借助幾何直觀 促進(jìn)數(shù)學(xué)理解

【摘要】幾何直觀是指借助幾何的形象關(guān)系來(lái)研究問(wèn)題的方法，線段圖便是解決百分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題的幾何直觀之一。在數(shù)學(xué)教學(xué)中巧妙利用線段圖，有助于學(xué)生表征問(wèn)題的成分和結(jié)構(gòu)，將抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知，以達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)構(gòu)性的理解。

【關(guān)鍵詞】線段圖；幾何直觀；數(shù)學(xué)理解

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2017）65-0068-02

【作者簡(jiǎn)介】楊穎芳，江蘇省無(wú)錫市玉祁中心小學(xué)（江蘇無(wú)錫，214183）副校長(zhǎng)，高級(jí)教師。

幾何直觀是指利用圖形描述和分析問(wèn)題的方法，“幾何”二字應(yīng)理解為研究工具，而“直觀”是指研究問(wèn)題的方式和手段。幾何直觀的研究對(duì)象不僅包括幾何學(xué)范疇，還包括數(shù)量之間的關(guān)系。正如數(shù)學(xué)家徐利治先生指出的：幾何直觀是借助于見(jiàn)到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知。作為一種幾何直觀，線段圖是由幾條線段組合在一起，用來(lái)表示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，幫助人們分析題意，解答問(wèn)題的一種平面圖形。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生可借助線段圖來(lái)表征問(wèn)題的成分和結(jié)構(gòu)，將抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)量關(guān)系的直觀感知，以達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)構(gòu)性的理解，從而促進(jìn)問(wèn)題的解決。幾何直觀理念對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要價(jià)值，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題與直觀的線段圖有機(jī)結(jié)合，幫助學(xué)生打開(kāi)思維的大門(mén)。下面，筆者以“百分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題”的教學(xué)為例，談?wù)劸€段圖的實(shí)踐運(yùn)用。

一、教材分析

蘇教版六上“百分?jǐn)?shù)”單元的例10、例11是兩道稍復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。教材是循著理解題意—分析數(shù)量關(guān)系—列方程解答—檢驗(yàn)反思的線索編排的。為了幫助學(xué)生理解題意，教材先呈現(xiàn)不完整的線段圖，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意把線段圖填寫(xiě)完整，并初步感知題目中條件和問(wèn)題之間的聯(lián)系，這一過(guò)程讓學(xué)生在符號(hào)語(yǔ)言（數(shù)）與圖形語(yǔ)言（形）之間建立了聯(lián)系。

二、教學(xué)實(shí)施

以例10的“理解題意”“分析數(shù)量關(guān)系”兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)為例，下文呈現(xiàn)幾何直觀在這個(gè)環(huán)節(jié)的具體運(yùn)用：

出示例10：馬山糧庫(kù)要往外地調(diào)運(yùn)一批糧食，已經(jīng)運(yùn)走了60%，還剩48噸。這批糧食一共有多少噸？（學(xué)生自主讀題后說(shuō)說(shuō)題中的已知條件和問(wèn)題）

師：根據(jù)哪個(gè)條件可以找到單位“1”？是把哪個(gè)數(shù)量看作單位“1”？

生：根據(jù)“已經(jīng)運(yùn)走了60%”，把一批糧食的噸數(shù)看作單位“1”。

師：60%是已知量48噸相對(duì)應(yīng)的百分率嗎？（生說(shuō)不對(duì)應(yīng)）看來(lái)這道百分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題比較復(fù)雜，光看文字?jǐn)⑹?，你能馬上求出這批糧食一共有多少噸嗎？（大部分學(xué)生搖著頭說(shuō)有點(diǎn)困難）

師：面對(duì)這種復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題，同學(xué)們有什么建議？（學(xué)生不約而同地說(shuō)可以畫(huà)線段圖） 師：這個(gè)線段圖怎么畫(huà)呢？（在師生對(duì)話中教師在黑板上呈現(xiàn)線段圖，見(jiàn)圖1）

由于學(xué)生已經(jīng)具有解決簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題時(shí)畫(huà)線段圖的經(jīng)驗(yàn)，所以習(xí)慣于把分率或者百分率標(biāo)在線段的下方，把具體的數(shù)量標(biāo)在線段的上方，這樣畫(huà)有助于學(xué)生區(qū)分分率和具體的數(shù)量。

師：有了線段圖，你愿意看著原來(lái)的文字思考，還是愿意看線段圖思考？為什么？

生1：看線段圖思考，線段圖能把題中的意思都表達(dá)清楚，且非常簡(jiǎn)潔明了。

生2：從線段圖上我一眼就看出已經(jīng)運(yùn)走的60%，是一批糧食的60%，48噸所對(duì)應(yīng)的百分率應(yīng)該是1-60%。

生3：看著線段圖，我知道了“一共的糧食數(shù)-運(yùn)走的糧食數(shù)=還剩的48噸”。

師：是啊，線段圖將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化了，借助線段圖，變“看不見(jiàn)”為“看得見(jiàn)”了，數(shù)量關(guān)系一目了然。

對(duì)學(xué)生而言，純文字形式呈現(xiàn)的復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題相對(duì)比較抽象，大部分學(xué)生很難直接看出題中的數(shù)量關(guān)系。此時(shí)，學(xué)生遇到困難，教師順勢(shì)引入線段圖的解答方法。在具體教學(xué)環(huán)節(jié)中，出示例題后，教師并未直接指導(dǎo)學(xué)生馬上畫(huà)圖，而是讓學(xué)生真真切切地感受“這道百分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題比較復(fù)雜，光看文字?jǐn)⑹?，不能馬上求出這批糧食一共有多少噸”，以此誘發(fā)學(xué)生畫(huà)圖的需要。待線段圖完成后，教師啟發(fā)學(xué)生思考“你愿意看著原來(lái)的文字思考，還是愿意看線段圖思考？為什么？”學(xué)生自然而然就感受到“線段圖能把題中的意思都表達(dá)清楚，非常簡(jiǎn)潔明了”“48噸所對(duì)應(yīng)的百分率應(yīng)該是1-60%”，進(jìn)而明晰解題思路：一共的糧食數(shù)-運(yùn)走的糧食數(shù)=還剩的48噸。在這一教學(xué)過(guò)程中，教師精選習(xí)題，巧設(shè)思維障礙，這樣方可幫助學(xué)生充分體會(huì)線段圖在描述數(shù)學(xué)問(wèn)題、探尋解題思路等方面的價(jià)值和作用。

三、課后延伸

借助線段圖來(lái)幫助學(xué)生理解抽象數(shù)量關(guān)系的方法不能僅在新課講授上使用，更要在課后開(kāi)展有針對(duì)性的訓(xùn)練，以增強(qiáng)學(xué)生主動(dòng)使用線段圖解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)，不斷積累借助圖形直觀分析和解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，感受幾何直觀在解決問(wèn)題中的作用。其中教材的“練習(xí)17”“練習(xí)與測(cè)試”題組訓(xùn)練值得關(guān)注。

（1）一根繩子剪去20%，正好剪去3米。這根繩子原來(lái)長(zhǎng)多少米？

（2）一根繩子剪去20%，還剩12米。這根繩子原來(lái)長(zhǎng)多少米？

這兩道題都是把一根繩子的長(zhǎng)度看作單位“1”，題（1）中剪去的20%是3米對(duì)應(yīng)的百分率，題（2）中20%卻不是12米對(duì)應(yīng)的百分率。下面是兩位學(xué)生的解題情況：

練習(xí)中，當(dāng)教師沒(méi)有把畫(huà)線段圖作為解題的硬性規(guī)定時(shí)，學(xué)生通常都會(huì)出現(xiàn)上述兩種情況，一種是“老師不作畫(huà)圖要求就不畫(huà)圖”，另一種是主動(dòng)將數(shù)譯成形。前者的解題質(zhì)量通常非常低，這時(shí)教師不能簡(jiǎn)單認(rèn)為這是因?yàn)閷W(xué)生粗心所致，而應(yīng)該去充分關(guān)注“差錯(cuò)”背后的真正原因——他們?cè)诖痤}時(shí)并未理解抽象的文字?jǐn)⑹?，不能理清?shù)量之間的關(guān)系，從而導(dǎo)致機(jī)械模仿；而采用第二種方法的學(xué)生已經(jīng)能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題靈活畫(huà)圖，進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題，他們已經(jīng)進(jìn)入良性循環(huán)的狀態(tài)。

當(dāng)然，線段圖只是幾何直觀中的一種形式，幾何直觀在數(shù)學(xué)中無(wú)處不在，直觀本身不是目的，而是手段。因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生借助直觀，以實(shí)現(xiàn)由“表”及“里”的理解。