞏義 451200

0 引言

在不同情形下，人們會(huì)用到不同結(jié)構(gòu)的矩陣， 其中，Hermite 矩陣就是一種結(jié)構(gòu)特殊而應(yīng)用廣泛的矩陣.受Hermite矩陣的啟發(fā)，文獻(xiàn)[1-2]分別對(duì)適合條件A*=A2和A*=-A3的矩陣進(jìn)行了研究，證明了這兩類(lèi)矩陣都是正規(guī)矩陣，給出了它們的譜及一些性質(zhì).伴隨著研究的深入，又獲得了對(duì)這兩類(lèi)矩陣的一些新認(rèn)識(shí)和進(jìn)一步結(jié)果.本文擬在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上，對(duì)適合條件A*=A2的矩陣A的性質(zhì)進(jìn)行深入挖掘，對(duì)矩陣的奇異值、行列式、張量積、張量和等進(jìn)行研究，進(jìn)一步獲得它的奇異值分解式、行列式表示，給出適合此條件的兩個(gè)矩陣A，B的張量積，也適合(A?B)*=(A?B)2的基本結(jié)果和(A⊕B)*=(A⊕B)2的條件，以期豐富正規(guī)矩陣的內(nèi)容.伴隨著對(duì)適合條件A*=A2矩陣性質(zhì)的進(jìn)一步研究及與應(yīng)用相聯(lián)系，關(guān)于這種矩陣的結(jié)果有望像Hermite矩陣一樣用于一些理論研究和實(shí)際應(yīng)用之中[3-7].

1 基本結(jié)果

定理1 設(shè)A∈Cn×n，A*=A2，r(A)=r≤n，則有如下結(jié)論成立：

2)A有奇異值分解

其中，Er是r階單位矩陣；U,V是n階酉矩陣.

A=λ1G1+λ2G2+λ3G3+λ4G4

這里GiGj=δi,jGi,i,j=1,2,3,4.

其中∑r=Er是一般矩陣奇異值分解所不具備的.

這種矩陣分解的緊湊形式，在線性多變量控制系統(tǒng)中有重要應(yīng)用[9].

3)由于A是正規(guī)矩陣，A的屬于不同特征值的特征向量正交[10].現(xiàn)分別將A的屬于同一特征值的列特征向量進(jìn)行正交化和單位化,比如，記λ2單位正交的列特征向量是x21,x22…,x2p2，其他特征值單位正交的列特征向量仿此方法作出和標(biāo)記，再將所有這些單位正交的特征向量合并在一起，記為x11,…,x1p1,x21,…,x2p2,x31,…,x3p3,x41…,x4p4.

由此得到下面的n階酉矩陣

U=[x11,…,x1p1,x21,…,x2p2,x31,…,x3p3,x41,…,x4p4]

這時(shí)有

A=Udiag[λ1,…,λ1,λ2,…,λ2,λ3,…,λ3,λ4,…,λ4]U*

所以

A=λ1G1+λ2G2+λ3G3+λ4G4

下面驗(yàn)證GiGj=δijGi,i,j=1,2,3,4.這里僅驗(yàn)證i=j=1時(shí),G1G1=δ11G1=G1,其余情況可類(lèi)似證明.

4)依據(jù)矩陣行列式等于其特征值之積的結(jié)論便可得此結(jié)果.

定理2 設(shè)A∈Cn×n，且A*=A2，則

2)設(shè)0≠α∈Cn,α是A的特征向量?α是A*的特征向量.

定理3 設(shè)A，B∈Cn×n且A*=A2,B*=B2，則

1)(A?B)*=(A?B)2.

2)若AB=BA，則(AB)*=(AB)2.

3)若|A|≠0，則(A-1)*=(A-1)2.

4)若A,B分別相似于A1,B1，即有非退化矩陣P，Q,使得A=PA1P-1,B=QB1Q-1，則有

(A?B)*=(P?Q)(A1?B1)2(P?Q)-1.

證明：1)由本定理?xiàng)l件可知，

(A?B)*=A*?B*=A2?B2=(A?B)(A?B)=(A?B)2

2)因?yàn)锳B=BA，所以

(AB)*=B*A*=B2A2=B(BA)A=BABA=ABAB=(AB)2

3)因?yàn)閨A|≠0，所以A-1存在，故可得

(AA-1)*=E*=E=(A-1)*A*

所以(A-1)*=(A*)-1=(A2)-1=A-1A-1=(A-1)2.

4)由本定理的結(jié)論1)可得

說(shuō)明：i) 定理3中的結(jié)論1)對(duì)張量和未必成立.因?yàn)椋?/p>

(A⊕B)*=[(E?A)+(B?E)]*=(E?A)*+(B?E)*=(E?A*)+(B*?E)=(E?A2)+(B2?E)=A2⊕B2

而(A⊕B)2=(A⊕B)(A⊕B)=A2⊕B2+2B?A，只要A≠0，B≠0,便有B?A≠0，即(A⊕B)*≠(A⊕B)2.

ii) 定理3表明，當(dāng)矩陣A,B分別適合條件A*=A2，B*=B2時(shí)，若令矩陣C分別等于A?B，AB，A-1，則C也適合條件C*=C2.

iii) 當(dāng)A,B分別相似于A1,B1時(shí)，(A?B)*相似于(A1?B1)2.

定理4 設(shè)A,B∈Cn×n，且A*=A2，AB=BA，則有(A*)nB=B(A*)n.

證明：依題意,有

(A*)nB=(A2)nB=A2n-1(AB)=A2n-1(BA)=A2n-2(AB)A=A2n-2(BA)A=…=BA2n=B(A2)n=B(A*)n

2 結(jié)語(yǔ)

本文用另一種方法證明了文獻(xiàn)[1]中的定理2，給出了適合條件A*=A2的矩陣A的進(jìn)一步結(jié)果：得到了A的奇異值分解式及其緊湊形式和A的行列式，證明了適于這種關(guān)系的兩個(gè)矩陣A,B的張量積仍滿足(A?B)*=(A?B)2，分析了張量和滿足(A⊕B)*=(A⊕B)2的條件，以及關(guān)于A與A*的特征值、特征向量的一些結(jié)果.至此，將適合條件A*=A2的矩陣與一般矩陣和Herrmite矩陣進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，該矩陣的性質(zhì)介于一般矩陣與Hermite矩陣的性質(zhì)之間，即與一般矩陣相比，本文研究的矩陣是正規(guī)矩陣，且有一般矩陣所不具備的良好性質(zhì)；但與Hermite矩陣相比，又稍顯遜色，比如：它的特征值并非全是實(shí)數(shù)，這將限制它的應(yīng)用范圍.本文的矩陣A還具備Hermite矩陣哪些良好性質(zhì)，在雅普洛夫方程及其穩(wěn)定性，以及解析函數(shù)插值等問(wèn)題中，Hermite矩陣可否換成本文的矩陣A等問(wèn)題，還需作進(jìn)一步研究.