一道習(xí)題的演變

鄭宗浩

摘要：美國心理學(xué)家布魯納認為：“探索是數(shù)學(xué)的生命線?！背踔袛?shù)學(xué)總復(fù)習(xí)不是平時教學(xué)的機械重復(fù)，也不是用題海戰(zhàn)術(shù)來加重學(xué)生的負擔(dān)，它應(yīng)是平時教學(xué)的總結(jié)和升華。筆者認為，上復(fù)習(xí)課時應(yīng)注重立足課本，把已學(xué)過的知識進行梳理，把已做過的習(xí)題歸類，歸納為幾個主要題型。對于有代表性、典型性的例題、習(xí)題要引而不發(fā)，舊題新作，結(jié)合考試大綱和學(xué)生實際情況，有目的地將它們進行演變引申，再生為各種新的題型，培養(yǎng)學(xué)生在新問題面前能獨立解決問題的探索能力和應(yīng)變能力，開拓學(xué)生視野，發(fā)展學(xué)生多向思維，充分發(fā)揮學(xué)生的潛能。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；解題；思維轉(zhuǎn)換

有這樣一道習(xí)題：如圖1，正方形ABCD中，作AM交BC于M，DN⊥AM交AB于N，求證：AM=DN。

這道題里涉及正方形的性質(zhì)及全等三角形的知識，如果學(xué)生只停留在就題論題上，這道題就失去了真正的內(nèi)涵，所以老師就要啟發(fā)學(xué)生，將此題變形，拓寬學(xué)生思維，形成對知識的深入理解。

利用上述例題，筆者構(gòu)思了一堂習(xí)題課，將以例題變化而來的一系列開放性問題作為線索，一方面培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識的興趣和探索問題的能力，使學(xué)生在探究的過程中發(fā)現(xiàn)變化的事物中存在的規(guī)律，另一方面使學(xué)生獲得學(xué)習(xí)自由以及快樂的感悟和體驗，對自我價值的認識和承認，并學(xué)會與他人合作。首先可進行以下幾種簡單變題：

將DN平移即有：變題1：如圖2，正方形ABCD中，點E、F、M分別在AB、CD、BC上，且EF⊥AM，通過觀察、測量，猜想AM與EF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論。

再將AM作類似平移，即有：變題2：如圖3，正方形 ABCD 中，點E、F、G、H分別在AB、CD、AD、BC上，且EF⊥GH，通過觀察、測量，猜想GH與EF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論。鼓勵學(xué)生大膽猜測，激發(fā)學(xué)生的求知欲。

這兩道變題只需利用平行的有關(guān)知識，作出各自圖中所示的輔助線，即可仿原題給出證明。當(dāng)然還可以給出以下變式：“正方形ABCD中，點G、H分別在AD、BC上，現(xiàn)將正方形折疊，使G、H兩點恰好重合，若折痕長為5cm，試求GH的長度，并說明理由?！边@樣不斷變化問題，引發(fā)學(xué)生多方位思考，能使學(xué)生觸類旁通，增長知識，培養(yǎng)發(fā)散性思維能力。

接著可運用類比的思想進行以下變題：

變題3：如圖4，在正五邊形ABCDE中，點M、N分別在CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=108°，求證：BM=CN。

變題4：如圖5，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，點M、N分別在CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，問：當(dāng)∠BON等于多少度時，結(jié)論BM=CN成立？

變題3類比前面的證法，只要證△BCM和△CDN全等就可以了，關(guān)鍵也是去說明對應(yīng)角相等；變題4當(dāng)∠BON=360°n時，結(jié)論BM=CN仍然成立，證法同變題3。

當(dāng)然還可以進行提升拓展，鼓勵探究：

變題5：如圖6，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點E、F、G、H分別在AB、CD、AD、BC上，且EF⊥GH，問：EF、GH滿足怎樣的等量關(guān)系？

此題與變題2相比，只是已知條件中矩形與正方形之別，其他的條件都相同，如果我們用同樣的方法將矩形的邊AB、BC平行移動，如圖62所構(gòu)成的兩個三角形EFN和GHM雖不全等，但可以證明△EFN和△GHM相似，從而求得GH∶EF=a∶b。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)變化的事物當(dāng)中存在的不變的規(guī)律，激發(fā)學(xué)生更大的學(xué)習(xí)熱情。

變題6：如圖7，平行四邊形ABCD中，AB=a，BC=b，點M、N分別在BC、AB上，AM與DN交于點O。試探究：當(dāng)∠B與∠MON滿足什么關(guān)系時，使得AM∶DN=a∶b成立？并證明你的結(jié)論。

當(dāng)∠B+∠MON=180°時，AM∶DN=a∶b成立，證△AOD∽△NAD，得出AO∶NA=AD∶ND，證△AON∽△ABM，得出AO∶AN=AB∶AM，即可得出答案。

教學(xué)要能引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題多角度、多方位、多層次地討論和思考，使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，最終提高學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力。

以上只是結(jié)合教學(xué)實例簡單地介紹了“變式訓(xùn)練”的應(yīng)用，其實在我們教學(xué)中處處存在變式，希望老師們多總結(jié)、多研究，整理成題，利用“變式訓(xùn)練”提升教學(xué)實效性。