變上限函數(shù)求導公式的應用

曹衛(wèi)鋒+梅霞

摘要：變上限函數(shù)是微積分學中一類具有特殊形式的函數(shù)，它獨特的求導公式廣泛應用于解決求導（或多元函數(shù)求偏導）、求極限、討論函數(shù)性狀、計算累次積分以及作為輔助函數(shù)進行定積分的證明等一系列微積分問題。

關鍵詞：變上限函數(shù)；求導公式；積分；應用

中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）51-0168-03

一、概念及性質

定義：若函數(shù)f（t）在區(qū)間[a，b]上可積，則？坌x∈[a，b]有唯一確定的值∫■■（t）dt與之對應，因此在區(qū)間[a，b]上可定義一個函數(shù)，稱為變上限函數(shù)。記作

Φ（x）=■f（t）dt，x∈[a，b] （1）

定理：若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則（1）式定義的變上限函數(shù)Φ（x）在[a，b]上可導，且

Φ′（x）=■■f（t）dt=f（x），x∈[a，b] （1■）

即連續(xù)函數(shù)的變上限函數(shù)對上限求導等于被積函數(shù)。

利用復合函數(shù)的求導法則，可以得出變上限函數(shù)為復合函數(shù)的求導公式：

設f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，φ（x）在[a，b]上可導，則

■■f（t）dt=f[φ（x）]φ′（x） （2■）

設f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，φ（x）、ψ（x）在[a，b]上可導，則

■f（t）dt=f[φ（x）]φ′（x）-f[ψ（x）]ψ′（x） （3■）

證明（1※）：記Φ（x）=■f（t）dt，x∈[a，b]

則Φ′（x）=■■

=■■=■■

=■■·h·f（ξ■） ξ■∈[x，x+h]（積分中值定理）

=f（x）。

證明（2※）：■f（t）dt=Φ[φ（x）]

則■■f（t）dt=Φ[φ（x）]′

=Φ′[φ（x）]·φ′（x）

由（1※）得 =f[φ（x）]·φ′（x） 。

證明（3※）：■f（t）dt=■f（t）dt-■f（t）dt

=Φ[φ（x）]-Φ[ψ（x）]，

則 ■■f（t）dt=Φ[φ（x）]′-Φ[ψ（x）]′

=Φ′[φ（x）]·φ′（x）-Φ′[ψ（x）]·ψ′（x）

=f[φ（x）]·φ′（x）-f[ψ（x）]·ψ′（x）。

在教學過程中不難發(fā)現(xiàn)，許多微積分問題用變上限函數(shù)的求導公式（1※）、（2※）、（3※）解決既方便又簡單。

二、應用舉例

（一）應用之一：求導或極限問題

例1 求極限I=■■。

[分析]極限式分子是定積分■tsintdt，當x→0時趨于零，分母x■也趨于零，因此這是■型極限問題，可直接運用羅必達法則計算。

解：由公式（1※），得■■tsintdt=xsinx

故I=■■=■■=■。

注：若先計算定積分■tsintdt再求極限會很麻煩。

例2 設f′（x）連續(xù)，f（0）=0，f′（0）≠0，求■■。

[分析]所求極限是■型未定式，使用羅必達法則，并結合使用變上限函數(shù)的求導公式（1※）、（2※）。

解：■■=■■

=■■■■■

注意到此時極限雖是■型，但因f″（x）未必存在，不能再用羅必達法則。利用導數(shù)定義，分子分母同除以x，于是上式=■■=■=1。

（二）應用之二：討論函數(shù)性狀問題（單調性、最值、周期等等）

例3 設f（x）在0，+∞內連續(xù)且f（x）>0，證明函數(shù)F（x）=■在0，+∞內為單調增加函數(shù)。

證明：由公式（1※），得

■■tf（t）dt=xf（x），■■f（t）dt=f（x）

故 F′（x）=■

=■

按假設，在[0，x]（x>0）上f（t）>0，（x-t）f（t）≥0且（x-t）f（t）≠0，根據(jù)定積分的性質可知

■f（t）dt>0，■（x-t）f（t）dt>0，

所以F′（x）>0（x>0），從而F（x）在（0，+∞）內為單調增加函數(shù)。

例4 求函數(shù)f（x）=■e■sintdt x∈[0，2π]的最值。

解：由公式（1※）得f′（x）=e■，f′（x）=0時，x=π為f（x）在[0，2π]內的唯一穩(wěn)定點。

f ″（π）=e■（sinx+cosx）x=π=-e■<0，所以f（x）在x=π處取極大值。

f（π）=■e■sintdt=■sintde■=e■sintπ0-■e■costdt=-■costde■=-e■costπ0-■e■sintdt=1+e■-f（π）

所以 f（π）=■（1+e■）

又 f（0）=0，同理易算f（2π）=■（1-e■）

因此 f（x）在[0，2π]上的最大值為f（π）=■（1+e■），最小值為f（2π）=■（1-e■）。

（三）應用之三：求多元函數(shù)偏導問題

在進行多元函數(shù)求導的過程中，也會遇到含有變上限函數(shù)的求導問題，要解決這一問題，常用的方法是利用一元函數(shù)變上限的求導公式，在求導的過程中，其關鍵就在于要弄清函數(shù)關系。

例5 設F（x，y）=y■e■dt，求1）F■；2）F■；3）F■。

[分析]根據(jù)求導自變量的變化，變上限函數(shù)■e■dt既可看成x的函數(shù)，又可看成y的函數(shù)，使用變上限函數(shù)求導公式即可。

解：1）F■=■[y■e■dt]=■e■dt-ye■

2）F■=■[■e■dt-ye■]=e■

3）F■=■[■e■dt-ye■]=-e■-[e■-2y■e■]=2e■（y■-1）。

例6 設u=■[φ（x+at）+φ（x-at）]+■■ψ（ξ）dξ，其中φ與ψ分別具有連續(xù)的一二階偏導，試求：■-a■■。

解：■=■[φ′（x+at）-φ′（x-at）]+■[ψ（x+at）+ψ（x-at）]

■=■[φ′（x+at）+φ′（x-at）]+■[ψ（x+at）-ψ（x-at）]

■=■[φ″（x+at）+φ″（x-at）]+■[ψ′（x+at）-ψ′（x-at）]

■=■[φ″（x+at）+φ″（x-at）]+■[ψ′（x+at）-ψ′（x-at）]

因此：■-a■■=0。

（四）應用之四：計算累次積分問題

計算累次積分時，會遇到“先積的那個積分的被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表達”這種情況。往往要通過交換積分次序，方能計算出結果。若通過引入變上限函數(shù)，再利用分部積分法，可以簡化一些特殊的累次積分計算。

例7 計算■dx■■dy。

[分析]因為被積函數(shù)■的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，故

設函數(shù)g（x）=■■dy=-■■dy，則它是積分上限x的函數(shù)。

解：因為 f（y）=■ y≠01 y=0在[0，■]上連續(xù)，則g（x）在[0，■]上可導，由公式（1■），得g′（x）=-■ x≠01 x=0，g（■）=0。

利用分部積分法，得

原式=■g（x）dx=xg（x）■■-■xg′（x）dx

=■g（■）-0+■x■dx

=■sinxdx=1-cos■=1。

（五）應用之五：與定積分有關的證明問題

證明與定積分有關的等式或不等式問題往往需要較多的技巧。一般先利用變上限積分構造函數(shù)，再利用導數(shù)確定該輔助函數(shù)的單調性的方法加以證明。這種證明方法思路清晰，輔助函數(shù)的構造方法規(guī)律明顯，能較易掌握并熟練應用。

例8 設f（x）在[a，b]上連續(xù)，證明：■dx■■■f（y）dy=■f（y）（b-y）dy。

[分析]通過構造變上限函數(shù)g（x）=■f（y）dy，再化累次積分為定積分運算。

證明：設g（x）=■f（y）dy，則g（a）=0；由公式（1※），得 g′（x）=f（x）。

利用分部積分公式，得：

■dx■■■f（y）dy=■g（x）dx=xg（x）ba-■xg′（x）dx

=bg（b）-ag（a）-■xf（x）dx

=b■f（y）dy-■yf（y）dy（定積分與積分變量無關）

=■（b-y）f（y）dy

注：本題也可以利用二重積分交換積分次序來證明。

例9 設f（x）在[a，b]上連續(xù)且單調增加，證明：■xf（x）dx>■■f（x）dx。

證明：令F（t）=■xf（x）dx-■■f（x）dx（a≤t≤b）

則 F′（t）=tf（t）-■■f（x）dx-■f（t）=■f（t）-■■f（x）dx=■[f（t）-f（ξ）]（a<ξ

因為f（x）在[a，b]上單調增加，所以當a<ξ0，從而在（a，b）內，F(xiàn)′（t）>0。又F（t）在[a，b]上連續(xù)，故F（t）在[a，b]上單調增加。于是F（b）>F（a）=0，

即■xf（x）dx>■■f（x）dx。

參考文獻：

[1]同濟大學數(shù)學教研室.高等數(shù)學（上冊） 第四版[M].北京：高等教育出版社，2002：293-294.

[2]劉玉鏈，付沛仁.數(shù)學分析講義 第三版[M].北京：高等教育出版社，1990.

[3]范克新，胡建平.高等數(shù)學自學考試指南[M].南京：東南大學出版社，1994.

Abstract：The variable upper limit function is a kind of function with special forms in calculus，whose unique derivation formula is widely applied to a series of questions in calculus，such as finding derivatives and limit，discussing characters of a function，calculating the iterated integral，carrying out the proof of the definite integral as an assistant function，and so on.

Key words：variable upper limit function；derivation formula；calculus；application