幾何直觀在低年段教學(xué)中的精彩演繹

黃美霞

2011年版課標(biāo)指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象、有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果?！睋Q句話說，幾何直觀就是借助見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學(xué)的研究對象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力。幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關(guān)系的一種直接的識別或狂想的心理狀態(tài)。下面結(jié)合教學(xué)實(shí)際，談?wù)勑W(xué)低年段數(shù)學(xué)教學(xué)中如何運(yùn)用幾何直觀的方法來幫助孩子感知、生成、深化數(shù)學(xué)知識。

一、感受幾何直觀，建立數(shù)感

幾何直觀在數(shù)學(xué)中無處不在。數(shù)學(xué)家依賴直觀推動對數(shù)學(xué)的思考，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)的理解。幾何直觀不僅是一切幾何學(xué)的基礎(chǔ)，而且貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。正如美國數(shù)學(xué)家阿蒂亞所言主：“在幾何中，視覺思維占主導(dǎo)地位，而代數(shù)中有序思維占主導(dǎo)地位。所以，幾何首先用到的是最直接的形象思維，用形象思維洞察?！睅缀沃庇^能利用圖形生動形象地描述數(shù)學(xué)問題，直觀地反映分析問題的思路，是理解數(shù)學(xué)的有效渠道。在教學(xué)中，我們可采用直觀教具、電化教學(xué)及操作學(xué)具來激發(fā)孩子的學(xué)習(xí)興趣，使“數(shù)學(xué)”形象化。如：為了讓一年級孩子牢固掌握數(shù)字1——9的字型，我將數(shù)與形滲透到數(shù)學(xué)課堂中。把1——9的字型形象畫在黑板上并結(jié)合順口溜進(jìn)行形象教學(xué)：“1像鉛筆、2像鴨子……”。由于這些動物或物品都是孩子們生活中經(jīng)常聞見接觸的，比喻也形象生動，這就使教學(xué)內(nèi)容充滿了生活情趣和情感色彩。在孩子認(rèn)清數(shù)形后進(jìn)一步概括抽象使孩子理解數(shù)學(xué)所蘊(yùn)含的抽象意義，懂得“1”是一種數(shù)字而不是鉛筆”。

又如，在認(rèn)識11——20的數(shù)時，我讓學(xué)生經(jīng)歷了從具體事物（11支鉛筆）——小棒（1捆一根）——算珠（計(jì)數(shù)器個位和十位上兩個珠子）——數(shù)字（11）這個逐步抽象化和符號化的過程，幾何直觀使抽象枯燥的數(shù)學(xué)知識形象化和具體化。心理學(xué)研究表明，兒童認(rèn)識規(guī)律是“感知-表象-概念”，而教具、學(xué)具及電化教學(xué)手段符合這一規(guī)律，能變孩子被動地聽為主動地學(xué)，充分調(diào)動孩子的各種感官參與教學(xué)活動，去感知大量直觀形象的事物，獲得感性知識，形成知識的表象，并誘發(fā)孩子積極探索、從事物的表象中概括出事物的本質(zhì)特征，從而形成科學(xué)的概念，同時滲透了相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，提高了孩子的學(xué)習(xí)興趣，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感，更加拓寬了孩子的創(chuàng)造思維。

二、體驗(yàn)幾何直觀，明晰算理

康德說：“人類的一切知識都是從直觀開始，從那里進(jìn)到概念，而以理念結(jié)束。”直觀模型對學(xué)生理解算理、掌握算法有著不可估量的作用。如：教師在上“每行25格、共有13行的格子圖，讓學(xué)生計(jì)算一共有多少格”。格子圖能形象直觀地呈現(xiàn)25和13的關(guān)系，便于學(xué)生尋求合理的方法。教師要適時引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，可以先算10行有多少格，再算3行有多少格，列式為25×10=250，25×3=75，250+75=325。這里格子圖不僅能為算理提供直觀的模型，而且蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合的思想方法，為抽象概括和理解法則奠定重要的基礎(chǔ)。在這個環(huán)節(jié)的抽象過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將語言表述與符號表達(dá)相結(jié)合，并相互轉(zhuǎn)換。教師要引導(dǎo)學(xué)生在前面提供的情境和模型的基礎(chǔ)上，借助已有的直觀經(jīng)驗(yàn)用“先算什么，再算什么，最后算什么”等語言表述解決問題的過程。同時，教師應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的語言表述進(jìn)行相應(yīng)的板書，將學(xué)生用文字語言表述的內(nèi)容用數(shù)學(xué)符號語言表征的形式——豎式（如右圖）。然后，法則蘊(yùn)含在抽象符號表征的豎式之中，要讓學(xué)生進(jìn)一步理解算理、掌握方法，教師還應(yīng)讓學(xué)生看著豎式，結(jié)合情境和模型，用語言表述每一步的算理。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生脫離直觀材料，看著這個豎式抽象、概括出計(jì)算法則。這樣，就能讓學(xué)生既經(jīng)歷從借助直觀模型理解算理到抽象出算法的過程，又經(jīng)歷從具體算法中抽象出一般算法的過程。

三、轉(zhuǎn)化幾何直觀，展示思路

數(shù)學(xué)知識的形成依賴于直觀，數(shù)學(xué)知識的確立依賴于推進(jìn)。數(shù)學(xué)概念發(fā)展的“直觀-形式-直觀”模式，是一般科學(xué)概念發(fā)展的“具體-抽象-具體”模式的特殊表現(xiàn)形式。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該借助幾何直觀、幾何解釋啟迪學(xué)生思路，利用直觀背景或者幾何直觀幫助學(xué)生理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，為學(xué)生創(chuàng)造主動思考的機(jī)會。例如，教學(xué)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊探索搭配的符號化表示這一內(nèi)容，學(xué)生在匯報自己搭配的穿著時，教師可以通過這樣的提問：你們能不能想個辦法，讓我們的匯報和交流變得更加方便、清楚？很多學(xué)生就會用編號、畫圖、字母等表示方法（學(xué)生的畫圖思考如下圖所示）。

學(xué)生經(jīng)歷了畫圖表征、在搭配時做到“有順序、不遺漏、不重復(fù)”，從感性的認(rèn)識到理性的理解，這是理解上的一次質(zhì)的飛躍。直觀本身不是目的，而是手段。對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，用圖形說話，用圖形描述問題，用圖形討論問題等，就是為了形成生動表象并借以形成概念、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、促進(jìn)抽象思維的發(fā)展。

四、運(yùn)用幾何直觀，培養(yǎng)創(chuàng)新

幾何通常被喻為“心智的磨刀石”，在數(shù)學(xué)研究中起著聯(lián)絡(luò)、理解，甚至提供方法的作用。從創(chuàng)造力看，直觀能想出數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，能決定理論的形式和研究方向。數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問題變成幾何直觀問題，使它們成為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)АＨ?，在教學(xué)平面圖形“角”的概念時，為了突破教學(xué)難點(diǎn)“角的大小與它的張口的大小有關(guān)，與它兩條邊的長短無關(guān)”時，我們可以利用多媒體課件上的“鬧鐘”進(jìn)行演示，學(xué)生能從中發(fā)現(xiàn)鬧鐘上的時針與分針形成一個角；從教師演示分針從1到2、到3、到4 的過程中，引導(dǎo)學(xué)生感悟到“角的大小與它張口的大小有關(guān)”；接著，演示時針與分針形成一個固定的角時，教師通過伸縮時針與分針的長度，引導(dǎo)學(xué)生觀察時針與分針?biāo)纬傻倪@個角的大小是否改變，讓學(xué)生領(lǐng)悟“角的大小與它的兩條邊的長短無關(guān)”。我們巧妙的利用鬧鐘這個動態(tài)的物體，以“形”助“教”，使教學(xué)難點(diǎn)迎刃而解，同時促進(jìn)學(xué)生的思維由直覺思維向具體形象思維發(fā)展。又如，從利用平面圖形認(rèn)識分?jǐn)?shù)的乘法，借助韋恩圖計(jì)算“重疊應(yīng)用問題”等。所謂的“看”是一種直接判斷，是建立在長期有效的觀察和思考的基礎(chǔ)之上的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化。因此，數(shù)學(xué)課堂上，教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，有效激發(fā)學(xué)生的靈感與頓悟，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展。

小學(xué)低年段數(shù)學(xué)教學(xué)時滲透幾何直觀的思想方法，能使學(xué)生的多種感官參與活動，從不同的角度接受動覺、視覺、聽覺的信息，使感性認(rèn)識順利地上升為理性認(rèn)識。巧用幾何直觀的精彩演繹，既能有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果；又能很好地培養(yǎng)他們分析、綜合、比較、概括等抽象邏輯思維能力。因此，保護(hù)學(xué)生先天的幾何直觀的潛質(zhì)，培養(yǎng)和不斷提高學(xué)生的幾何直觀水平，就成為教學(xué)教育的一個重要的價值追求。