談導(dǎo)數(shù)的幾種應(yīng)用與思路

劉旌揚(yáng)

【摘要】導(dǎo)數(shù)是中學(xué)乃至大學(xué)數(shù)學(xué)中微積分部分的基礎(chǔ)知識(shí)，如復(fù)變函數(shù)、泛函等都是以導(dǎo)數(shù)作為基礎(chǔ)。導(dǎo)數(shù)在的幾種問題，尤其在求函數(shù)的極值、單調(diào)性等方面，求解非常方便、簡(jiǎn)潔。同時(shí)，在極限求解方面，以導(dǎo)數(shù)基本原理為基礎(chǔ)的洛必達(dá)法則更是一個(gè)求解極限類問題的不二法門。不僅拓寬了解題方法，更加快了解題速度。以導(dǎo)數(shù)在函數(shù)極值、單調(diào)性中的綜合應(yīng)用與洛必達(dá)法則為例，通過幾個(gè)問題總結(jié)導(dǎo)數(shù)的解題思路與方法。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)極值單調(diào)性洛必達(dá)法則通常來說，導(dǎo)數(shù)可以從不同的角度靈活考察知識(shí)的綜合運(yùn)用和解決數(shù)學(xué)問題的能力。與此同時(shí)，導(dǎo)數(shù)與不等式、數(shù)列、函數(shù)等知識(shí)的交集命題，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決綜合能力問題已成為今后命題的趨勢(shì)和特點(diǎn)。本文試圖以導(dǎo)數(shù)在函數(shù)極值、單調(diào)性中的綜合應(yīng)用與洛必達(dá)法則為例，通過幾個(gè)問題總結(jié)導(dǎo)數(shù)的解題思路與方法。

一、導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值中的應(yīng)用

問題分析：（1）對(duì)于給定求函數(shù)單調(diào)性問題，看清題目所給條件，一般來說，若給條件是函數(shù)存在極值，則可推得導(dǎo)數(shù)存在零點(diǎn)，且零點(diǎn)非駐點(diǎn)。（2）本題中，不僅需要求函數(shù)的單調(diào)性，還需要求參數(shù)的取值范圍。同理，根據(jù)所給條件，可確定函數(shù)存在零點(diǎn)，后求出極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x值，進(jìn)行分類討論即可。本題也與上一節(jié)聯(lián)系緊密，說明導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用穿插于各類問題當(dāng)中，用途廣泛。

三、洛必達(dá)法則

解析：（1）對(duì)于該類不等式問題，首先應(yīng)分離變量，并且將不等式一端用函數(shù)表示，多次求導(dǎo)可以確定分離變量后一端新函數(shù)的單調(diào)性；（2）求解出函數(shù)極值后，極值未必就在定義域內(nèi)，若在極值點(diǎn)處函數(shù)滿足洛必達(dá)條件，可利用上節(jié)內(nèi)容求得極限。

四、總結(jié)

總之，導(dǎo)數(shù)作為大學(xué)課程《高等數(shù)學(xué)》中微積分的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，在新課標(biāo)的課程大綱中，將導(dǎo)數(shù)移至高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，雖然，高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容增加了，但由于導(dǎo)數(shù)本身具有極強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用性，能夠非常好地解決一些例如極值問題、最值問題，在單調(diào)性問題、不等式證明等問題，并且在這類問題中具有突出的實(shí)際運(yùn)用性，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一個(gè)很好的學(xué)習(xí)工具。與此同時(shí)，導(dǎo)數(shù)是在各類考試中重點(diǎn)的考試內(nèi)容，霸占非常大的分?jǐn)?shù)比例，一般試卷壓軸題出導(dǎo)數(shù)的題目概率及其之高。因此，在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)過程中要注意理解導(dǎo)數(shù)的一些常規(guī)運(yùn)用并且理解導(dǎo)數(shù)的意義，在基礎(chǔ)問題方面勤加練習(xí)，做到舉一反三，同時(shí)熟練的掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，才能在考試中發(fā)揮出理想的實(shí)力。

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