微元法，提升物理解題效率

李興典

摘要：高中物理的題目邏輯性非常強，因此解題時的技巧非常的關(guān)鍵。物理的傳統(tǒng)方法就是分析關(guān)系，但是為了提高解題效率，在解題時也可以運用數(shù)學(xué)的方法，比如微元、積分等。本文通過介紹微元方法在解題中的應(yīng)用，探討提升物理解題效率的途徑。

關(guān)鍵詞：微元法；高中物理；人教版

微元這個概念在物理中是比較常見的，但是在高中物理的課本中，很少運用微元的思想去演繹推理，所以在物理解題中學(xué)生也很少用到這種方法。運用微元思想實際上是一個能力的拓展，通過極限、微分、積分等一系列微元法，物理解題將更有效率。

一、 精準(zhǔn)取元，抓住瞬間

微元法將某些物理量拆分成微元，這其實運用了極限的思想。當(dāng)我們需要處理某個時刻或者某個位置的物理狀態(tài)時，有時候用整個過程不能有效求解，這時候就需要抓住狀態(tài)的瞬間，精確取元，求導(dǎo)得解。

以一道例題進(jìn)行說明。在一個足夠長的豎直墻面上，設(shè)置一個點光源S，距離光源d處有一個平面鏡O，鏡子中心與光源在同一水平線上。初始狀態(tài)下鏡子平面與墻面平行。當(dāng)平面鏡以角速度w繞中心勻速轉(zhuǎn)動時，光源經(jīng)平面鏡反射的光斑在墻面上會上下移動。經(jīng)過時間t后，光斑P在墻壁上移動的速度是多少？分析這道題目，我們可以發(fā)現(xiàn)，光斑在墻面上的移動情況不是勻速運動，不能用位移與時間的比值直接求得。我們反觀速度的表達(dá)式，可以了解到瞬時速度，它實際上是時間取無窮小時的情況，用表達(dá)式表示為v=st2-t1（當(dāng)t2和t1非常接近時的情況），即v=limt2→t1st2-t1。因此，解決這道問題時，我們要抓住瞬間，可以通過導(dǎo)數(shù)的形式將過程微分取元，確定速度狀態(tài)。經(jīng)過時間t，光斑在墻面上的位移為s。當(dāng)時間為t時，反射光線轉(zhuǎn)過的角度θ1=wt。經(jīng)分析幾何關(guān)系知，SO與OP的夾角θ2=2θ1。在三角形SOP中，可得s=dtanθ2=dtan（2wt）。對上式進(jìn)行求導(dǎo)，可得光斑P的移動速度。對于求解速度，實際上是求解瞬時速度，瞬時速度的物理意義決定了它可以精準(zhǔn)地取用微元，利用導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行求解。

確定研究過程是解決物理問題的一個步驟，但是在一些題目中，僅僅探究物體變化的過程是不能夠解決問題的。微元法的優(yōu)勢就在于不依賴于一個確定的研究過程，只靠一個狀態(tài)，一個已知的關(guān)系式就能進(jìn)行求導(dǎo)，從而得出結(jié)果。

二、 建立模型，確定關(guān)系

微元法看似很簡單，其實選取微元的過程并不是簡單的。首先需要建立合適的模型，或者說分析是否需要采取微元法。微元法也代表了求導(dǎo)一類的方法，通過對等式關(guān)系的微分、求導(dǎo)進(jìn)行演變，或許就能確定出解題所需的數(shù)量關(guān)系。

以教學(xué)中一個經(jīng)典的繩子拉船問題為例進(jìn)行說明。繩子的物理性質(zhì)非常特殊，在力學(xué)問題中是一個很難處理的物體，在解題中往往進(jìn)行理想化處理。即便如此，很多學(xué)生仍然苦于其中的數(shù)量關(guān)系難以建立，理解起來比較困難。換一種思路思考，我們可以適當(dāng)引入幾何關(guān)系，通過建立模型、微分求導(dǎo)來確定數(shù)量關(guān)系。引入一個例題，如圖所示，在高度為h的河岸上，一人用繞過定滑輪O的輕質(zhì)細(xì)繩勻速拉動水面上的一條小船。假設(shè)人拉動船的速度大小為v。當(dāng)繩子OA與水平面的夾角為θ時，此時小船的速度為多少？首先假設(shè)一系列的變量，設(shè)小船距離岸邊的長度為x，繩子OA的長度為r。根據(jù)勾股定理，我們對h、x和r列出等式關(guān)系h2+x2=r2。針對上式，對時間求導(dǎo)，2rdrdt=2xdxdt+2hdhdt=2xdxdt+0=2xdxdt。代入已知的數(shù)量關(guān)系，v=drdt，v船=dxdt，得出v船與v的關(guān)系為v船=vrx。再由幾何關(guān)系cosθ=xr，最終可得v船=vcosθ。如此一來，建立并分析小船過河的模型之后，本身比較難以分析的題目就迎刃而解了。

微元法只是一種解題的工具，并不是萬能的解題方法，因此好的工具使用起來還依賴于好的分析方法。高中物理是“模型”中的物理，建立一個適宜的模型，就可以很方便地利用微元方法進(jìn)行解決。

三、 積分求和，簡化計算

微分的目的是為了積分，也就是說僅僅把物理量進(jìn)行微元化處理是不夠的，將處理好的微元進(jìn)行積分才是最終目的。高中數(shù)學(xué)正好進(jìn)行了積分知識的講解，這些知識在物理習(xí)題中應(yīng)用起來已經(jīng)足夠了。

以一個例題進(jìn)行說明。假設(shè)在一次足球訓(xùn)練當(dāng)中，某時刻有一個運動中的足球，它的初始速度為20m/s，以加速度為2m/s2的加速度進(jìn)行勻減速直線運動。求解足球在5s后位移是多少。我們可以運用常規(guī)的平均速度法進(jìn)行求解，由于運動過程為勻變速運動，因此可設(shè)足球的平均速度為v，初始速度為v0，5s后的速度為v1，加速度為a。由速度與加速度的關(guān)系v=at，則，v平均=v0+v0+at2=20+20+2×52=25m/s，那么位移s=v平均t=25×5=125m。將物體的運動過程進(jìn)行等效轉(zhuǎn)化，是物理學(xué)解決問題的主要手段，也是分析能力的體現(xiàn)。但是在本題中，速度與加速度的關(guān)系已知，求解位移，我們運用積分的方法，可以大大簡化計算過程。速度是位移關(guān)于時間的函數(shù)，因此速度在時間上的積分就是位移。從另一個角度講，微積分用數(shù)學(xué)公式的形式表達(dá)了復(fù)雜的變化過程，實現(xiàn)了根源化。本題則是∫5020+2t=20t+t2|50=20×5+5×5=125m/s，與上述解法完全符合。運動學(xué)中的計算題變化豐富，在運用積分計算時必須仔細(xì)審題，以免盲目套用公式出現(xiàn)錯誤。

積分是一種高階的數(shù)學(xué)知識，但是在物理習(xí)題中的積分主要涉及的是一次、二次函數(shù)，它們的積分公式都非常簡單，也就意味著這樣的積分方式可以作為一種快速解題的方法。解決問題的效率是非常關(guān)鍵的，所以簡化計算是一種重要的優(yōu)勢。

微元法也不是某種特定的解題技巧，而是一種物理思想。在物理的研究中，微元思想被廣泛應(yīng)用，當(dāng)然它在高中物理解題中也同樣適用。巧妙運用微元法，能夠?qū)?fù)雜的題目簡單化，可以極大地提高解題的效率。endprint