美國(guó)早期教科書中的無理數(shù)概念

栗小妮，汪曉勤

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美國(guó)早期教科書中的無理數(shù)概念

栗小妮，汪曉勤

（華東師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，上海 200062）

1820—1969年出版的100種美國(guó)中學(xué)和大學(xué)代數(shù)教科書先后給出了8種不同的無理數(shù)的定義，20世紀(jì)20年代開始，才出現(xiàn)用“無限不循環(huán)小數(shù)”定義無理數(shù)．早期教科書中無理數(shù)概念的演變?yōu)榻裉斓慕炭茣帉懞蜔o理數(shù)概念教學(xué)，提供借鑒．教科書編寫應(yīng)體現(xiàn)無理數(shù)定義的多樣化，并體現(xiàn)無理數(shù)是不能用整數(shù)和分?jǐn)?shù)表示的數(shù)．可借鑒無理數(shù)定義的發(fā)展歷史，運(yùn)用重構(gòu)歷史的方式設(shè)計(jì)無理數(shù)概念教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)無理數(shù)以及實(shí)數(shù)體系的整體理解和掌握．

無理數(shù)；無理式；不盡根；定義

1 引言

古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”，把數(shù)歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)比，在幾何上這相當(dāng)于說：對(duì)于任意給定的兩條線段，總能找到某第三條線段，作為公共度量單位．但后來發(fā)現(xiàn)，存在不可公度的線段（如正方形的對(duì)角線與其一邊），它們的長(zhǎng)度之比就是后人所稱的無理數(shù)，由此引發(fā)了史上第一次數(shù)學(xué)危機(jī)．但不少數(shù)學(xué)家一開始并不接受無理數(shù)，無理數(shù)理論經(jīng)歷了緩慢而艱辛的發(fā)展過程，直到兩千三百多年后的19世紀(jì)末才出現(xiàn)了無理數(shù)的嚴(yán)格定義和完善的理論．

現(xiàn)行教科書將有理數(shù)定義為“整數(shù)和分?jǐn)?shù)”，而采用“無限不循環(huán)小數(shù)”來定義無理數(shù)，與之前的有理數(shù)定義并無關(guān)聯(lián)，且完全脫離了它最原始的來源．學(xué)生常常會(huì)問，這里的“有”、“無”和“整數(shù)和分?jǐn)?shù)”、“無限不循環(huán)小數(shù)”之間有什么關(guān)系？“無理數(shù)真的沒有道理嗎？為什么稱為無理數(shù)？”初中學(xué)生接觸的無理數(shù)通常有3類：不盡根、π和構(gòu)造的無限不循環(huán)小數(shù)．通過一定課時(shí)的學(xué)習(xí)和周而復(fù)始的練習(xí)，大多數(shù)學(xué)生能夠從形式上判斷什么樣的數(shù)是無理數(shù)，但學(xué)生并不理解到底什么是無限不循環(huán)小數(shù)？為什么無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)？已有研究表明，學(xué)生對(duì)無理數(shù)既“不能用整數(shù)和分?jǐn)?shù)表示”同時(shí)也是“無限不循環(huán)小數(shù)”的理解存在障礙，對(duì)于無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)存在疑惑，常常忽視無限不循環(huán)小數(shù)的結(jié)構(gòu)特征[1]．60%的初中生對(duì)無理數(shù)的無限不循環(huán)性缺乏堅(jiān)定的信念，反映出學(xué)生對(duì)無理數(shù)概念的理解存在問題[2]．在一項(xiàng)對(duì)職前數(shù)學(xué)教師的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，雖然職前數(shù)學(xué)教師在高中和大學(xué)已經(jīng)接觸過許多其它形式的無理數(shù)，但他們對(duì)無理數(shù)的印象依然停留在“小數(shù)型”和“根號(hào)型”，且對(duì)這兩種形式的掌握也不盡理想，沒有對(duì)無理數(shù)的概念形成整體性的理解[3]．

由此可見，用“無限不循環(huán)小數(shù)”定義無理數(shù)，脫離了學(xué)生先前所學(xué)的有理數(shù)知識(shí)，無理數(shù)定義與有理數(shù)定義相分離，不利于學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)體系的整體理解和掌握．美國(guó)數(shù)學(xué)史家卡約黎（F. Cajori，1859—1930）認(rèn)為，“學(xué)生所遭遇的困難往往是相關(guān)學(xué)科的創(chuàng)建者經(jīng)過長(zhǎng)期思索和探討后所克服的實(shí)際困難”[4]；另一位美國(guó)數(shù)學(xué)史家史密斯（D. E. Smith，1860—1944）認(rèn)為：“困擾世界的東西也會(huì)困擾兒童，世界克服其困難的方式提示我們，兒童在其發(fā)展過程中會(huì)以類似的方式來克服類似的困難．”[5]因此，了解前人對(duì)無理數(shù)的理解，對(duì)于認(rèn)識(shí)今日學(xué)生的認(rèn)知困難具有重要借鑒意義．

通過對(duì)1820—1969一百五十年間出版的100種美國(guó)代數(shù)教科書中有關(guān)無理數(shù)內(nèi)容的考察，試圖回答以下問題：早期代數(shù)教科書如何定義無理數(shù)？定義如何演變？對(duì)今日教科書編寫和課堂教學(xué)有何啟示？

2 研究對(duì)象

共選取20世紀(jì)70年代之前出版的100種美國(guó)代數(shù)教科書，若以十年為一段，則各教科書的時(shí)間分布情況如圖1所示．

圖1 100種教科書的時(shí)間分布

其中，對(duì)于同一作者再版的教科書，若內(nèi)容無變化，則選擇最早的版本，若內(nèi)容有變化，則將其視為不同教科書．

100種代數(shù)教科書中，61種是中學(xué)教科書，39種是大學(xué)教科書．無理數(shù)的定義所在章節(jié)大致可以分為“根式”、“定義與公理”、“數(shù)”、“因式分解”、“數(shù)的運(yùn)算”5類，如表1所示．其中無理數(shù)定義最多出現(xiàn)在“根式”章節(jié)，占64%；其次是“數(shù)”，占20%．

表1 無理數(shù)概念在100種代數(shù)教科書中的章節(jié)分布

以30年為一個(gè)時(shí)間段，圖2給出的是“根式”和“數(shù)”章節(jié)在每個(gè)時(shí)間段的分布，反映出早期人們對(duì)無理數(shù)類型的認(rèn)識(shí)主要局限于“根號(hào)型”，在20世紀(jì)50年代后的教科書中，無理數(shù)定義均出現(xiàn)在“數(shù)”這一章節(jié)中，且實(shí)數(shù)均單獨(dú)列為一章．

圖2 “根式”和“數(shù)”章節(jié)時(shí)間分布

3 無理數(shù)定義的分類

由于完整的實(shí)數(shù)理論體系直到19世紀(jì)末才建立，在100種教科書中，絕大多數(shù)并沒有把無理數(shù)或者實(shí)數(shù)單獨(dú)列為一章，而是將其與“式”的研究放在一起．所以，這里涉及3種有關(guān)無理數(shù)的術(shù)語(yǔ)．

（1）無理數(shù)（irrational numbers）．為實(shí)數(shù)中的一類，與現(xiàn)代教科書中所指相同．如：Young & Jackson（1910）給出的定義是：“任何不是有理數(shù)的數(shù)稱為無理數(shù)．”

（3）無理式（irrational expression），在20世紀(jì)初，實(shí)數(shù)理論體系形成后，部分代數(shù)教科書開始將無理式與無理數(shù)分開定義，數(shù)與式分別獨(dú)立成章．如Milne（1902）給出的定義是：“若一個(gè)式子必須使用根號(hào)來表達(dá)，則稱之為無理式；若一個(gè)數(shù)不能用分?jǐn)?shù)或整數(shù)來表達(dá)，則稱之為無理數(shù)．”

綜上，將100種教科書中的無理數(shù)定義分為兩大類：“區(qū)分?jǐn)?shù)與式的定義”、“不區(qū)分?jǐn)?shù)與式的定義”．若定義之后沒有具體例子說明是無理數(shù)還是無理式，則統(tǒng)一將其歸為“不區(qū)分?jǐn)?shù)與式的定義”一類．以30年為分布單位，圖3是兩類定義的具體時(shí)間分布．從圖3中可見，隨著19世紀(jì)末實(shí)數(shù)理論體系的建立，“不區(qū)分?jǐn)?shù)與式的定義”逐漸退出歷史舞臺(tái)，數(shù)與式逐漸分離，成為初等代數(shù)的兩個(gè)不同對(duì)象．

圖3 兩類定義的時(shí)間分布

3.1 區(qū)分?jǐn)?shù)與式的定義

100種教科書共計(jì)給出了100種定義，區(qū)分無理數(shù)和無理式的共68種，占68%．根據(jù)詳盡的統(tǒng)計(jì)和分析，這些定義又可以分為“表示定義”、“數(shù)值定義”、“形式定義”、“反向定義”、“分割定義”、“幾何定義”、“混合定義”、“小數(shù)定義”共8類．這8類在68種定義中的分布如圖4所示．其中，“表示定義”和“形式定義”所占比例相對(duì)較高．

圖4 數(shù)與式分開定義的八種類型分布

3.1.1 表示定義

表示定義是用“不能用整數(shù)或分?jǐn)?shù)表示”來定義無理數(shù)，占數(shù)式分離定義的26%，不同教科書中略有不同．如Lacroix（1831）給出的定義．Davies（1835）也給出了類似的定義，并第一次給出了非完全平方數(shù)的正平方根不能用分?jǐn)?shù)表示的證明，其證法與現(xiàn)行教科書中的證法略有不同，證法如下：

這里用到了數(shù)論中的一個(gè)定理：“如果一個(gè)整數(shù)整除兩個(gè)整數(shù)的乘積，且與其中一個(gè)互素，則整除另外一個(gè)整數(shù)．”這些定義都只涉及無理數(shù)的一種類型——二次根號(hào)型，直到Sherwin（1841）才提到“除了平方根外，其它次數(shù)的方根，與單位1沒有公因數(shù)的也稱為無理數(shù)”．Gillet（1896）則首次提及“根號(hào)型”以外的無理數(shù)，將無理數(shù)定義為“不能用整數(shù)或分?jǐn)?shù)表示的數(shù)，也稱為不可公度數(shù)”，并指出了“不盡根”與“不可公度數(shù)”的區(qū)別——不盡根是不可公度數(shù)，但有許多不可公度數(shù)并非不盡根或不盡根的組合，如π、e．

3.1.2 數(shù)值定義

這一類定義對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)基本都局限于“根號(hào)型”，認(rèn)為無理數(shù)的值不能精確獲得，只能得到其近似值，故以“值不能精確獲得”來定義無理數(shù)，并將“無理數(shù)”等同于“不盡根”，約占12%．如Robinson（1866）將“無理數(shù)”定義為“一個(gè)非完全平方數(shù)的方根，其根值不能精確獲得或表示”．這種定義方式在各個(gè)時(shí)間段均有出現(xiàn)，但較多出現(xiàn)在19世紀(jì)早中期．1900年后逐漸消失，僅出現(xiàn)兩次，在Hawkers（1918）中提到“一個(gè)用根號(hào)表示的數(shù)，其根值不能精確獲得，這種用根號(hào)表征的數(shù)就是無理數(shù)”．

3.1.3 形式定義

部分教科書對(duì)無理數(shù)的定義停留在對(duì)其根式形式的描述，如Thomson（1880）給出的定義是：“非完全平方數(shù)的根稱為不盡根，也常叫做無理量”；Taylor（1900）給出的定義是：“一個(gè)非次冪的數(shù)的次方根，稱為不可公度方根或無理數(shù)”；Wells（1906）給出的定義是：“無理數(shù)是一個(gè)包含不盡根的數(shù)”；類似這樣的定義，均把它歸為“形式定義”，約占24%．

值得一提的是，Taylor（1900）對(duì)無理數(shù)和不可公度數(shù)進(jìn)行了錯(cuò)誤的區(qū)分，書中寫道：“一個(gè)無理數(shù)或其他數(shù)，不是整數(shù)或分?jǐn)?shù)的稱為不可公度數(shù)．”即無理數(shù)是不可公度數(shù)的一部分，顯然這是錯(cuò)誤的，雖然之前的Gillet（1896）已對(duì)“不盡根”和“不可公度”進(jìn)行了區(qū)分．可見，一個(gè)數(shù)學(xué)定義從形成到被廣泛接受，會(huì)經(jīng)歷一個(gè)反復(fù)曲折的過程．

3.1.4 反向定義

一些教科書先定義有理數(shù)，然后將無理數(shù)定義為“除有理數(shù)以外的數(shù)”，研究者將這一類定義歸為“反向定義”，約占18%．研究者將它與“表示定義”區(qū)分開來，是由于他們對(duì)“有理數(shù)”的定義不同，導(dǎo)致對(duì)“無理數(shù)”的定義也不同，從中可以看出早期人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的局限性．例如，Dickson（1902）給出的定義是“有理數(shù)是正的和負(fù)的整數(shù)和分?jǐn)?shù)，其他數(shù)都稱為無理數(shù)．”根據(jù)這一定義，“0”應(yīng)歸為無理數(shù)，所以該定義的問題在于忽略了“0”的定義．類似的定義還出現(xiàn)在Cajori & Odell（1916）、Hawkers（1918）中．

在今天看來，Marsh（1907）的定義相對(duì)完善：“所有的整數(shù)和分?jǐn)?shù)稱為有理量，所有其它的數(shù)稱為無理量．”按照這個(gè)定義，很容易判斷應(yīng)該將“0”歸為有理數(shù)一類．但這也僅是用今天的知識(shí)做出的判斷．有理由相信，在20世紀(jì)初期，人們對(duì)“0”的認(rèn)識(shí)并不充分，常常忽略“0”的存在．如Lyman（1917）先定義虛數(shù)為“負(fù)數(shù)的偶次方根”，再定義實(shí)數(shù)“包括所有的正整數(shù)和負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，除負(fù)數(shù)的偶次方根以外的所有方根數(shù)”，再定義有理數(shù)和無理數(shù)“實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)，能用整數(shù)或者兩個(gè)整數(shù)的商表示的數(shù)稱為有理數(shù)，其它實(shí)數(shù)稱為無理數(shù)．”從其“實(shí)數(shù)”定義中，無法確定“0”屬于哪一類，而從其有理數(shù)和無理數(shù)定義中，用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)觀可以判斷“0”應(yīng)歸為有理數(shù)類．前后的矛盾表明，作者在定義有理數(shù)時(shí)并沒有考慮“0”，更確切地說，早期教科書中存在“0是否是整數(shù)”的問題．

3.1.5 分割定義

其次，給出有理數(shù)的兩種不同分割．

最后，給出無理數(shù)的定義：

該教科書后續(xù)還指出，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，第一次建立實(shí)數(shù)理論體系，并證明了實(shí)數(shù)是有序的、稠密的、連續(xù)的數(shù)集．

3.1.6 幾何定義

圖5 Wilczynski & Slaught（1916）中的幾何表示

正無理數(shù)被定義為上線段的長(zhǎng)度不是有理數(shù)的數(shù)．又指出，上線段對(duì)應(yīng)的是正數(shù)（正有理數(shù)或正無理數(shù)），反過來每一個(gè)正數(shù)都對(duì)應(yīng)上的線段．無理數(shù)可以看成對(duì)應(yīng)不可公度線段的存在，并介紹了數(shù)的發(fā)展歷史．在另一章“線性函數(shù)和級(jí)數(shù)”中提到如果無理數(shù)表示成小數(shù)，則它的小數(shù)位不能循環(huán)也不是有限的．雖然早在17世紀(jì)，笛卡爾創(chuàng)立了坐標(biāo)系，負(fù)數(shù)得到了幾何解釋和實(shí)際意義，但在約200年后的這本教科書中，依然忽視負(fù)無理數(shù)的存在和負(fù)無理數(shù)的幾何表示，僅定義了正無理數(shù)．

類似的定義方式還出現(xiàn)在Schultze（1925）中，但與上述定義有所不同，給出了負(fù)數(shù)的幾何表示．

3.1.7 混合定義

3.1.8 小數(shù)定義

“小數(shù)定義”是指應(yīng)用小數(shù)表征的定義，代表了人們認(rèn)識(shí)無理數(shù)的又一個(gè)新階段，約占13%．Merrill & Smith（1923）最早給出構(gòu)造的無限不循環(huán)小數(shù)之例，將無理數(shù)定義為“形如0.313?113?111?311?113……，0.487?488?748?887……，這樣的數(shù)稱為無理數(shù)”，并指出這樣的數(shù)不是不合理的，而是不能用比來表征的數(shù)．易見，上述定義是不完善的．Miller & Thrall（1950）第一次正式用“無限不循環(huán)小數(shù)”來定義無理數(shù)．表2列舉了100種教科書中出現(xiàn)的各種形式的小數(shù)定義．

表2 不同形式的小數(shù)定義

從中可見，用“無限不循環(huán)小數(shù)”來定義無理數(shù)并非一蹴而就，從1923年第一次出現(xiàn)構(gòu)造的無限不循環(huán)小數(shù)到“無限不循環(huán)小數(shù)”定義的出現(xiàn)，經(jīng)歷了27年；而50年代末開始，“無限不循環(huán)小數(shù)”定義才被教科書廣泛采用，且凡是采用小數(shù)定義的教科書中都會(huì)另外加以說明無理數(shù)不能用分?jǐn)?shù)和整數(shù)表示．

3.2 不區(qū)分?jǐn)?shù)與式的定義

不區(qū)分?jǐn)?shù)與式的定義主要分為兩類：“數(shù)值定義”和“形式定義”．與區(qū)分?jǐn)?shù)與式的定義分類原則類似，不再贅述．其中，“數(shù)值定義”約占56%，而“形式定義”約占44%，兩者基本持平．

4 分布及討論

4.1 分布

除分割定義僅出現(xiàn)在大學(xué)教科書中外，其余定義在中學(xué)和大學(xué)教科書中均有出現(xiàn)．小數(shù)定義最早出現(xiàn)在中學(xué)教科書中，后陸續(xù)出現(xiàn)在大學(xué)教科書中，而在1960年后均出現(xiàn)在中學(xué)教科書中．反向定義均出現(xiàn)在1900年后，且若排除“0”的影響，反向定義基本等同于將無理數(shù)定義為“不能用整數(shù)或分?jǐn)?shù)表示的數(shù)”，因此將“反向定義”歸為“表示定義”，而“幾何定義”、“分割定義”、“混合定義”這3類都出現(xiàn)在1900年后，且各自僅出現(xiàn)一次或兩次，故暫且不予考慮．若將“區(qū)分?jǐn)?shù)與式的定義”和“不區(qū)分?jǐn)?shù)與式的定義”兩種情形合在一起，以30年為單位，則其中的“表示定義”、“數(shù)值定義”、“形式定義”和“小數(shù)定義”的分布情況如圖6所示．

圖6 3類定義的時(shí)間分布

圖7給出教科書所呈現(xiàn)的無理數(shù)類型的演進(jìn)過程．

圖7 教科書中無理數(shù)類型的演變

4.2 無理數(shù)理論的歷史

公元前470年左右，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的存在，在此后的很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，雖然數(shù)學(xué)家們對(duì)無理數(shù)的使用越來越廣泛，但對(duì)無理數(shù)究竟是不是真正的數(shù)一直存在分歧，直到18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們?nèi)匀粵]有弄清楚無理數(shù)的概念．

19世紀(jì)是無理數(shù)理論體系從模糊到逐漸清晰的時(shí)期．1821年，柯西（A. L. Cauchy，1789—1897）用有理數(shù)序列的極限定義無理數(shù)，但根據(jù)他的定義，該無理數(shù)應(yīng)是預(yù)先給定的數(shù)．1872年，康托爾（G. Cantor，1845—1918）引入實(shí)數(shù)的概念，用有理數(shù)的“基本序列”來定義無理數(shù)，他證明了每一基本序列都存在極限，該極限若不是有理數(shù)，則定義了無理數(shù)．戴德金則吸取了柯西的教訓(xùn)，避免采用極限方法，在直線劃分的啟發(fā)下采用分割有理數(shù)來定義無理數(shù)．魏爾斯特拉斯（F. Weierstrass，1815—1897）同樣避免使用極限概念，用遞增有界數(shù)列定義無理數(shù)．斯托爾茲（O. Stolz，1842—1905）證明了“每一個(gè)無理數(shù)均可表示成不循環(huán)小數(shù)”，并認(rèn)為可用這一事實(shí)來定義無理數(shù)．

4.3 討論

綜上，數(shù)值定義和形式定義對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)均停留在表層，體現(xiàn)了早期人們對(duì)無理數(shù)認(rèn)識(shí)的局限性，而表示定義是無理數(shù)發(fā)現(xiàn)和定義的起源，小數(shù)定義是實(shí)數(shù)理論體系完備后新出現(xiàn)的定義，從表示定義到小數(shù)定義也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)展從潛無窮到實(shí)無窮的轉(zhuǎn)變．在漫長(zhǎng)的一個(gè)半世紀(jì)里，無理數(shù)始于數(shù)值定義而終于小數(shù)定義，反映了人們對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷了從模糊到逐漸清晰的過程．“形式定義”由于其表征直觀而出現(xiàn)于每一個(gè)時(shí)期，“數(shù)值定義”曾一度占據(jù)上風(fēng)，但隨著無理數(shù)理論體系的建立而逐漸銷聲匿跡．19世紀(jì)早期，雖然無理數(shù)的“表示定義”相對(duì)比重最高，但人們對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)依然停留在“不盡根”，基本上將無理數(shù)與不盡根混為一談．在后續(xù)的一百年間，該定義所占比重有下降趨勢(shì)．直到19世紀(jì)末，實(shí)數(shù)理論體系建立，重新占據(jù)主要地位，并與小數(shù)定義并駕齊驅(qū)．教科書對(duì)無理數(shù)的定義及表征的發(fā)展，雖有一定的滯后性，但與無理數(shù)理論的發(fā)展基本一致．無理數(shù)表征的演進(jìn)歷史表明，今日學(xué)生對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)具有較為顯著的歷史相似性．

5 結(jié)論與啟示

無理數(shù)并非“沒有道理”，只是“不能用整數(shù)或分?jǐn)?shù)表示”，歷史上人們對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)，最早是從“根號(hào)型”開始，后續(xù)陸續(xù)發(fā)現(xiàn)其他類型的無理數(shù)的存在，如：π、e等．而學(xué)生對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)與無理數(shù)的發(fā)展具有歷史相似性，已有研究表明，雖然高中階段和大學(xué)階段會(huì)學(xué)習(xí)很多除“根號(hào)型”和π以外的無理數(shù)，但學(xué)生最為熟悉的還是最初的這兩種類型．現(xiàn)代教科書中均采用“無限不循環(huán)小數(shù)”來定義無理數(shù)，這已完全脫離了無理數(shù)最初的起源，是“深加工”的結(jié)果，學(xué)生對(duì)無理數(shù)的理解往往停留在表面，僅會(huì)從形式上判斷是不是無理數(shù)，而不能從知識(shí)的本質(zhì)上理解無理數(shù)的定義．而早期教科書無理數(shù)定義從不完善到完善的過程，為今日的教科書編寫和課堂教學(xué)均帶來啟示．

5.1 對(duì)教科書編寫的啟示

首先，教科書是我們向前延續(xù)傳輸知識(shí)的有力工具，教科書中無理數(shù)定義的演變過程基本反映了數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域無理數(shù)定義的演進(jìn)過程．但一些教科書中也出現(xiàn)了錯(cuò)誤和倒退現(xiàn)象，如前述所提對(duì)“0”的忽略和幾何定義中對(duì)負(fù)無理數(shù)的忽略．所以這就要求教科書編寫者對(duì)當(dāng)下的數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域的發(fā)展有一定的了解，才能把握教材知識(shí)內(nèi)容的正確性和適切性．

5.2 對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)的啟示

可以借鑒無理數(shù)定義的發(fā)展過程，運(yùn)用重構(gòu)歷史的方式來設(shè)計(jì)無理數(shù)概念的教學(xué)，讓學(xué)生從現(xiàn)實(shí)問題中體會(huì)無理數(shù)存在的必要性和無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別，在此基礎(chǔ)上給無理數(shù)下定義——不能用分?jǐn)?shù)或整數(shù)表示，再根據(jù)有理數(shù)的小數(shù)表征，揭示無理數(shù)的小數(shù)表征，加深學(xué)生對(duì)無理數(shù)概念和表征的理解．同時(shí)可以附加式運(yùn)用歷史知識(shí)，介紹無理數(shù)發(fā)展的歷史，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)并非無中生有，而是從現(xiàn)實(shí)生活中產(chǎn)生．歷史上無理數(shù)概念的曲折發(fā)展，也可以滲透數(shù)學(xué)學(xué)科的德育功能，讓學(xué)生體會(huì)人們對(duì)任何新事物的認(rèn)識(shí)都是伴隨著曲折往復(fù)而螺旋上升，同樣學(xué)習(xí)也是螺旋上升的過程．雖高中及后續(xù)不再專門學(xué)習(xí)無理數(shù)，但在認(rèn)識(shí)新類型的無理數(shù)時(shí)，需要教師幫助學(xué)生進(jìn)一步理解無理數(shù)的類型．同時(shí)，鑒于初中知識(shí)的深度，不可能詳細(xì)講述無理數(shù)其他更多的定義，教師可以設(shè)下伏筆，以備學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中完善對(duì)無理數(shù)以及實(shí)數(shù)的認(rèn)識(shí)．

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[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Concept of Irrational Numbers in Early Western Textbooks

LI Xiao-ni, WANG Xiao-qin

(College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

During the period 1820--1969, one hundred algebra textbooks in America’s middle schools and colleges had given eight definitions of irrational numbers. The definition that irrational numbers were infinite non-repeating decimals began at 1920s. The previous evolution of the concept of irrational numbers provided reference for the present textbook compiling and teaching. The newly-compiled textbook should reflect the diversity of definitions of irrational numbers and reveal that irrational numbers couldn’t be expressed by integers and fractions. Furthermore, drawing on the development of irrational number, we could reconstruct the history in class to design the concept teaching of irrational numbers to promote students’ overall understanding and grasping of irrational numbers as well as the real numbers.

irrational numbers; irrational expressions; surds; definitions

G40–059.3

A

1004–9894（2017）06–0086–06

栗小妮，汪曉勤．美國(guó)早期教科書中的無理數(shù)概念[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（6）：86-91．

2017–06–26

上海市教育科學(xué)研究重大項(xiàng)目——中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書的有效設(shè)計(jì)子課題——中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中數(shù)學(xué)文化素材的案例設(shè)計(jì)（D1508）

栗小妮（1984—），女，山西晉城人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究．