一道高中解析幾何題的說(shuō)題設(shè)計(jì)探究*

張玉珍 蘇洪雨

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 510631)

波利亞有一句廣為流傳的名言，“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題”[1].解題能力的提升不僅在于做題的數(shù)量，更在于解題的質(zhì)量.正如波利亞的著作把傳統(tǒng)的單純解題發(fā)展為通過(guò)解題獲得新知識(shí)和新技能的學(xué)習(xí)過(guò)程[2].而對(duì)于解題教學(xué)，教師要做的不僅是教會(huì)學(xué)生解這一道題，而是要探究問(wèn)題的根本，挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，幫助并引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟其本質(zhì)并掌握解決這一類問(wèn)題的思想方法，從而使學(xué)生達(dá)到舉一反三的效果.

說(shuō)題是近幾年來(lái)素質(zhì)教育改革與實(shí)踐中涌現(xiàn)出來(lái)的一種新型教學(xué)研討形式，成為教育工作者們研究解題教學(xué)、提升教學(xué)效率的一個(gè)重要平臺(tái).教師說(shuō)題活動(dòng)是指教師在精心做題的基礎(chǔ)上，闡述對(duì)題目的理解和分析、解答時(shí)所采用的思維方式、解題策略及依據(jù)、變式拓展進(jìn)而總結(jié)出解題規(guī)律的一種教研模式.因此，題目如何設(shè)計(jì)、教師如何教以及學(xué)生如何學(xué)這三大方面是說(shuō)題的立足點(diǎn)，應(yīng)該給予高度重視.以下筆者就一道高中數(shù)學(xué)解析幾何題進(jìn)行說(shuō)題設(shè)計(jì)的探究.

1 試題呈現(xiàn)

(1)求曲線C的方程；

(2)求m的取值范圍；

(3)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

2 說(shuō)題設(shè)計(jì)

2.1 審題分析

2.1.1 題目背景

這是一道源于高三復(fù)習(xí)的解析幾何題，其主要題干來(lái)源于人教版普通高中數(shù)學(xué)選修2-1第二章“圓錐曲線與方程”.主要考查了學(xué)生解析幾何的綜合能力，難度中等，要求學(xué)生根據(jù)題目給出的條件，發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，綜合運(yùn)用平面幾何和解析幾何的知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行準(zhǔn)確運(yùn)算求解.

該題所涉及的知識(shí)點(diǎn)主要包括：(1)坐標(biāo)的伸縮變換；(2)橢圓的方程；(3)直線與橢圓的位置關(guān)系；(4)一元二次方程的判別式；(5)韋達(dá)定理；(6)等腰三角形的判定方法：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形；有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；底邊上的高、底邊上的中線、頂角的角平分線相互重合的三角形是等腰三角形；(7)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系.本題的重點(diǎn)是平面幾何知識(shí)與解析幾何知識(shí)的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，難點(diǎn)是如何選擇恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)方法去判定等腰三角形，優(yōu)化計(jì)算.本題主要考查的思想是方程、轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的思想.

2.1.2 條件分析

本題給出的題干條件主要有以下五個(gè)：(1)圓的方程；(2)圓的坐標(biāo)伸縮變換得到曲線C；(3)曲線C過(guò)點(diǎn)M(2，1)；(4)直線l平行于OM，截距為m(m≠0)；(5)直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn).根據(jù)這些條件，引導(dǎo)學(xué)生借助思維導(dǎo)圖(如圖1)進(jìn)行大膽地聯(lián)想，并進(jìn)行初步分析，把相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，看看能得到什么結(jié)論.有時(shí)候直接從條件出發(fā)去尋求最終結(jié)論的過(guò)程中會(huì)遇到困難，止步不前，這時(shí)我們不妨換個(gè)方向思考，把結(jié)論當(dāng)作條件，也進(jìn)行大膽地聯(lián)想，逐步分析獲得相關(guān)結(jié)論.這時(shí)候，從題干條件出發(fā)得到的結(jié)論將會(huì)與從結(jié)論出發(fā)得到的相關(guān)結(jié)論交匯，從而有理有據(jù)地獲得解決問(wèn)題的思路，而不是憑感覺(jué)去嘗試各種可能.引導(dǎo)學(xué)生在分析題目的時(shí)候利用思維導(dǎo)圖進(jìn)行充分聯(lián)想，并進(jìn)行雙向思考與分析，既可以提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，同時(shí)可以培養(yǎng)學(xué)生的正向思考和逆向思考能力，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展.

圖1

2.1.3 題目?jī)r(jià)值

解析幾何的解答題一直以來(lái)都是各地?cái)?shù)學(xué)高考試題中占有很大分量的題目，不僅涉及的綜合內(nèi)容多、運(yùn)算量大，而且承載著方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法的考查任務(wù).在解決本題后，將促進(jìn)學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)，提高學(xué)生對(duì)平面幾何知識(shí)和解析幾何知識(shí)的認(rèn)識(shí)和兩者之間相互轉(zhuǎn)化的能力.經(jīng)歷問(wèn)題的解決過(guò)程，發(fā)展學(xué)生運(yùn)用思維導(dǎo)圖分析問(wèn)題、挖掘信息、尋求解題策略的能力.同時(shí)通過(guò)對(duì)題目進(jìn)行變式與拓展，挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，總結(jié)規(guī)律，使學(xué)生能夠“解一道，會(huì)一片”，改善學(xué)生解題的質(zhì)量，提高學(xué)生對(duì)求解解析幾何解答題的自信心和能力.

2.2 解題過(guò)程分析

2.2.1 解題思路的形成

第(3)小問(wèn)是本題的難點(diǎn).要求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形，首先想到的是把這個(gè)等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)求出來(lái)(要先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合M(2，1)列出直線MA、MB的方程，再求出這兩直線與x軸的兩交點(diǎn)E、F，加上點(diǎn)M即為三角形的三個(gè)頂點(diǎn))，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式求出三邊的邊長(zhǎng)，進(jìn)而通過(guò)證明有兩邊相等來(lái)證明等腰三角形；或者通過(guò)證明“三線合一”、“兩角相等”來(lái)證明.但這種解題思路(簡(jiǎn)稱為思路一)計(jì)算復(fù)雜，運(yùn)算量大，很容易出錯(cuò).學(xué)生在求解過(guò)程中可能因?yàn)橛?jì)算量過(guò)大而選擇放棄，或者因?yàn)橛?jì)算錯(cuò)誤而打擊學(xué)生的信心.

由圖1我們可以看到，從等腰三角形的“兩底角相等”(如圖2，通過(guò)作圖，我們可以發(fā)現(xiàn)該等腰三角形的底邊位于x軸上，即M為頂點(diǎn)，兩個(gè)底角的端點(diǎn)也位于x軸上)到“直線MA、MB的傾斜角互補(bǔ)”再到“直線MA、MB的斜率和為0”，這三者之間是互相推導(dǎo)的關(guān)系.而要證“直線MA、MB的斜率和為0”，只要利用第(2)小問(wèn)推導(dǎo)出的一元二次方程，從中得出關(guān)于A、B坐標(biāo)的韋達(dá)定理代入直線MA、MB的斜率相加的式子中，化簡(jiǎn)即可得到斜率和為0，從而命題得證.這種將平面幾何的關(guān)系轉(zhuǎn)化為解析幾何關(guān)系的解題思路(簡(jiǎn)稱為思路二)大大減少了計(jì)算的復(fù)雜程度，優(yōu)化了證明過(guò)程，而且準(zhǔn)確率也會(huì)大大提高，有利于提高學(xué)生解決解析幾何問(wèn)題的信心和能力.

圖2

通過(guò)對(duì)比我們可以發(fā)現(xiàn)，解題思路有優(yōu)劣之分，好的解題思路可以獲得事半功倍的效果.在教學(xué)過(guò)程中，要注重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和聯(lián)想能力，鼓勵(lì)學(xué)生多角度思考問(wèn)題，不僅要學(xué)會(huì)解題，掌握解題的通法，還要學(xué)會(huì)一題多解，提高解題的效率和質(zhì)量.

2.2.2 解答呈現(xiàn)

經(jīng)過(guò)剛才的解題思路分析，(1)(2)小問(wèn)的解答采取常用的解題思路，而第三問(wèn)的解答采用更為簡(jiǎn)潔的“思路二”，由此得到以下的解題過(guò)程流程圖(見圖3)，詳細(xì)解答略.

圖3

2.3 變式與拓展

從剛才的解答中，我們可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)重要的結(jié)論：

為什么會(huì)有這樣一個(gè)結(jié)論呢？命題者是怎樣命制這道題目的？這道題目又可以變成什么樣子？只有弄清楚題目是怎么來(lái)的，即找到題目的原型，才能真正掌握問(wèn)題的本質(zhì)，明白出題者的意圖.弄明白題目往哪里去，實(shí)現(xiàn)一題變多題，發(fā)現(xiàn)題目背后隱藏的規(guī)律，才能達(dá)到觸類旁通的效果.

2.3.1 題目的來(lái)源

圖4

觀察結(jié)論1與猜想1，我們可以看到，其實(shí)兩者都是關(guān)于橢圓上的三個(gè)點(diǎn)之間關(guān)系的有關(guān)定值的問(wèn)題.結(jié)論1與猜想1都是建立在具體的橢圓、橢圓上具體的定點(diǎn)的背景下，如果是在任意的橢圓、橢圓上任意的定點(diǎn)的背景下，還會(huì)有類似的結(jié)論嗎？因?yàn)椴恢乐本€l的斜率，所以暫時(shí)無(wú)法類比結(jié)論1提出結(jié)論2.但是我們可以逆向推理來(lái)求解直線的斜率，提出猜想：

圖5

綜合猜想2和結(jié)論2，可以得到關(guān)于一般的橢圓及其上的三個(gè)點(diǎn)的定值問(wèn)題的結(jié)論：

結(jié)論3就是本題的本質(zhì).若學(xué)生掌握了這個(gè)本質(zhì)，對(duì)這個(gè)本質(zhì)有了較深的認(rèn)識(shí)，那么以后遇到這類題型時(shí)就可以手到拈來(lái)，能夠快速地找到解題的方向，提高解題效率.同時(shí)讓學(xué)生經(jīng)歷這樣一個(gè)猜想與證明的過(guò)程，有利于培養(yǎng)學(xué)生自主探索的能力和大膽猜想、小心求證的科學(xué)態(tài)度.

2.3.2 題目的變式

希望通過(guò)解題訓(xùn)練來(lái)有效提升解題水平的一個(gè)重要實(shí)踐是會(huì)對(duì)題目進(jìn)行變式，一題變多題，并且能夠解答之.根據(jù)上面的分析，可以從第(3)小問(wèn)中得到的結(jié)論1出發(fā)，把命題的正逆向及命題的抽象水平作為切入點(diǎn)對(duì)本題進(jìn)行一系列變式，如：

當(dāng)然，我們還可以通過(guò)改變題目的大背景——橢圓來(lái)進(jìn)行變式，可以把橢圓換成另外三種圓錐曲線：圓、雙曲線和拋物線，如：

圖6

在教學(xué)過(guò)程中，注重進(jìn)行變式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在變式練習(xí)中領(lǐng)悟解決這些問(wèn)題的思想方法，那么學(xué)生將來(lái)面對(duì)這一類圓錐曲線的定值問(wèn)題時(shí)將會(huì)更加游刃有余，提高學(xué)生對(duì)解析幾何題的自信心.

3 總結(jié)

說(shuō)題作為一種新的教學(xué)研討活動(dòng)，是促進(jìn)教師專業(yè)成長(zhǎng)和學(xué)生學(xué)習(xí)的有效途徑.通過(guò)說(shuō)題活動(dòng)，促進(jìn)教師對(duì)試題進(jìn)行深入研究，透析題目背景，把握命題趨勢(shì)與方向；挖掘問(wèn)題本質(zhì)，分析試題能力要求，改變教學(xué)思路，提高課堂教學(xué)的針對(duì)性和有效性，從而在推動(dòng)教師能力提升的同時(shí)提高數(shù)學(xué)學(xué)科的教育教學(xué)水平.雖然形式上教師說(shuō)題主要是說(shuō)給同行或者研究人員聽的，但最終要落實(shí)到教學(xué)上.因此，教師在進(jìn)行說(shuō)題設(shè)計(jì)的時(shí)候，要立足于教師教和學(xué)生學(xué)的角度，分析學(xué)生可能的思維，發(fā)現(xiàn)他們的思維障礙以及思維誤區(qū)，并進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo).教師可以借助相關(guān)的計(jì)算機(jī)技術(shù)(如思維導(dǎo)圖、幾何畫板等)引導(dǎo)學(xué)生逐步加深對(duì)題目的認(rèn)識(shí)，掌握問(wèn)題的本質(zhì)，以達(dá)到以一當(dāng)十的效果.