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    緊扣內(nèi)角,感悟推理

    2021-08-17 13:40:38林志輝朱昭偉
    關(guān)鍵詞:五邊形邊形多邊形

    林志輝 朱昭偉

    【教材內(nèi)容】

    人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)P69。

    【緣起】

    《多邊形的內(nèi)角和》是本版教材新增課例。該課教材先是給出“四邊形的內(nèi)角和是多少度?”引發(fā)思考,嘗試激活學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn),提出猜想并通過(guò)剪拼、推導(dǎo)計(jì)算等方法驗(yàn)證猜想,進(jìn)而得出“四邊形的內(nèi)角和是360?!钡慕Y(jié)論。本課應(yīng)是小學(xué)階段少有的幾何推理課例,發(fā)展學(xué)生的空間觀念和推理能力應(yīng)是其核心價(jià)值追求。

    筆者的想法是緊扣“內(nèi)角和”,以問(wèn)題引導(dǎo),引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“用三角形的內(nèi)角和推導(dǎo)四邊形內(nèi)角和”的探究過(guò)程,進(jìn)而將推導(dǎo)的方法推廣至“多邊形的內(nèi)角和”,并適當(dāng)感悟內(nèi)角和公式模型。

    其教學(xué)目標(biāo)定位為:

    (1)了解四邊形的內(nèi)角和的特征,會(huì)求多邊形的內(nèi)角和。

    (2)經(jīng)歷四邊形的內(nèi)角和及多邊形內(nèi)角和的探究、推導(dǎo)過(guò)程,發(fā)展空間觀念和推理能力。

    (3)感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,收獲成功的經(jīng)驗(yàn),激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

    【實(shí)錄】

    (一)回顧舊知,喚醒經(jīng)驗(yàn)

    1.圖形對(duì)比,猜想內(nèi)角

    師:這是一個(gè)三角形,它的內(nèi)角和是-180°。

    師:猜一猜,這些圖形中,誰(shuí)的內(nèi)角和最大,誰(shuí)的內(nèi)角和最?。?/p>

    師:那么,四邊形的內(nèi)角和是多少呢?

    2.學(xué)情反饋,聚焦內(nèi)角

    (1)測(cè)量法

    師:其實(shí),這個(gè)問(wèn)題我們課前已經(jīng)做了研究,這是某某同學(xué)的作品(如下圖)。

    師:你知道他是怎么說(shuō)明四邊形的內(nèi)角和的嗎?

    學(xué)生回答,作品學(xué)生回應(yīng)。

    (2)剪拼法

    師:這里還有種方法,它可以說(shuō)明內(nèi)角和是360°嗎?(課件動(dòng)態(tài)演示)

    【設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)對(duì)比圖形,反饋前測(cè),聚焦內(nèi)角和,既明確研究的對(duì)象,又為后續(xù)探索掃除知識(shí)點(diǎn)的障礙。借助展示激活學(xué)生測(cè)量、剪拼等方法經(jīng)驗(yàn),并結(jié)合課件動(dòng)態(tài)演示,為四邊形的內(nèi)角和推導(dǎo)積累感性經(jīng)驗(yàn),還回應(yīng)了學(xué)生的思考關(guān)切?!?h3>(二)大膽探索,推理計(jì)算

    1.直奔主題,推理內(nèi)角

    師:那能不能直接“用三角形的內(nèi)角和是180°”來(lái)推導(dǎo)出四邊形的內(nèi)角和?學(xué)生獨(dú)立思考、嘗試解答、小組交流。反饋?zhàn)髌贰?/p>

    (1)反饋?zhàn)髌?師:猜猜看,他們是怎么推導(dǎo)的?

    學(xué)生作答后出示算式。

    (2)對(duì)比反饋?zhàn)髌?

    師:你們的意思是分成兩個(gè)三角形就是內(nèi)角和180°×2=360°。那像這樣把它分成4個(gè)三角形,四邊形內(nèi)角和就是1800×4= 720°?

    生:這個(gè)不對(duì),多了中間的4個(gè)角。

    生:四個(gè)三角形的內(nèi)角和是720°,但是中心點(diǎn)那里的四個(gè)角形成的周角不屬于四邊形的內(nèi)角,所以要減去。

    生:這么分割也可以,只要減去不是四邊形內(nèi)角和的部分就可以了。也就是180°×4-360° =360°。

    課件出示,小結(jié)方法。

    師:剛才大家用兩種方法都推導(dǎo)計(jì)算出了四邊形的內(nèi)角和是360°。

    師:如果分割成這樣的三個(gè)三角形,你還能列式求它的內(nèi)角和嗎?

    180°*3 - 180° =360°。

    【設(shè)計(jì)意圖:直奔主題,引導(dǎo)學(xué)生用三角形的內(nèi)角和推導(dǎo)四邊形的內(nèi)角和。同時(shí),圖形、算式、語(yǔ)言、直觀等形式的表征及相互間的轉(zhuǎn)換,豐厚了學(xué)生對(duì)四邊形內(nèi)角和的理解,發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。多種方法的沖突、對(duì)比并走向融通,使學(xué)生對(duì)四邊形內(nèi)角和的理解更清晰、更深入、更全面、更合理?!?h4>2.推廣泛化,對(duì)比方法

    (1)方法一般化

    師:想象一下,是不是所有的四邊形都能這樣求出內(nèi)角和是3600呢?

    ①任意拉動(dòng)四邊形頂點(diǎn)(一般四邊形)進(jìn)行驗(yàn)證。②拉動(dòng)至凹四邊形驗(yàn)證。

    ③小結(jié)。

    師:現(xiàn)在我們知道,所有的四邊形都能推導(dǎo)計(jì)算出“四邊形的內(nèi)角和是360°”。

    (2)對(duì)比優(yōu)化

    師:你們可真會(huì)思考。能用這樣的三種不同方法推導(dǎo)求出四邊形的內(nèi)角和是360°。那你最喜歡哪種方法?

    【設(shè)計(jì)意圖:優(yōu)化凸顯了基本方法,又再次讓學(xué)生關(guān)注思考方法間聯(lián)系的異同,有利于思維更清晰?!?h3>(三)推廣歸納,拓展提升

    師:剛才同學(xué)們推導(dǎo)出了四邊形的內(nèi)角和,你還想推導(dǎo)哪些多邊形的內(nèi)角和?

    180°

    180°*2

    出示任務(wù)(學(xué)習(xí)單)。

    ①求出五邊形的內(nèi)角和。

    ②任意畫(huà)一個(gè)多邊形,求出它的內(nèi)角和。

    學(xué)生獨(dú)立思考、操作,適時(shí)小組交流。

    集中反饋五邊形。

    (1)多類(lèi)型作品展示

    師:有540°、720°、900°,五邊形的內(nèi)角和到底多少度?(2)不同方法正例反饋

    師:這幾幅作品畫(huà)法都不一樣,怎么都推導(dǎo)出是5400?

    生:第一種方法是分割成三個(gè)三角形進(jìn)行推導(dǎo),第二種是分割成一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形推導(dǎo),都是可以的。

    生:無(wú)論哪種方法求內(nèi)角和,只要減去不是內(nèi)角的部分就可以了。

    【設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)正例錯(cuò)例沖突、多種推導(dǎo)方法沖突,在沖突中實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)的提升,促進(jìn)理解的深刻,也為下一步感悟多邊形內(nèi)角和積累了素材?!?/p>

    拓展延伸。

    師:現(xiàn)在已經(jīng)知道,五邊形可以分成3個(gè)三角形,它的內(nèi)角和是180°×3=540°。

    師:想象一下,6邊形可以分成幾個(gè)三角形??jī)?nèi)角和就是——180°×4=720°。

    180°

    180°*2

    180°*3

    師:像這樣分成4個(gè)三角形,內(nèi)角和就是180°×4= 720°。

    師:7邊形呢?

    生:分成5個(gè)三角形,180°×5。

    師:10邊形呢?100邊形呢?

    師:任意邊形呢?

    生:只要邊數(shù)減去2乘以180°就可以了。

    板書(shū):多邊形的內(nèi)角和=(邊數(shù)-2)×180°

    【設(shè)計(jì)意圖:充分的數(shù)形結(jié)合,充分感受幾何推理的魅力,借助課件強(qiáng)大的數(shù)、形同步功能,讓公式模型的感悟歸納水到渠成。同時(shí)通過(guò)課件動(dòng)態(tài)直觀,結(jié)合想象,讓學(xué)生感悟到“正無(wú)窮多邊形”趨向圓的現(xiàn)象,滲透了極限思想?!?/p>

    【反思】

    (一)緊扣“內(nèi)角和”,感悟推理

    本課始終緊扣“內(nèi)角和”,從“多個(gè)多邊形內(nèi)角和比大小”到“猜想、驗(yàn)證四邊形內(nèi)角和”,到“推導(dǎo)計(jì)算四邊形內(nèi)角和”,再到“推導(dǎo)計(jì)算五邊形內(nèi)角和”,最后到“推導(dǎo)計(jì)算多邊形內(nèi)角和”,層層遞進(jìn)。前期的“猜想、驗(yàn)證”環(huán)節(jié),契合學(xué)情、快速有效,為后續(xù)推導(dǎo)計(jì)算積累感性認(rèn)識(shí)?!巴茖?dǎo)計(jì)算四邊形內(nèi)角和”環(huán)節(jié)作為本節(jié)課的“種子”,充分的操作、全方位的沖突、高直觀的演示、方法間的勾連和對(duì)比優(yōu)化,使得學(xué)生充分感悟“四邊形的內(nèi)角和”的推理過(guò)程。五邊形的內(nèi)角和推導(dǎo)作為練習(xí)鞏固,相對(duì)于四邊形,在復(fù)雜程度上有所提升,既演練推理又促進(jìn)對(duì)內(nèi)角和的深刻理解。后續(xù)的“多邊形內(nèi)角和推導(dǎo)”則以問(wèn)題引導(dǎo),在學(xué)生已有操作經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上通過(guò)想象、課件直觀,讓“多邊形的內(nèi)角和”推導(dǎo)及公式模型的抽象一氣呵成。縱觀整課,可謂緊扣“內(nèi)角和”,基本不離推理。

    (二)幾何畫(huà)板助推課堂

    作為空間與幾何領(lǐng)域的課例,幾何畫(huà)板高直觀、高互動(dòng)、高動(dòng)態(tài)的特性在本課中表現(xiàn)得淋漓盡致。先不論“用剪拼法驗(yàn)證四邊形內(nèi)角和”的動(dòng)態(tài)演示,就談幾何畫(huà)板在本課關(guān)鍵點(diǎn)和疑難點(diǎn)的關(guān)鍵作用。關(guān)鍵點(diǎn):在四邊形內(nèi)角和推導(dǎo)計(jì)算的課件動(dòng)態(tài)演示環(huán)節(jié),先是幾種方法動(dòng)態(tài)分割成三角形的演示,三種方法間的拉動(dòng)勾連,以及通過(guò)拉動(dòng)頂點(diǎn)變形為任意四邊形感悟方法的一般化,無(wú)一體現(xiàn)幾何畫(huà)板的強(qiáng)大優(yōu)勢(shì)。而在概括抽象多邊形內(nèi)角和公式這個(gè)疑難點(diǎn),運(yùn)用迭代效應(yīng),圖形變化從6邊形開(kāi)始,到7邊形、10邊形、100邊形,直至任意邊形,數(shù)形同步變化、完美結(jié)合,內(nèi)在關(guān)系始終不變,公式抽象水到渠成。而在迭代過(guò)程中,學(xué)生感受到了邊數(shù)趨于無(wú)窮、正多邊形趨于圓的極限思想,從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看,可能更有價(jià)值。

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