“ka+b型最小值”問題的探究與思考

錢德春 范建兵

(江蘇省泰州市教育局教研室225300) (江蘇省蘇州市學(xué)府中學(xué)215008)

1 從“胡不歸”故事談起[1]

一個身在他鄉(xiāng)的小伙子，得知父親病危的消息后，日夜兼程回家.當(dāng)他氣喘吁吁地來到父親的面前時，老人剛剛咽氣了.人們告訴他，在彌留之際，老人在不斷喃喃地叨念：“胡不歸？胡不歸？……”

這則古老的傳說用圖形表示為：如圖1，A是出發(fā)地，B是目的地，MN是一條驛道，在驛道的目的地B一側(cè)全是砂土地帶.為了急切回家，小伙子選擇了直達(dá)路程AB.由于兩點(diǎn)之間線段最短，小伙子的選擇有一定道理.但是，他忽略了在驛道上行走要比在砂土地帶行走快的這一因素.如果他能選擇一條合適的路線(盡管這條路線長一些，但是到家的時間可以短些)，是可以提前抵達(dá)家門的.那么，小伙子應(yīng)該走怎樣的一條路線呢？

圖1

2 “ka+b最小值型”問題探究

2.1 一個特殊的案例

圖2

2.2 回到“胡不歸”問題

再回到“胡不歸”問題.借助于構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求兩條線段和的最小值問題.例1為“胡不歸”問題解決明確了方向，提供了可借鑒的思路，即將ka+b中的ka用一條與b有公共端點(diǎn)的線段表示，構(gòu)造直角三角形，使以公共端點(diǎn)為頂點(diǎn)的銳角正弦值等于k.

圖3

圖4

2.3 “ka+b最小值型”問題再探

在“ka+b最小值型”模型中，k、a、b的取值有什么限制？問題如何量化求解？可否一般化呢？

2.3.1 對ka+b中的k、a、b值條件的探討

2.3.2 “胡不歸”問題的量化求解

2.3.3ka+b最小值型問題的推廣

3 思考與啟示

章建躍先生提倡數(shù)學(xué)教學(xué)要“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”，這說明了數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的三個層次.“取勢”是對數(shù)學(xué)的哲學(xué)理解，即順勢而為、謀勢而動，“回歸數(shù)學(xué)教育的本來面目，發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，挖掘數(shù)學(xué)所蘊(yùn)含的價值觀資源，以培育學(xué)生的理性精神、發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力”[2]，這是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的宏觀境界；“道”是數(shù)學(xué)的一般規(guī)律、方法和思想，“明道”即數(shù)學(xué)教師要遵循“數(shù)學(xué)的道”，懂得數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的“基本套路”，遵循數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律開展教學(xué)研究活動；“術(shù)”是知識、經(jīng)驗(yàn)、技術(shù)、方法、手段等的集合體，“優(yōu)術(shù)”即提升教與學(xué)的“方法、技藝水平，積累實(shí)用的策略，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)并從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律(經(jīng)驗(yàn)之中有規(guī)律)等等”.

經(jīng)歷“ka+b型最小值”問題的探究過程，筆者感受到：作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，數(shù)學(xué)解題也具有三種境界.一是解決數(shù)學(xué)問題策略應(yīng)該在于回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)內(nèi)涵；二是只有“明”數(shù)學(xué)之“道”才能“優(yōu)”解題之“術(shù)”；三是通過解題反思，方能掌握知識的來龍去脈與發(fā)展趨勢，將不穩(wěn)定的、個體的、感性的解題活動經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為穩(wěn)定的、普遍的、理性的數(shù)學(xué)認(rèn)知、能力與情懷.

3.1 回歸本質(zhì)，簡中明“道”

數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？張奠宙教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)本質(zhì)就是數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程、數(shù)學(xué)思想方法的提煉和數(shù)學(xué)理性精神的體現(xiàn).[3]從解題角度來說，回歸本質(zhì)，就是解題思路要回歸數(shù)學(xué)概念、回歸基本原理、回歸通性通法，在簡明、本真之中悟數(shù)學(xué)之“道”，以不變應(yīng)萬變.“教師若能經(jīng)常啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生在解題之后去再思考一下這類數(shù)學(xué)問題的基本解題規(guī)律是什么？則不僅有利于學(xué)生對基本技能的掌握和運(yùn)用，而且有利于學(xué)生歸納思維能力的訓(xùn)練和培養(yǎng).”[4]

圖5

數(shù)學(xué)問題可能會以不同形式和面目出現(xiàn)，但解決問題的思維過程遵循一定的規(guī)律與路徑，即抽象為數(shù)學(xué)問題并加以解決.以此構(gòu)建數(shù)學(xué)知識，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想.如“胡不歸”問題與“ka+b型值最小”等幾何問題，其基本方法多通過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等手段，轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間,線段最短”和“垂線段最短”兩個基本模型(基本事實(shí))解決，這個過程滲透了轉(zhuǎn)化、變換、從特殊到一般、模型等數(shù)學(xué)思想(如圖5)，充分彰顯了解題的教學(xué)價值，這正是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)有之“道”.

“回歸本質(zhì)”必須遵循兩個原則.一是相對性原則.“回歸”是相對的，解法的回歸并非完全回到原始的概念與公理.歐氏幾何是由Euclid“概括出14個基本命題，其中5個公設(shè)和9條公理……，運(yùn)用演繹的方法將當(dāng)時所知幾何學(xué)知識全部推導(dǎo)出來”[5]而成的一個邏輯系統(tǒng).但這個系統(tǒng)中的定理推導(dǎo)并非都要回到定義、公設(shè)與公理，更多是由新定義、公理和已經(jīng)演繹出來的定理作為依據(jù)；而經(jīng)過證明的命題又可以作為證明其他幾何命題時的依據(jù).如本文中解決“胡不歸”問題的依據(jù)是“點(diǎn)到直線垂線段最短”，而這個結(jié)論是由“兩點(diǎn)之間線段最短”推導(dǎo)而來.我們無需要再去證明為什么“點(diǎn)到直線垂線段最短”，或?qū)栴}轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”，即沒有完全回到源頭公理.二是個性化原則.解題教學(xué)要鼓勵學(xué)生基于通性通法的個性化思考.如小學(xué)數(shù)學(xué)中整數(shù)的乘法，最基本、適用范圍最廣的方法是豎式乘法.學(xué)生掌握了這種基本方法后，可以根據(jù)算式的具體情況和個體的經(jīng)驗(yàn)得出不同的簡便運(yùn)算方法，即所謂“既要通性通法，也要特事特辦”，正如陸正海所說，“數(shù)學(xué)的發(fā)展就是在一步步提高通性通法的層次，拓展通性通法的適用范圍和領(lǐng)域，直至發(fā)明新的通法，強(qiáng)調(diào)能力立意，要能為不同思維層次的學(xué)生提供施展的平臺”[6].

3.2 深度辨析，思中取“勢”

解題是數(shù)學(xué)知識、策略、方法和學(xué)習(xí)心理、思維品質(zhì)的綜合體現(xiàn)，如果教學(xué)僅僅止于“解題”，那就失去了引領(lǐng)數(shù)學(xué)價值觀、培育理性精神、發(fā)展思維能力的意義.因此，在解題教學(xué)中，還要引導(dǎo)學(xué)生通過解題后的深度辨析與反思，理清數(shù)學(xué)知識的來龍去脈和知識關(guān)聯(lián)，使數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，并將解題經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為思維能力.

3.3 順“勢”借“道”，探中優(yōu)術(shù)

“術(shù)”是“明道”后轉(zhuǎn)化而來的具體操作方法、技巧與技能，需要在經(jīng)歷、體驗(yàn)、操作的過程中生成.反過來，“優(yōu)術(shù)”可固“道”，亦能度“勢”.換言之，“數(shù)學(xué)技能與知識共同構(gòu)成數(shù)學(xué)能力的基本要素，是形成數(shù)學(xué)能力的前提”[7].因此，解題教學(xué)要正確處理好“術(shù)”“道”“勢”三者間的關(guān)系.

一方面，解題教學(xué)要以“術(shù)”為載體，以“明道”“取勢”.如果對“ka+b值最小問題”的研究只停留在平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等操作層面，而缺乏“以道為魂”的追求，不去思考一般性策略、方法、思想和源頭，那么“術(shù)”便失去靈性，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果就會大打折扣.如在“胡不歸”問題的研究中，我們先提出一個現(xiàn)實(shí)問題，并將問題數(shù)學(xué)化，接著進(jìn)行從特殊到一般的研究.有的結(jié)論盡管經(jīng)過推理論證、符合邏輯.但有時由于學(xué)生缺乏真實(shí)性體驗(yàn)，如學(xué)生可能對“胡不歸”問題一般性結(jié)論有所懷疑：這樣的結(jié)論正確嗎？因此有必要通過具體問題與情境加深理解與內(nèi)化.如將問題具體化，賦予具體數(shù)值，讓學(xué)生通過運(yùn)算直觀感受一般性結(jié)論的正確性.

如圖6，以出發(fā)地A為原點(diǎn)(O)，驛道為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)小伙子家的坐標(biāo)為(12，5)，在驛道上走的速度是在砂土地上走的速度的2倍(不妨設(shè)砂土地上行走的速度為1).現(xiàn)設(shè)計3種回家方案，分別計算所用時間.方案①：從A直達(dá)B；方案②：過點(diǎn)B作BP1⊥x軸于點(diǎn)P1，沿路線AP1B到B；方案③：根據(jù)前文方法，作射線OC，使∠xOC=30°，作BH⊥OC于H，交x軸于P2，沿路線AP2B到B.通過計算得方案①、②、③的時間分別為13、11和10.3(約)，學(xué)生經(jīng)歷這個過程，得到了“眼見為實(shí)”的數(shù)據(jù)，從而對一般性結(jié)論得到內(nèi)化.

圖6

另一方面，要順“勢”借“道”，在探究中“優(yōu)術(shù)”.解題教學(xué)中，必須鼓勵學(xué)生在掌握通性通法的基礎(chǔ)上，對具體問題有個性化的思考與妙招巧解.啟發(fā)學(xué)生根據(jù)個體經(jīng)驗(yàn)自主思考，形成具有個性化的解題之“術(shù)”.

(本文素材得到于新華、萬廣磊、崔恒劉、吳小平等老師的幫助，謹(jǐn)表感謝.)