教學(xué)過程比教學(xué)結(jié)果更有價(jià)值
——以點(diǎn)到直線的距離教學(xué)為例

王弟成

(連云港市教育局教研室 222006)

近期我市舉行市級(jí)優(yōu)秀課評(píng)選，選擇的課題是蘇教版教材必修2第二章《解析幾何初步》中的“2.1.6點(diǎn)到直線的距離”.教材對(duì)內(nèi)容的處理分兩部分，一是先研究具體情況，即求點(diǎn)D(2,4)到直線AB:5x+4y-7=0的距離；二是再研究一般情況，即求平面上任一點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)的距離.對(duì)于解決問題的方法也介紹兩種方法，一是直接求解，化點(diǎn)到線的距離為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，即求點(diǎn)出點(diǎn)P到直線l的垂足距離；二是間接求解，將點(diǎn)到線的距離轉(zhuǎn)化為直角三角形的高，借助三角形面積求解.在介紹直接法求解后，教材指出“這一方法運(yùn)算量較大，下面我們通過構(gòu)造三角形，利用面積關(guān)系求出點(diǎn)D到直線AB的距離.”接著介紹面積法求解.對(duì)于一般情況教材沒有采用直接法，而是直接采用面積法求解，其目的主要是簡(jiǎn)化計(jì)算.課堂教學(xué)中各位選手，也主要是就兩個(gè)方面、兩種方法進(jìn)行教學(xué).在具體問題求解中學(xué)生采用的方法比較多，如直接求交點(diǎn)方法，面積法，解三角形方法，函數(shù)最值法等.但對(duì)一般情況只介紹面積法求解.聽課中總有一種感覺教師在介紹求解方法時(shí)，是為介紹方法而介紹方法，真的是“介紹”，顯得較為生硬.今天站在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)“素養(yǎng)”的角度如何上這節(jié)課呢？筆者對(duì)此有一點(diǎn)想法，提出來與大家交流.

1 數(shù)學(xué)教學(xué)要教給學(xué)生研究問題的一般方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決問題

對(duì)于求點(diǎn)到直線的距離筆者理解，有兩種思路，一是由一般到特殊，二是由特殊到一般.對(duì)于一般到特殊，可以直接提出幾何問題研究中除涉及兩點(diǎn)之間的距離，還涉及到點(diǎn)到線的距離、線到線的距離，如求多邊形面積等.如何求平面上一點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)的距離？教師直接將問題拋給學(xué)生，讓學(xué)生思考如何解決？引導(dǎo)學(xué)生先從考慮特殊情況研究起，即當(dāng)直線l平行于坐標(biāo)軸的兩種情況，再研究一般情況，即直線不平行于坐標(biāo)軸的情況.對(duì)于從特殊到一般，與上面正好相反.特殊的線能解決，特殊的點(diǎn)(如原點(diǎn))也能解決，一般情況如何解決？對(duì)于特殊情況點(diǎn)到直線的距離可以化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，先求出l的垂線，再聯(lián)立方程求垂足，再求兩點(diǎn)間的距離，每次都這樣操作，“繁”，自然考慮是否有公式？能推導(dǎo)出公式嗎？正像配方法可以求解一元二次方程一樣，但還要尋求更直接求解公式一樣.我想在這節(jié)課的教學(xué)中理應(yīng)有這樣的設(shè)計(jì)思考，立足學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)，教給學(xué)生研究問題的方法，而不僅僅是求得一個(gè)公式，應(yīng)用公式.這樣的設(shè)計(jì)或明或暗都要讓學(xué)生感受到，不僅是推導(dǎo)公式，而是在研究問題，學(xué)會(huì)研究問題.

2 解析幾何的學(xué)習(xí)必須提高學(xué)生的運(yùn)算能力，讓學(xué)生不懼怕運(yùn)算

大家知道，自新課程改革以來，學(xué)生的運(yùn)算能力直線下降，主要原因是初中學(xué)習(xí)側(cè)重平面幾何，學(xué)生推理能力得到提高，而對(duì)于代數(shù)內(nèi)容要求相對(duì)較低，運(yùn)算自然跟不上.新的課程標(biāo)準(zhǔn)又將“運(yùn)算能力”作為學(xué)生核心素養(yǎng)提出來.所以在必修2的《解析幾何初步》的學(xué)習(xí)中除學(xué)習(xí)解析幾何思想、方法外，提高學(xué)生的運(yùn)算能力也是要重點(diǎn)培養(yǎng)的.教材在求D(2,4)到直線AB:5x+4y-7=0的距離時(shí)，分四步介紹，第一步求斜率；第二步求垂線；第三步求交點(diǎn)；第四步求距離.思路清楚，步驟明確，學(xué)生自己也可以解決.但教材提出“這一方法運(yùn)算量較大”，筆者覺得不太合適，編者可能考慮后面一般情況，這樣解決“運(yùn)算量較大”，但對(duì)于具體問題這四步解決“運(yùn)算量并不大”，相反是學(xué)生基本運(yùn)算，做好這樣的運(yùn)算就是學(xué)生的“童子功”，因?yàn)檫@樣的運(yùn)算比起直線與圓位置關(guān)系，直線與圓錐曲線位置關(guān)系的運(yùn)算量太“小兒科”了.

直接求解困難在哪兒？我們梳理一下過程：

設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)，直線l:

Ax+By+C=0(A≠0,B≠0).

①

過點(diǎn)P且與直線l垂直的方程為

即Bx-Ay-Bx0+Ay0=0，

②

所以

d2=(x-x0)2+(y-y0)2

上面直接法的運(yùn)算思想是每一步都求出來，先求出交點(diǎn)坐標(biāo)

再將交點(diǎn)坐標(biāo)代入兩點(diǎn)間距離公式

計(jì)算.由于繁，自然思考，能不能交換計(jì)算順序，先作差運(yùn)算？借此機(jī)會(huì)介紹設(shè)而不求思想方法，設(shè)而不求方法是解析最重要的方法之一，此處正是滲透設(shè)而不求方法的好時(shí)機(jī).

設(shè)P(x0,y0)，垂足(m,n)在直線l:Ax+By+C=0上，

由Am+Bn+C=0得

A(m-x0)+B(n-y0)=-Ax0-By0-C，

又d2=(m-x0)2+(n-y0)2，

求解后引導(dǎo)學(xué)生反思，最終的求解目標(biāo)是求兩點(diǎn)間距離，而不是求交點(diǎn)坐標(biāo)，即求距離可以求交點(diǎn)的坐標(biāo)，不求也可以，關(guān)鍵是求m-x0，n-y0，不求x0,y0也能求出(m-x0)2+(n-y0)2的值.后面會(huì)遇到此類問題，“過點(diǎn)P(3,0)作直線l，使它被兩條相交直線2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的線段恰好被P點(diǎn)平分.”可以先設(shè)出直線l方程，與兩條直線求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)關(guān)系，求出直線l的斜率.也可以先利用中點(diǎn)關(guān)系設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)在直線上求出點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)算量相對(duì)較小.

3 求解方法的獲得是不同認(rèn)識(shí)的結(jié)果，培養(yǎng)學(xué)生從不同角度認(rèn)識(shí)問題，培養(yǎng)思維的深刻性

求解點(diǎn)到直線的距離就是求點(diǎn)到垂足的距離，這是直接認(rèn)識(shí)與理解.間接的認(rèn)識(shí)與理解是此距離還有“什么身份”，有什么樣的“身份”，就有什么樣的認(rèn)識(shí)方法.如果構(gòu)造三角形，點(diǎn)到直線的距離就是“三角形的高”，因此可以通過面積法求高的值.如果單從直角三角形認(rèn)識(shí)，其是直角三角形的直角邊，可以通過解三角形求解.點(diǎn)到直線的距離還是點(diǎn)到直線上任一點(diǎn)距離中的最小值，因此可以通過尋求點(diǎn)與點(diǎn)的最小值求解，即用函數(shù)思想求解.不同的認(rèn)識(shí)與理解，會(huì)形成不同的求解方法.這就如同找人，不同的身份與關(guān)系，會(huì)有不同的找法.對(duì)于求解解析幾何題，這種認(rèn)識(shí)與理解非常重要，很多問題的解決，不是直接求解，而是通過尋找“另一個(gè)身份”尋求突破，換一個(gè)角度再認(rèn)識(shí)問題.

3.1 運(yùn)用面積法求解

如圖1，一般地，對(duì)于直線l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)外一點(diǎn)P(x0,y0)，

圖1

過點(diǎn)P作PQ⊥l，垂足為Q.

過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的平行線，

交l于點(diǎn)M(x1,y0)，N(x0,y2).

由Ax1+By0+C=0，Ax0+By2+C=0，

PQ是Rt△PMN斜邊上的高，

由三角形面積公式可知

教學(xué)中為了讓學(xué)生自己想到將距離化為三角形的高求解，可以先讓學(xué)生求原點(diǎn)到直線l的距離，學(xué)生最容易想到面積法，再將原點(diǎn)變?yōu)橐话愕狞c(diǎn)，學(xué)生自然想到構(gòu)造直角三角形用面積法求解.求解后啟發(fā)學(xué)生總結(jié)，解決解析幾何問題，也要注意平面幾何方法的運(yùn)用，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，如直角形三角形中斜邊上的中線等于斜邊一半，直接應(yīng)用省去很多計(jì)算過程.

3.2 運(yùn)用函數(shù)思想求解.

設(shè)P(x0,y0)，點(diǎn)(m,n)是直線l:Ax+By+C=0上任一點(diǎn)，

則Am+Bn+C=0，即Bn=-Am-C.

所以d2=(m-x0)2+(n-y0)2

B2d2最小值=

所以

上述的求解過程，對(duì)學(xué)生來講有一定的難度，字母多，書寫長，運(yùn)算量大，同時(shí)對(duì)(a+b+c)2展開式結(jié)構(gòu)要熟悉.但整個(gè)求解過程是形式化過程，求B2d2最小值只是為了不出現(xiàn)分式運(yùn)算，減少書寫過程.教學(xué)中可以是老師與學(xué)生一起運(yùn)算，讓學(xué)生看到這樣的運(yùn)算并不可怕，從心理上不懼怕解析幾何運(yùn)算，如果在此回避運(yùn)算，會(huì)讓學(xué)生形成畏懼心理，不利于后面解析幾何的學(xué)習(xí).

3.3 解三角形方法求解.

如圖2，在△PQM中，PQ是其一條直角邊，所以可通過解直角三角形求解.

圖2

在直角三角形△PQM中得

又PQ=PMsinα

學(xué)生雖然沒有學(xué)習(xí)高中的解三角形知識(shí)，但初中基礎(chǔ)是能理解此種解法的.

就一節(jié)課而言，這樣的教學(xué)可能“偏離”中心，不如教師直接講解用面積法推導(dǎo)出公式，然后用公式求點(diǎn)到直線的距離，再通過解決其它幾何問題培養(yǎng)學(xué)生能力來得實(shí)用.但若從學(xué)生素養(yǎng)培養(yǎng)與學(xué)生長遠(yuǎn)可持續(xù)發(fā)展角度看，教學(xué)倒不如，深入挖掘公式的推導(dǎo)過程價(jià)值，落點(diǎn)知識(shí)，著眼能力，生長智慧，立足學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生從不同角度認(rèn)識(shí)與理解問題的深刻性.理解方法的產(chǎn)生源于認(rèn)識(shí)與理解的不同，而不是就方法談方法、講方法.這樣教學(xué)可能一節(jié)課完不成，但這樣的推導(dǎo)過程比公式結(jié)果更有價(jià)值，更有利于學(xué)生發(fā)展，教學(xué)的意義正在于此.結(jié)果誠可貴，過程價(jià)更高.