微分的概念的教學(xué)反思

劉春奇

南京科技職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部

微分的概念的教學(xué)反思

劉春奇

南京科技職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部

微分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中最難理解和掌握的內(nèi)容之一，這樣，就要求我們高等數(shù)學(xué)教師研究出行之有效的方法，引導(dǎo)學(xué)生充分了解微分的本質(zhì)，幫助學(xué)生更好地運用微分，并體會微分運算與導(dǎo)數(shù)運算的異同，同時也為日后積分的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

高等數(shù)學(xué)；微分；教學(xué)反思

微積分是人類思維領(lǐng)域的杰出成果。作為微積分最基本也是最重要的內(nèi)容之一，微分是微積分的核心概念，萊布尼茨和牛頓所有關(guān)于微積分學(xué)的工作都是基于微分即無窮小的概念而進行和展開的的，因而微積分學(xué)常常也被稱為無窮小分析。

然而就教學(xué)效果來看，函數(shù)的可微性的概念是學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分過程中最難理解和掌握的內(nèi)容之一，至少和導(dǎo)數(shù)相比較，學(xué)生普遍反應(yīng)函數(shù)的可微性的概念晦澀難懂，不易理解。這里面至少有以下兩個原因：一是可微性更加抽象，函數(shù)的連續(xù)性在幾何上可以表示為該函數(shù)的曲線是一條連綿不斷的曲線，函數(shù)的可導(dǎo)性在幾何上可心表示為函數(shù)的曲線不包含“尖點”，而函數(shù)的可微性不如連續(xù)性和可導(dǎo)性的幾何表示那么直觀；二是我國傳統(tǒng)的微積分教材在內(nèi)容編排上有重導(dǎo)數(shù)而輕微分的習(xí)慣，一般的教材都縮減微分的學(xué)習(xí)內(nèi)容與篇幅，微分的重要性沒有得到應(yīng)有的體現(xiàn)。為了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，現(xiàn)代微分概念采用“增量的線性主部”來定義，為了微積分體系上的完整性而犧牲了微分的直觀性，在一定程度上阻礙了學(xué)生對函數(shù)可微性的進一步理解。

為了還原函數(shù)可微性的本質(zhì)定義，我們有必要回顧一下歷史上的微分的概念演變過程。早在微積分發(fā)展的初期，牛頓和萊布尼茨就意識到無窮小概念在這門新學(xué)科中的基礎(chǔ)地位，然而，他們都未能準(zhǔn)確和完整地將其定義為微分。19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家柯西和德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯，用極限理論為微積分建立了嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，作為微積分嚴(yán)密化的產(chǎn)物，微分被定義為增量的線性主部。極限理論雖然使微積分獲得了邏輯上的嚴(yán)密性，但是微分學(xué)卻失去了無窮小方法的簡明性和直觀性。20世紀(jì)60年代，德國數(shù)學(xué)家羅賓遜創(chuàng)立并發(fā)展了非標(biāo)準(zhǔn)分析，并將無窮小當(dāng)作一個量，一個大于零而小于任何正數(shù)的量，人們在這門學(xué)科中可以像數(shù)字一樣使用無窮小量，至此，無窮小分析獲得了新生。[2]

在“微分的概念”[1]一節(jié)的教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)這樣一個具體的問題：在介紹完微分的定義以后，如何證明函數(shù)y=sinx在點(pi/4)處是可微的？

由微分的定義，如果要證明函數(shù)y=f(x)在點x0處是可微的，只需證明此時因變量的增量Δy可以表示成Δx的常數(shù)倍與一個比Δx高階的無窮小的和即可。為此，我們作出因變量y=sinx在點(pi/4)的增量

至此，我們可以看到，要證明y=sinx在點處是可微的，不太容易找到線索。我們的目的是要把因變量的增量Δy表示成Δx的常數(shù)倍和一個比Δx高階的無窮小的和。而上式并未出現(xiàn)Δx的常數(shù)倍的表達式，證明幾乎就此中止。

注意到可微和可導(dǎo)的關(guān)系，即“函數(shù)y=f(x)在點x0處可微”與“函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)”是等價的，我們可以嘗試通過證明y=sinx在點pi/4處的可導(dǎo)性來得出y=sinx在點pi/4處的可微性。而y=sinx在點pi/4處的導(dǎo)數(shù)即y=sinx在點pi/4處可導(dǎo)，所以y=sinx在點pi/4處可微。

然而筆者也在考慮，有沒有一種方法，可以直接利用微分的定義得到最終的結(jié)果呢？

在證明定理“y=f(x)在點x0處可導(dǎo)等價于y=f(x)在點x0處可微”的過程中，有如下的細節(jié)：

由于函數(shù)y=f(x)在點x0處可微，所以函數(shù)值的增量Δy=AΔx+o(Δx)，

Δx趨于0時，兩邊同時取極限得

此時得到，等號右邊的原本作為Δx的系數(shù)的字母A，其最終結(jié)果是也就是函數(shù)y=f(x)在點x0的導(dǎo)數(shù)值。

這就為我們證明函數(shù)y=sin(x)在點的可微性提供了思路：可不可以在Δy的表達式中湊出Δx的常數(shù)倍，即Δx的A倍，這里A又是函數(shù)y=sin(x)在點pi/4的導(dǎo)數(shù)值，即√2/2.

于是，我們令Δy=√2Δx /2 -√2Δx /2 + sin pi/4cosΔx+cos pi/4sinΔx-sin pi/4.這樣，只需證明，當(dāng)Δx趨于0時，-√2Δx/2+ sin pi/4cosΔx+cos pi/4sinΔx-sin pi/4是Δx的高階無窮小，即即可。

由于Δx→0時，(-√2/2)Δx+sin(pi/4)cosΔx+cos(pi/4)sinΔxsin(pi/4)=√2/2(cosΔx+sinΔx-Δx-1)→0.

這就說明了函數(shù)y=sin(x)在點pi/4的可微性。事實上，函數(shù)y=sin(x)在點的可微性的證明過程為我們證明任一函數(shù)在某點處的可微性提供了一般性的方法，即要證明函數(shù)y=f(x)在點x0處的可微性，只需要證明Δy等于Δx的常數(shù)倍與一個比Δx高階的無窮小的和即可，換言之，只需要證明Δy-AΔx→0，Δx→0，這里A是f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)值。以下舉例說明。

例1：y=cosx在點pi/4處可微。

證明：先求出cosx在點pi/4處的導(dǎo)數(shù)，得-√2/2.以下證明函數(shù)值的增量Δy等于Δx的常數(shù)倍與一個比Δx高階的無窮小的和， 即 證Δy=-√2/2Δx+o(Δx).而Δy+√2Δx /2 =cos(pi/4+Δx)-cos(pi/4)+ √ 2Δx /2=(√ 2/2)(cos(Δx)-sin(Δx)-1+Δx)→ 0，Δx → 0.

所以，y=cosx在點pi/4處可微。

微分概念的深入理解，對于一元微積分學(xué)習(xí)，尤其是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)有著很大的好處。接觸復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)之初，很多學(xué)生苦于不能準(zhǔn)確而迅速地作出正確答案，而學(xué)習(xí)了微分的概念一節(jié)中微分的一階形式不變性之后，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)可以有另一種方法，即通過一階微分的形式不變性來解決。即對于由兩個函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)y=f(u(x))，dy=d(f(u(x)))=d(f(u))d(u).

例2.求復(fù)合函數(shù)y=3lncos(e^x+1)的微分。

解法一：先寫出復(fù)合函數(shù)y=3lncos(e^x+1)的復(fù)合過程，有

y=3lncos(e^x+1)由y=3lnu，u=cosv，v=e^x+1復(fù)合而成。則

y’=(3lnu)’(cosv)’(e^x+1)’=(3/u)(-sinv)(e^x)=(-3)tan(e^x+1)e^x

所以，dy=y’dx=(-3)tan(e^x+1)e^xdx.

解法二：由微分的一階形式不變性，有

dy=d(3lncos(e^x+1))=3/cos(e^x+1)d(cos(e^x)+1)=3/cos(e^x+1)(-sin(e^x+1))d(e^x+1)=3/cos(e^x+1)(-sin(e^x+1))e^x d(x)=3tan(e^x+1)e^x d(x)

相比較而言，利用微分的一階形式的不變性更加簡潔，計算也更加不容易出錯。同時，熟練掌握微分的運算性質(zhì)和技巧對于日后學(xué)習(xí)不定積分和定積分中的湊微分法也有很大好處。

[1]翟步祥，盧春燕 高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社

[2]王建，張維忠.微分概念的歷史發(fā)展及教學(xué)啟示[J].高等數(shù)學(xué)研究，2017，20(05)：52-55.