例談難點(diǎn)突破的教學(xué)策略*

毛錫榮

(無錫市輔仁高級(jí)中學(xué) 214123)

“三角函數(shù)的應(yīng)用”是蘇教版必修四第一章《三角函數(shù)》第三節(jié)第四部分的內(nèi)容．教科書專門設(shè)置這一節(jié)，意圖是讓學(xué)生感受三角函數(shù)在解決具有周期性變化規(guī)律問題中的作用，體驗(yàn)三角函數(shù)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系．建立和運(yùn)用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題，對(duì)教師來說是很簡單的，但對(duì)高一學(xué)生而言，卻是一個(gè)全新的內(nèi)容.什么是簡諧運(yùn)動(dòng)？為什么三角函數(shù)模型能描述和刻畫簡諧運(yùn)動(dòng)？怎樣建立三角模型解決具有周期性運(yùn)動(dòng)特征的實(shí)際問題？他們既感到陌生，又難以理解．

為了有效地突破這一教學(xué)難點(diǎn)，在教學(xué)過程中，教師要充分了解學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知特點(diǎn)，站在學(xué)生的角度，想學(xué)生之所想，設(shè)計(jì)貼近學(xué)生實(shí)際的、層次分明的遞進(jìn)性問題，與學(xué)生一起走入學(xué)生的原有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)中去，通過合作交流的探究活動(dòng)，展示建構(gòu)刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的思維過程，幫助學(xué)生突破認(rèn)知的難點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)和數(shù)學(xué)理解．基于這樣的思考，筆者在教學(xué)實(shí)踐中，運(yùn)用“適時(shí)鋪墊，搭建臺(tái)階”、“操作活動(dòng)，暴露思維”和“技術(shù)支持，促進(jìn)理解”等教學(xué)策略，取得了良好的效果．

1 適時(shí)鋪墊，搭建臺(tái)階

精心設(shè)計(jì)一系列有層次、由淺入深的梯度問題作為鋪墊，搭建臺(tái)階是幫助學(xué)生突破難點(diǎn)的重要手段.學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到難以解決的問題，其中有很大一部分是由于問題的內(nèi)容跨度大，思維層次高，學(xué)生沒辦法領(lǐng)會(huì)，更別說去加以解決.這時(shí)，教師只有在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)精心設(shè)計(jì)一系列難度由淺入深，思維跨度由低到高的問題鏈，為學(xué)生鋪設(shè)臺(tái)階、搭建起思維活動(dòng)的腳手架，通過問題鏈之間的前后銜接、相互呼應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生積極思維，大膽質(zhì)疑，才能有效地降低學(xué)生的思維的難度，減小思維的落差，在師生共同思考、合作探究和問題反饋中一步步剖析問題，解決問題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解．

片斷一

圖1

問題1(如圖1)在以O(shè)為圓心、A為半徑的圓上有一點(diǎn)P，如何刻畫點(diǎn)P的位置？

生1：以圓心O為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可用坐標(biāo)表示點(diǎn)P．

師：在圖1中建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)P(x，y)，如果把點(diǎn)P看作從x軸開始旋轉(zhuǎn)得到，還可以有什么方法．

生2：用以O(shè)X為始邊，OP為終邊的角θ表示．

師：在圖中標(biāo)出θ，兩種表示方法有什么關(guān)系，

依據(jù)是什么？

圖2

問題2(如圖2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，在以O(shè)為圓心、A為半徑的圓上有一點(diǎn)P，從P0處開始沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為ω(rad/s)(單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角)，如何確定t(s)后點(diǎn)P的位置？

圖3

問題3(如圖3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，在以O(shè)為圓心、A為半徑的圓上有一點(diǎn)P，從P0處開始沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為ω，如何確定t(s)后點(diǎn)P的位置？

生5：設(shè)P(x，y)，OP在t(s)內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為ωt，即

師：由活動(dòng)3發(fā)現(xiàn)，若點(diǎn)P起始位置不在x軸，需要引入初始角φ．φ可以任意取值嗎？

生6：能，φ是以O(shè)x為始邊，OP0為終邊的任意角．

師：通過以上探究，我們知道了如何用三角函數(shù)刻畫作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)P的位置．

需要注意的是，在引導(dǎo)學(xué)生解答系列問題的過程中，教師應(yīng)該做好“角色換位”，充分考慮到學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中難以同化新知識(shí)的環(huán)節(jié)，給予學(xué)生提供思維的某些特定信息和“提示語”，誘導(dǎo)學(xué)生圍繞問題的內(nèi)容積極展開思考，不過分介入學(xué)生的思考，先讓學(xué)生自覺先對(duì)問題進(jìn)行研究，建立對(duì)問題的充分直覺，學(xué)生始終處于緊張的學(xué)習(xí)狀態(tài)之中，教師通過對(duì)自身思維的“稚化”，與學(xué)生共同經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展，在這個(gè)過程中喚起和保持學(xué)生的注意力和興趣，最后，通過問題鏈，層層推進(jìn)，促使學(xué)生將己有的知識(shí)現(xiàn)狀反饋給教師，教師及時(shí)修正和調(diào)整后，學(xué)生再反饋，最終達(dá)到教學(xué)的完美共建．

2 操作活動(dòng)，暴露思維

數(shù)學(xué)教育學(xué)家(蘇)斯托利亞爾指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)(思維活動(dòng))的教學(xué)，而不僅是數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果——數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，”也就是說，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要反映數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果，而且還要善于暴露得到這些結(jié)果的思維活動(dòng)的過程，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不能也不應(yīng)該將事先準(zhǔn)備好的解題思路匆匆“拋”給學(xué)生，而應(yīng)當(dāng)充分暴露學(xué)生的思維過程，通過暴露學(xué)生的思維過程，還原學(xué)生思維活動(dòng)的本來面目，保留或再現(xiàn)思維過程中失敗的部分，才能找到學(xué)生思維的障礙或潛在于現(xiàn)象背后的本質(zhì)，才能了解學(xué)生的思維活動(dòng)的特點(diǎn)，把握學(xué)生的認(rèn)知進(jìn)程，引導(dǎo)教學(xué)活動(dòng)的開展，有針對(duì)性地進(jìn)行釋疑或彌補(bǔ)，從而順利地突破教學(xué)的難點(diǎn).

片斷二

問題一半徑為3m的水輪如圖4所示，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開始計(jì)算時(shí)間，試將點(diǎn)P距離水面的高度Z(m)表示為時(shí)間t(s)的函數(shù).

圖4

師：請(qǐng)大家思考一下，運(yùn)用我們已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)，怎樣解決第一個(gè)問題？可以相互討論．

生7：只要確定點(diǎn)P的位置，寫出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)．

師：如何確定點(diǎn)P的位置，我們首先要做什么？

生7：建立坐標(biāo)系．

師：怎樣建系呢，建系的最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)是什么？

生7：以O(shè)為原點(diǎn)、水平方向?yàn)閤軸建系，建系要盡量使計(jì)算簡單，圖形盡量對(duì)稱．

師：在圖4中建立平面直角坐標(biāo)系，現(xiàn)在能表示點(diǎn)P的縱坐標(biāo)了嗎？

生7：不能，點(diǎn)P的起始位置不在x軸上，需要引入初始角φ．

師：設(shè)哪個(gè)角為φ？

生7：設(shè)∠P0Ox=φ．

師：我們可以這樣表示任意角嗎？

生7：哦，應(yīng)該設(shè)以O(shè)X為始邊，OP0為終邊的角為φ．

師：φ角有范圍限制嗎？

師：現(xiàn)在能作出解答了嗎？

師：怎么求φ?

師：本題看上去關(guān)系復(fù)雜，但構(gòu)建恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系后，轉(zhuǎn)化為用角的正弦來表示點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而表示出高度Z，關(guān)鍵是如何確定以O(shè)X為始邊，OP為終邊的角，這在問題3中已得到了解決的方法，隨后就可以把實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型．

簡明的教學(xué)環(huán)節(jié)如剝繭抽絲，教師充分利用設(shè)問、追問、反問等手段，通過環(huán)環(huán)相扣又層層遞進(jìn)的問題引領(lǐng)學(xué)生展開數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生的思維在碰撞中激活，迸發(fā)出智慧的火花，并不斷地向縱深發(fā)展，使學(xué)生的思維活動(dòng)過程完全暴露出來．以學(xué)生為主體的課堂，要鼓勵(lì)學(xué)生討論和交流，讓學(xué)生的各種想法直接交鋒，使學(xué)生在交流和會(huì)話的過程中對(duì)所學(xué)的知識(shí)和方法建立自己的思考與認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生在互動(dòng)的合作中“明道”，這是幫助學(xué)生突破教學(xué)難點(diǎn)、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效途徑．

3 技術(shù)支持，促進(jìn)理解

對(duì)于教學(xué)難點(diǎn)的突破，傳統(tǒng)教學(xué)中有很多方法，但有些難點(diǎn)用傳統(tǒng)方法來實(shí)現(xiàn)突破效果往往不理想，隨著信息技術(shù)的成熟，幾何畫板、Flash動(dòng)畫等技術(shù)手段越來越多地介入到數(shù)學(xué)教學(xué)中，為教學(xué)難點(diǎn)的突破提供了新的物質(zhì)技術(shù)條件.教材中的例1是有關(guān)簡諧運(yùn)動(dòng)的實(shí)際問題，在講解y=Asin(ωx+φ)的圖像時(shí)作為引例出現(xiàn)過，前期教學(xué)中教師一般是一帶而過，有的甚至刻意回避，所以學(xué)生仍不知簡諧運(yùn)動(dòng)是什么，在心里有一個(gè)理解上的疙瘩．為了解決這一問題，筆者借助信息化手段，用幾何畫板動(dòng)畫演示，形象地解釋了簡諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，降低了認(rèn)知困難，為學(xué)生直接使用三角函數(shù)模型解決簡諧運(yùn)動(dòng)的實(shí)際問題掃清了障礙．

片斷三

師：剛才我們研究的是實(shí)際問題中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)規(guī)律，下面讓我們改變一下觀察角度，請(qǐng)觀看動(dòng)畫(如圖5)，如果有一束平行光把點(diǎn)P投影到y(tǒng)軸上，那么投影點(diǎn)P′運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)是什么？

圖5

生8：點(diǎn)P′在作往復(fù)運(yùn)動(dòng)．

師：正確，這在物理中稱為簡諧運(yùn)動(dòng)，可以用什么函數(shù)刻畫這個(gè)運(yùn)動(dòng)呢？請(qǐng)繼續(xù)觀看動(dòng)畫，(圖6，圖7)

圖6

圖7

生8：三角函數(shù)．

師：很好，你能回憶一下教科書上是怎么介紹簡諧運(yùn)動(dòng)的嗎？

(學(xué)生并不熟悉，教師用PPT展示教材34頁相關(guān)內(nèi)容，板書簡諧運(yùn)動(dòng)的三角函數(shù)模型)．

師：已知簡諧運(yùn)動(dòng)，可以直接使用三角函數(shù)模型解決有關(guān)問題．看下例，請(qǐng)解說題意．

例如圖8，點(diǎn)O為做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體的平衡位置，取向右方向?yàn)槲矬w位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運(yùn)動(dòng)到距平衡位置最遠(yuǎn)處時(shí)開始計(jì)時(shí)．

圖8

(1)求物體對(duì)平衡位置的位移x(cm)和時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系；

(2)求該物體在t=5s時(shí)的位置．

生9：點(diǎn)O右側(cè)位移為正，左側(cè)位移為負(fù)；當(dāng)t=0時(shí)，位移x=3．

師：很好，請(qǐng)大家完成在作業(yè)紙上．(學(xué)生自主完成后，選擇幾位有代表性的學(xué)生的解法用手機(jī)拍照，借助茄子快傳軟件實(shí)時(shí)投影講評(píng)．)

師：這道題可以直接使用模型，因?yàn)槲锢碇械暮喼C運(yùn)動(dòng)的“運(yùn)動(dòng)學(xué)”定義就是“相對(duì)于平衡位置的位移和時(shí)間滿足正弦型或余弦型規(guī)律的機(jī)械振動(dòng)”．三角函數(shù)在物理中有比較多的應(yīng)用，如單擺運(yùn)動(dòng)，波的傳播，交流電等，都可用三角函數(shù)分析和理解．

現(xiàn)代信息技術(shù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，服務(wù)于教學(xué)，這個(gè)不應(yīng)該是句空話，要落到實(shí)處，教科書就是一個(gè)重要的載體．信息技術(shù)能夠幫助學(xué)生化解函數(shù)的高度抽象性帶來的學(xué)習(xí)困難，借助信息技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的可視化、動(dòng)態(tài)化、可操作性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)活動(dòng)的探索性．[1]現(xiàn)代信息技術(shù)的教學(xué)環(huán)境下，教學(xué)信息的呈現(xiàn)方式多樣而有趣，可以使“抽象問題形象化，復(fù)雜問題簡單化，枯燥問題有趣化，微觀問題宏觀化”，“把快變慢，把慢變快”，恰當(dāng)?shù)募夹g(shù)手段不僅有助于突破教學(xué)難點(diǎn)，還可以在引入新課、創(chuàng)設(shè)情境、培養(yǎng)學(xué)生的能力、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、增加課堂容量等方面發(fā)揮顯著的輔助作用．

在組織“三角函數(shù)的應(yīng)用”這一內(nèi)容的教學(xué)活動(dòng)時(shí)，通過創(chuàng)設(shè)情境中的三個(gè)問題的鋪墊，找到了知識(shí)的固著點(diǎn)，給學(xué)生的思維活動(dòng)搭建了臺(tái)階，再通過接下來的探究活動(dòng)，使學(xué)生的思維達(dá)到了一定的深度，具備了突破難點(diǎn)的能力，這時(shí)，教師抓住學(xué)生思維發(fā)展的有利契機(jī)，立即進(jìn)行變式訓(xùn)練和解決水車這一典型問題的操作活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷由實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型、解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模過程，體會(huì)三角函數(shù)模型在描述和刻畫具有周期性變化規(guī)律的實(shí)際問題的作用，這樣做的結(jié)果是實(shí)現(xiàn)了教學(xué)難點(diǎn)的有效突破，很好地培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力．