高中三角函數(shù)教育形態(tài)的重構(gòu)

沈 威，曹廣福

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高中三角函數(shù)教育形態(tài)的重構(gòu)

沈 威1，曹廣福2

（1．惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，廣東 惠州 516007；2．廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006）

三角函數(shù)的教育形態(tài)是能夠變形式化的學(xué)術(shù)形態(tài)為學(xué)生從三角函數(shù)的數(shù)學(xué)思想和科學(xué)價(jià)值的高度再創(chuàng)造三角函數(shù)的內(nèi)容．重構(gòu)三角函數(shù)教育形態(tài)要挖掘三角學(xué)術(shù)形態(tài)的思想性與科學(xué)價(jià)值，根據(jù)數(shù)學(xué)思想和科學(xué)價(jià)值建構(gòu)問題情境，提煉恰當(dāng)?shù)膯l(fā)性問題，引導(dǎo)學(xué)生再創(chuàng)造三角函數(shù)的內(nèi)容，揭示三角函數(shù)的數(shù)學(xué)思想與科學(xué)價(jià)值．

三角函數(shù)；教育形態(tài)；問題情境；重構(gòu)

1 問題提出

張奠宙先生（以下簡(jiǎn)稱：張先生）對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)作出了深刻論述，他認(rèn)為變冰冷的美麗為火熱的思考要把學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)返璞歸真，從數(shù)學(xué)思想方法的高度把數(shù)學(xué)的形式化邏輯鏈條恢復(fù)為當(dāng)初數(shù)學(xué)家發(fā)明創(chuàng)新時(shí)的火熱思考[1]．換句話說，激發(fā)學(xué)生火熱的數(shù)學(xué)思考要挖掘形成于學(xué)術(shù)形態(tài)數(shù)學(xué)中的深刻思想與科學(xué)價(jià)值，根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與生活現(xiàn)實(shí)，重構(gòu)教育形態(tài)的數(shù)學(xué)．

高中階段的三角函數(shù)蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想，既是正弦定理、余弦定理的基礎(chǔ)，還是高等數(shù)學(xué)中傅里葉級(jí)數(shù)、小波分析和泛函分析等學(xué)科的重要基礎(chǔ)，可見三角函數(shù)在數(shù)學(xué)研究和科學(xué)研究中的重要地位與作用．就目前看，三角函數(shù)的相關(guān)研究主要表現(xiàn)為4大主題：（1）三角函數(shù)教科書的比較研究，按照時(shí)間發(fā)展的縱向順序?qū)σ欢螘r(shí)期內(nèi)三角學(xué)教科書的三角函數(shù)的定義方式、圖像、誘導(dǎo)公式等歷史變遷作比較研究[2]，或者按照相同時(shí)間不同國(guó)家的橫向關(guān)系，對(duì)兩國(guó)或多國(guó)之間三角函數(shù)教科書的內(nèi)容順序、數(shù)學(xué)概念、核心定理、知識(shí)結(jié)構(gòu)與呈現(xiàn)方式等作比較研究[3-4]；（2）三角函數(shù)內(nèi)容理解的實(shí)證研究，選擇數(shù)學(xué)專業(yè)大學(xué)生為被試編制問卷對(duì)高中三角函數(shù)內(nèi)容深度進(jìn)行研究[5]，或者選擇高中學(xué)生為被試編制問卷研究高中學(xué)生對(duì)三角公式的理解情況[6]；（3）三角函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)分析，以國(guó)內(nèi)三角函數(shù)教科書為對(duì)象，剖析其各教學(xué)環(huán)節(jié)存在的問題，根據(jù)其教學(xué)經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)教學(xué)設(shè)計(jì)[7-8]；（4）三角函數(shù)教科書內(nèi)容編寫的研究，對(duì)三角函數(shù)相關(guān)定義的確定或?qū)θ呛瘮?shù)教科書內(nèi)容體系改編的論證研究[1，9-10]．可以看出后兩個(gè)主題和三角函數(shù)的教學(xué)或教育形態(tài)化有關(guān)系，但其研究?jī)?nèi)容很少從思想性與科學(xué)價(jià)值的高度探討三角函數(shù)教育形態(tài)化．鑒于三角函數(shù)的深刻思想與科學(xué)價(jià)值對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的重要意義，有必要對(duì)三角函數(shù)教育形態(tài)化深入研究．

研究主要圍繞4個(gè)問題展開，首先，三角函數(shù)的深刻思想與科學(xué)價(jià)值是什么；其次，完善與建構(gòu)已有三角函數(shù)教育形態(tài)化的理論框架與基本路徑；第三，當(dāng)前三角函數(shù)教科書存在哪些問題；第四，三角函數(shù)的教育形態(tài)的重構(gòu)．

2 三角函數(shù)的深刻思想和科學(xué)價(jià)值

任何知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展都是源于解決問題或自身邏輯發(fā)展的需要，知識(shí)蘊(yùn)含的思想性與科學(xué)價(jià)值就體現(xiàn)在解決問題的過程中，三角函數(shù)的發(fā)展也不例外．雖然三角函數(shù)源于天文學(xué)，但在刻畫物體振動(dòng)、波的傳播過程有著極大的科學(xué)價(jià)值．

2.1 三角函數(shù)的深刻思想

天文學(xué)發(fā)展初期，為農(nóng)業(yè)編寫歷書需要測(cè)量與計(jì)算天體之間的距離，在測(cè)量與計(jì)算天體距離的過程中，逐漸抽象出以三角形為背景的靜態(tài)幾何問題，任意一個(gè)三角形問題都可以轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，也就是任意一個(gè)三角形問題都可以通過直角三角形來解決，所以測(cè)量與計(jì)算天體之間的距離就轉(zhuǎn)化為研究直角三角形的問題，在求解直角三角形中，先賢們發(fā)現(xiàn)當(dāng)固定一個(gè)銳角，其形成直角三角形的邊之比是不變量，由此形成銳角三角函數(shù)的概念[11]．而由測(cè)量與計(jì)算天體之間距離的天文學(xué)逐漸獨(dú)立成為天文學(xué)的一個(gè)分支——恒星天文學(xué)．由此可見，初中銳角三角函數(shù)蘊(yùn)含著當(dāng)固定一個(gè)銳角，其形成直角三角形的邊之比是不變量的思想．

隨著恒星天文學(xué)的發(fā)展，逐漸研究天體之間旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，其中太陽、地球和月亮之間的旋轉(zhuǎn)關(guān)系是最基本的三體模型．太陽、地球和月亮在公轉(zhuǎn)與自轉(zhuǎn)過程中，計(jì)算何時(shí)出現(xiàn)日全食，何時(shí)出現(xiàn)月全食，也就是研究如何把天體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為直線運(yùn)動(dòng)，并探討旋轉(zhuǎn)的天體在旋轉(zhuǎn)過程中所處的位置等，由此便形成高中三角函數(shù)的內(nèi)容．可以看出，高中三角函數(shù)蘊(yùn)含著旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，質(zhì)點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中所處的位置等思想性．

三角函數(shù)在數(shù)學(xué)上逐漸發(fā)展出三角級(jí)數(shù)等．但是三角級(jí)數(shù)一直和恒星天文學(xué)形影不離，把三角級(jí)數(shù)運(yùn)用于恒星天文學(xué)的研究，通過恒星天文學(xué)的研究促進(jìn)了三角級(jí)數(shù)的發(fā)展．三角級(jí)數(shù)之所以在恒星天文學(xué)中有用，本質(zhì)在于三角級(jí)數(shù)是周期函數(shù)，而天文現(xiàn)象大都呈周期性．開始運(yùn)用三角級(jí)數(shù)于恒星天文學(xué)是要確定恒星在介于觀測(cè)到的位置之間的位置，也就是偏微分方程中的插值問題，最早研究差值問題的是歐拉，他把已經(jīng)得到的方法用到行星擾動(dòng)理論中出現(xiàn)的一個(gè)函數(shù)上，得到函數(shù)的三角級(jí)數(shù)表示[13]．人民教育出版社出版的三角函數(shù)教科書也專門辟出篇幅討論三角學(xué)與天文學(xué)的關(guān)系[14]．可以看出，三角函數(shù)與恒星天文學(xué)之間具有孿生性，沒有恒星天文學(xué)就沒有三角函數(shù)，如果三角函數(shù)得不到發(fā)展，恒星天文學(xué)就很難發(fā)展．換句話說，沒有旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)關(guān)系和質(zhì)點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所處位置等的研究，就無法揭示三角函數(shù)的深刻思想．

2.2 三角函數(shù)的科學(xué)價(jià)值

振動(dòng)無處不在決定了波的無處不在．只要物體發(fā)生振動(dòng)，就會(huì)形成波動(dòng)，一切波動(dòng)都是某種振動(dòng)的傳播過程．以波的形式傳播的還有電波和光．波分為橫波和縱波：像收音機(jī)、電視機(jī)、手機(jī)通信波，眼睛感受到的光、紅外線等都屬于電磁波，它們具有相同的物理性質(zhì)，這些電磁波在真空中傳播速度都是30萬千米/秒，在電磁波中，電場(chǎng)和磁場(chǎng)的強(qiáng)度隨時(shí)間變化，且它們的方向與波的傳播方向垂直，這樣的波叫作橫波；像聲音等利用空氣等介質(zhì)密度高低傳播的，波的傳播方向與振動(dòng)方向相同的波叫作縱波．橫波中電場(chǎng)和磁場(chǎng)在與前進(jìn)方向垂直的上下方向上變化，用圖形表示就是正弦函數(shù)的圖象，縱波中密度的變化用圖形表示出來，也是正弦函數(shù)，因此，不論是縱波還是橫波，都可以利用正弦函數(shù)表示．由多個(gè)簡(jiǎn)單的波復(fù)合而成的復(fù)雜波形是傅里葉變換的基礎(chǔ)，或者說研究簡(jiǎn)單波形合成復(fù)雜波的頻率和強(qiáng)度的數(shù)學(xué)方法就是傅里葉變換．

傅里葉變換是傅里葉在研究“熱傳導(dǎo)法則”問題時(shí)開始用到的，他發(fā)現(xiàn)再復(fù)雜的現(xiàn)象也是由簡(jiǎn)單的現(xiàn)象組合在一起而形成的．受此啟發(fā)，復(fù)雜的波也是由多個(gè)簡(jiǎn)單的波復(fù)合而成．1965年，根據(jù)離散傅里葉變換的奇、偶、虛、實(shí)等特性，也就是利用三角函數(shù)基本性質(zhì)的組合，對(duì)離散傅里葉變換的算法進(jìn)行改造，一種高效的傅里葉變換——快速傅里葉變換FFT（Fast Fourier Transform）被提出，傅里葉變換隨著FFT和計(jì)算機(jī)的發(fā)展，很快在各領(lǐng)域獲得應(yīng)用．例如，醫(yī)院使用的心電圖儀器就是通過波的形狀把病人心臟跳動(dòng)直觀表示出來，這就可以看出傅里葉變換廣泛應(yīng)用的范圍了．傅里葉分析的核心是傅里葉定理，它是所有周期現(xiàn)象的核心．傅里葉把傅里葉定理擴(kuò)展到非周期函數(shù)，把非周期函數(shù)看成周期函數(shù)的極限情況，這個(gè)想法對(duì)量子力學(xué)的發(fā)展具有重大影響．但是不管怎樣，這都離不開正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)是三角級(jí)數(shù)和傅里葉分析的核心[12]．

3 高中三角函數(shù)教育形態(tài)化的理論框架與基本路徑

高中三角函數(shù)的教學(xué)既不能直接把上述三角函數(shù)的深刻思想與科學(xué)價(jià)值直接告訴學(xué)生，也不能把三角函數(shù)的相關(guān)形式化概念陳述給學(xué)生，否則，學(xué)生只能機(jī)械記憶相關(guān)內(nèi)容．這既不符合學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理特點(diǎn)，也違背了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》中倡導(dǎo)引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)的教學(xué)理念[15]．只有恰當(dāng)?shù)匕讶呛瘮?shù)蘊(yùn)含深刻思想與科學(xué)價(jià)值教育形態(tài)化，才能讓三角函數(shù)知識(shí)及其深刻思想與科學(xué)價(jià)值在學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中通透圓融的生成．

對(duì)于三角函數(shù)教育形態(tài)化，張先生給出如下建議[1]：

三角函數(shù)的教學(xué)，從靜態(tài)的正弦定理、余弦定理到動(dòng)態(tài)的周期變化、潮水漲落、彈簧及波的振動(dòng)以及在軸上均勻旋轉(zhuǎn)的輪子邊緣上熒光點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)等現(xiàn)象，把代數(shù)式、三角形、單位圓、投影、波、周期等離散的領(lǐng)域聯(lián)系在一起．正是三角函數(shù)使它們形成一個(gè)有機(jī)整體，同時(shí)它們也是三角函數(shù)在不同側(cè)面的反映．因此對(duì)于三角函數(shù)的教學(xué)必須通過再創(chuàng)造來恢復(fù)學(xué)生火熱的思考，使之返璞歸真．讓三角函數(shù)豐滿起來，才能把教科書上定義—公式—圖像—性質(zhì)—應(yīng)用，這種冰冷的美麗變成學(xué)生豐富的聯(lián)想，使學(xué)生在某一領(lǐng)域孤立學(xué)習(xí)的主題能遷移到另一領(lǐng)域中．

可以看出，張先生的三角函數(shù)教育形態(tài)化建議較為宏觀，可操作性不強(qiáng)．例如，張先生指出“火熱的思考應(yīng)該提高到‘?dāng)?shù)學(xué)思想方法’的高度上來”，卻未給出三角函數(shù)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與科學(xué)價(jià)值，也沒有指出如何把三角函數(shù)的數(shù)學(xué)思想與科學(xué)價(jià)值“落腳”，供學(xué)生“火熱的思考”．基于此，有必要完善張先生“三角函數(shù)教育形態(tài)化”的理論框架，明確其基本路徑，不但使三角函數(shù)教育形態(tài)化具有可操作性，也為其它數(shù)學(xué)內(nèi)容教育形態(tài)化或者評(píng)價(jià)教科書良莠帶來啟發(fā)．

張先生“數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)形態(tài)與教育形態(tài)”理論來源于著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想，發(fā)展三角函數(shù)教育形態(tài)化的理論框架與基本路徑自然要以弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的核心“數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造”為基礎(chǔ)．張先生已經(jīng)指出數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)形態(tài)向教育形態(tài)轉(zhuǎn)化要提高到數(shù)學(xué)思想方法的高度，所以要先挖掘三角函數(shù)的深刻思想與科學(xué)價(jià)值；其次，三角函數(shù)的深刻思想與科學(xué)價(jià)值要有適當(dāng)?shù)摹奥淠_點(diǎn)”，才能為學(xué)生的再創(chuàng)造提供思想材料，這個(gè)“落腳點(diǎn)”便是建構(gòu)問題情境；第三，有了問題情境，學(xué)生未必就能實(shí)現(xiàn)再創(chuàng)造，還要教師創(chuàng)造適當(dāng)?shù)膯l(fā)性提示語啟發(fā)學(xué)生的思維方向，再創(chuàng)造出三角函數(shù)的學(xué)術(shù)形態(tài)，揭示三角函數(shù)的深刻思想與科學(xué)價(jià)值．

其中，三角函數(shù)教育形態(tài)化的難點(diǎn)在于其問題情境的建構(gòu)．除了上述指出建構(gòu)三角函數(shù)的問題情境要蘊(yùn)含三角函數(shù)深刻思想和科學(xué)價(jià)值，還要同時(shí)滿足下面3個(gè)要素．在天文學(xué)中，地球繞著太陽轉(zhuǎn)，月亮繞著地球轉(zhuǎn)，計(jì)算什么時(shí)候出現(xiàn)日全食，什么時(shí)候出現(xiàn)月全食，就是太陽、地球、月亮在公轉(zhuǎn)與自轉(zhuǎn)過程中，計(jì)算任意一個(gè)時(shí)刻太陽、地球、月亮所處的位置，這就必須要建立任意角、弧度制、任意角的三角函數(shù)等概念，決定了三角函數(shù)問題情境背景要有統(tǒng)領(lǐng)性．在統(tǒng)領(lǐng)性的背景下建構(gòu)問題情境能夠隨著知識(shí)不斷生成而衍生出具有一定邏輯層次的新問題情境，即問題情境之間要具有連貫性．問題情境不但要蘊(yùn)含三角函數(shù)的深刻思想和科學(xué)價(jià)值，還要聯(lián)系學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，否則學(xué)生在理解問題情境背景本身花費(fèi)大量時(shí)間，無法在有效時(shí)間內(nèi)透過問題情境建構(gòu)知識(shí)并揭示相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想與科學(xué)價(jià)值．即三角函數(shù)問題情境要同時(shí)具備4個(gè)要素：?jiǎn)栴}情境要蘊(yùn)含三角函數(shù)深刻思想和科學(xué)價(jià)值；問題情境的背景具有統(tǒng)領(lǐng)性；問題情境之間具有連貫性；問題情境要聯(lián)系學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)．用圖1直觀表示三角函數(shù)學(xué)術(shù)形態(tài)向教育形態(tài)轉(zhuǎn)化的理論框架和基本路徑．

圖1 三角函教育形態(tài)化的理論框架與基本路徑

4 當(dāng)前三角函數(shù)教科書的問題情境不真實(shí)且碎片化

依據(jù)三角函數(shù)教育形態(tài)化的理論框架與基本路徑，可以發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)教科書中存在諸多問題，下面以某高中數(shù)學(xué)教科書必修4“三角函數(shù)”一章的任意角、弧度制、任意角的三角函數(shù)和誘導(dǎo)公式的問題情境為例予以分析（見表1）[14]．

從問題情境蘊(yùn)含三角函數(shù)思想性和科學(xué)價(jià)值的角度看，高中三角函數(shù)的深刻思想是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)的關(guān)系、質(zhì)點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中所處位置等，科學(xué)價(jià)值是三角函數(shù)刻畫了物體振動(dòng)、波的傳播等周期現(xiàn)象．但是從這4節(jié)內(nèi)容的問題情境看，均沒有涉及旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)關(guān)系、質(zhì)點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中所處位置的內(nèi)容，也沒有因需要刻畫周期現(xiàn)象而創(chuàng)造新概念、新命題、新公式的內(nèi)容．

從問題情境的背景統(tǒng)領(lǐng)性角度看，這4節(jié)內(nèi)容問題情境的背景是手表快了或慢了、不同度量單位制、用平面直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)、三角函數(shù)的定義與圓的對(duì)稱性，這些問題情境的背景各不相同，相互之間缺乏聯(lián)系，不能相互統(tǒng)領(lǐng)，決定了無法把它們聯(lián)系在一起視為一個(gè)具有統(tǒng)領(lǐng)性的問題情境背景．

從問題情境之間連貫性的角度看，這4節(jié)內(nèi)容問題情境的背景沒有統(tǒng)領(lǐng)性，決定了由這些背景形成的問題情境之間缺乏連貫性．例如，“弧度制”的問題情境是長(zhǎng)度有不同的單位制、重量有不同的單位制，不同的單位制能給解決問題帶來方便，所以要給角的度量“創(chuàng)造”一個(gè)單位制，但是該問題情境沒有給出角度制解決問題帶來不便的例子或問題，為何給角的度量“創(chuàng)造”一個(gè)新的單位制？新“創(chuàng)造”的單位制何以能給角的度量帶來方便？?jī)H僅因?yàn)殚L(zhǎng)度有不同的單位制、重量有不同的單位制，要強(qiáng)制給角的度量增加一個(gè)單位制，似有“東施效顰”之嫌，存在邏輯矛盾．一個(gè)有邏輯矛盾的問題情境自然無法跟其它問題情境建立順暢的連貫性．

表1 某高中數(shù)學(xué)教科書必修4“三角函數(shù)”一章創(chuàng)設(shè)的問題情境或問題

從問題情境聯(lián)系學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)角度看，“任意角”的問題情境以學(xué)生手表慢了5分鐘需要校準(zhǔn)為問題，考查學(xué)生如何校準(zhǔn)手表，而后問學(xué)生“如果手表快了1.25小時(shí)如何校準(zhǔn)，校準(zhǔn)后，分針旋轉(zhuǎn)了多少度”，從目前情況看，學(xué)生很少戴有時(shí)針/分針的機(jī)械表或者石英表，大都是表盤上直接顯示時(shí)間數(shù)字的數(shù)碼電子表，或者學(xué)生直接使用手機(jī)上的數(shù)碼電子表，這類數(shù)碼表精度高，不會(huì)出現(xiàn)快或慢的情況．也就是說學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中很少接觸到帶有時(shí)針/分針的手表，從這個(gè)角度看“你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準(zhǔn)的”的問題，無法獲得預(yù)期的問題驅(qū)動(dòng)效果，學(xué)生只需要回答“把數(shù)碼電子表上的數(shù)字進(jìn)行調(diào)整”即可．同樣的，對(duì)于“假如你的手表快了1點(diǎn)25小時(shí)，你應(yīng)當(dāng)如何將它校準(zhǔn)”，也是同樣的回答．雖然學(xué)生能夠計(jì)算出手表慢了5分鐘分針旋轉(zhuǎn)了多少度，但是該問題情境脫離了學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)，如果把“手表”改為“鐘表”效果要好得多，因?yàn)榇蟛糠旨彝ザ加杏袝r(shí)針/分針的鐘表．

僅在問題情境部分，教科書就存在諸多問題，這對(duì)把教科書當(dāng)做教學(xué)和學(xué)習(xí)重要參考的教師和學(xué)生來說有嚴(yán)重的不利影響，有必要重構(gòu)三角函數(shù)的教育形態(tài)，為三角函數(shù)的教學(xué)和學(xué)習(xí)提供新的視角．

5 三角函數(shù)教育形態(tài)重構(gòu)框架

5.1 三角函數(shù)教育形態(tài)重構(gòu)的基本思想

高中三角函數(shù)蘊(yùn)含旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和直線運(yùn)動(dòng)的關(guān)系、質(zhì)點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中所處位置的思想性，在刻畫物體振動(dòng)、波的傳播過程的科學(xué)價(jià)值，應(yīng)該在重構(gòu)的問題情境中揭示．決定了創(chuàng)設(shè)的問題情境既要揭示三角函數(shù)的思想性，還要能體現(xiàn)三角函數(shù)的科學(xué)價(jià)值．天文學(xué)背景比較復(fù)雜，且超出學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，不宜直接引入揭示高中三角函數(shù)的深刻思想與科學(xué)價(jià)值，需要把問題情境的背景更換并作適當(dāng)簡(jiǎn)化．根據(jù)三角函數(shù)建構(gòu)問題情境的四要素，從高中三角函數(shù)蘊(yùn)含的深刻思想與科學(xué)價(jià)值和學(xué)生生活現(xiàn)實(shí)出發(fā)，以汽車車輪與里程表系統(tǒng)為背景建構(gòu)問題情境滿足要求．汽車車輪與里程表之間的關(guān)系蘊(yùn)含了旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和直線運(yùn)動(dòng)的關(guān)系、質(zhì)點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中所處位置的思想性，車輪上質(zhì)點(diǎn)隨汽車向前平移過程中相對(duì)于車軸留下的軌跡，直觀揭示了波的傳播過程，既滿足學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，還能同時(shí)揭示三角函數(shù)的思想性和科學(xué)價(jià)值．從這個(gè)意義上說，以汽車車輪與里程表系統(tǒng)之間關(guān)系作為統(tǒng)領(lǐng)高中三角函數(shù)的問題情境比較恰當(dāng)．

下面以任意角、弧度制、任意角的三角函數(shù)和誘導(dǎo)公式4節(jié)內(nèi)容為例，把汽車車輪與里程表之間關(guān)系進(jìn)一步細(xì)化為4個(gè)子問題情境（圖2），不同問題情境揭不同知識(shí)的數(shù)學(xué)本質(zhì)．

圖2 高中三角函數(shù)教育形態(tài)重構(gòu)思路結(jié)構(gòu)

5.2 任意角教育形態(tài)的重構(gòu)

要揭示“揭示旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和直線運(yùn)動(dòng)的關(guān)系、質(zhì)點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中所處位置”的思想，任意角的問題情境可以建構(gòu)為：

在天文學(xué)中，計(jì)算何時(shí)出現(xiàn)日全食、月全食，需要計(jì)算太陽、地球和月亮所在的位置，這是一個(gè)有趣而又復(fù)雜的問題，且太陽、地球和月亮位置關(guān)系的原理在我們生活也很常見．例如，我們都坐過汽車，汽車?yán)锍瘫碛涗浟似囁旭偟穆烦?，里程表?shù)和車輪就蘊(yùn)含了太陽、地球和月亮位置關(guān)系的原理（見圖3），可以通過研究汽車?yán)锍瘫砼c車輪間的關(guān)系，間接研究太陽、地球和月亮之間的關(guān)系原理．

如果車輪的半徑是0.3米，如何計(jì)算里程表上的數(shù)據(jù)？如果車輪的半徑是0.25米，如何計(jì)算里程表上的數(shù)據(jù)？如果車輪的半徑是1呢？如何計(jì)算里程表上的數(shù)據(jù)？其中變的是什么？不變的是什么？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

圖3 汽車?yán)锍瘫砗蛙囕?/p>

啟發(fā)性問題1：如何計(jì)算汽車?yán)锍瘫淼臄?shù)據(jù)？能不能把問題情境抽象為數(shù)學(xué)問題（圖4）？

圖4 問題情境抽象

評(píng)析：引導(dǎo)學(xué)生閱讀材料，把問題情境數(shù)學(xué)化為具體的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力和抽象能力，體會(huì)“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和直線運(yùn)動(dòng)關(guān)系”的思想．在此基礎(chǔ)上啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)到解決這個(gè)問題，要準(zhǔn)確刻畫車輪上一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，不僅要定義角，還要知道該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的度數(shù)、方向，當(dāng)車輪旋轉(zhuǎn)超過一周時(shí)要推廣角的范圍，需要建構(gòu)角的動(dòng)態(tài)定義，根據(jù)角的旋轉(zhuǎn)方向定義正角、負(fù)角、零角，推廣角的范圍等都是因?yàn)榻鉀Q問題的需要而必然的結(jié)果．

啟發(fā)性問題2：能不能從動(dòng)態(tài)的、旋轉(zhuǎn)的視角對(duì)角作出定義？

啟發(fā)性問題3：角的始邊是如何旋轉(zhuǎn)的？如何刻畫？

啟發(fā)性問題4：當(dāng)角的始邊旋轉(zhuǎn)超過一周，如何刻畫？

評(píng)析：定義動(dòng)態(tài)的角、正角、負(fù)角、零角，推廣角的范圍后，還不能計(jì)算汽車?yán)锍瘫淼臄?shù)據(jù)，因?yàn)樵诳坍嬡囕喰D(zhuǎn)量這個(gè)問題上存在爭(zhēng)議，不同學(xué)生選擇角的始邊可能不一樣，給研究問題帶來一定的復(fù)雜性，有必要統(tǒng)一角的始邊，即角的始邊標(biāo)準(zhǔn)化．

啟發(fā)性問題5：不同學(xué)生規(guī)定角的始邊可能不同，這會(huì)給研究問題帶來什么影響？如何解決？

評(píng)析：至此，學(xué)生再創(chuàng)造了諸多概念，規(guī)定了角始邊的方向，而創(chuàng)造概念的目的是為了解決最初的問題，還需要引導(dǎo)學(xué)生回到最初問題上．

啟發(fā)性問題6：如何計(jì)算汽車?yán)锍瘫淼臄?shù)據(jù)？其中變的是什么？不變的是什么？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

評(píng)析：通過問題解決，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)角的終邊在周而復(fù)始的旋轉(zhuǎn)，初步體驗(yàn)“周期性”思想．

5.3 弧度制教育形態(tài)的重構(gòu)

對(duì)于說法一，這種說法比較牽強(qiáng)，原因在于函數(shù)定義歷經(jīng)數(shù)次發(fā)展演變，均是因?yàn)樵泻瘮?shù)定義不能涵蓋其所有對(duì)象，必須要發(fā)展以適應(yīng)于所有的具體函數(shù)．而說法一則把函數(shù)定義視為一成不變的，所有具體函數(shù)必須要滿足函數(shù)定義，如果不滿足，則要自我調(diào)整，相對(duì)于函數(shù)概念的發(fā)展歷程，無法作為三角函數(shù)引入弧度制的必然選擇．對(duì)于說法二，前面已經(jīng)分析這種說法的矛盾性．對(duì)于說法三，弧度制簡(jiǎn)化了計(jì)算公式，人們認(rèn)可這種說法，簡(jiǎn)化公式一直是數(shù)學(xué)的追求，為計(jì)算帶來極大的便捷性，在天文學(xué)中計(jì)算日全食、月全食時(shí)，簡(jiǎn)化公式就是優(yōu)化算法，加快計(jì)算速度，這在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前顯得尤為需要，同時(shí)，弧度制把旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)形成的弧長(zhǎng)和直線運(yùn)動(dòng)形成的線段建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，把角與弧長(zhǎng)建立等價(jià)關(guān)系，為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為直線運(yùn)動(dòng)建立橋梁，體現(xiàn)了其重要科學(xué)價(jià)值．這在汽車?yán)锍瘫淼臄?shù)據(jù)計(jì)算上，簡(jiǎn)化角度制下的弧長(zhǎng)計(jì)算公式，在汽車車輪與里程表系統(tǒng)為背景的問題情境中依然顯得非常必要與自然．

獲得弧度制之后的內(nèi)容，例如，弧度制與角度制之間的比較、互化，給弧度制下的角規(guī)定方向，弧度制下角的集合與實(shí)數(shù)集之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系等，人民教育出版社等出版的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書·必修4》都已經(jīng)給出比較好的參考，因此，這里僅探討弧度制的生成．

弧度制的問題情境可以建構(gòu)為：

在任意角部分，探究了汽車?yán)锍瘫頂?shù)據(jù)與車輪之間的關(guān)系，你們是如何計(jì)算的？計(jì)算的式子是否復(fù)雜？觀察式子，能不能找出規(guī)律，簡(jiǎn)化計(jì)算過程？

評(píng)析：引導(dǎo)學(xué)生把注意力放在已有的式子上，觀察式子的結(jié)構(gòu)，找出式子不變的部分，根據(jù)不變性對(duì)其作出新的規(guī)定與定義．

啟發(fā)性問題3：在弧度制下，汽車?yán)锍瘫頂?shù)據(jù)的計(jì)算公式是什么？在弧度制下，還有哪些公式還可以簡(jiǎn)化？

評(píng)析：因簡(jiǎn)化公式的需要，建構(gòu)了弧度、弧度制等，這些概念是為解決問題服務(wù)的，啟發(fā)性問題3則是引導(dǎo)學(xué)生回到并解決問題情境的問題．弧度制的形成過程主要培養(yǎng)了學(xué)生的縱向思維，而“在弧度制下，還有哪些公式還可以簡(jiǎn)化”則是培養(yǎng)學(xué)生橫向思維，弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式等均和圓心角有關(guān)系，這里放棄相關(guān)教科書以例題證明的形式給出，而是以問題的形式提出，培養(yǎng)了學(xué)生觸類旁通、舉一反三的橫向思維．

5.4 任意角的三角函數(shù)教育形態(tài)的重構(gòu)

任意角的三角函數(shù)在三角學(xué)中具有重要地位，在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到因?yàn)檠芯繂栴}的需要而建構(gòu)任意角三角函數(shù)歷來都是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)．這里則把注意力放在此處，當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到因?yàn)檠芯繂栴}的需要而建構(gòu)任意角三角函數(shù)之后，也就是定義任意角的三角函數(shù)、討論三角函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系四個(gè)象限的符號(hào)等，相關(guān)教科書給出了較好的參考，這里不再贅述．

問題情境：因?yàn)樘骄亢螘r(shí)出現(xiàn)日全食、何時(shí)出現(xiàn)月全食，我們研究了汽車?yán)锍瘫硐到y(tǒng)與車輪之間的關(guān)系，獲得了任意角和弧度制的概念，現(xiàn)在運(yùn)用任意角和弧度制能否計(jì)算何時(shí)出現(xiàn)日全食、何時(shí)出現(xiàn)月全食了？還不可以，僅有任意角和弧度制還不能確定任一時(shí)刻太陽、地球和月亮的位置，但是他們卻為我們進(jìn)一步研究奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．太陽、地球和月亮在公轉(zhuǎn)時(shí)都是在做近似圓周運(yùn)動(dòng)，確定任一時(shí)刻太陽、地球和月亮的位置，就相當(dāng)于車輪上一質(zhì)點(diǎn)在任意角度所處的位置，如果把車輪半徑視為單位1，你能用數(shù)學(xué)方法刻畫車輪上一質(zhì)點(diǎn)所處的位置嗎（圖5）？

圖5 數(shù)學(xué)方法刻畫車輪質(zhì)點(diǎn)位置

評(píng)析：汽車通過車輪旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)汽車向前或向后運(yùn)動(dòng)，把車輪上一個(gè)點(diǎn)視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它繞著車軸旋轉(zhuǎn)，車輪旋轉(zhuǎn)使得車輪作圓周運(yùn)動(dòng)推動(dòng)汽車向前做平移運(yùn)動(dòng)，也就是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€運(yùn)動(dòng)，汽車向前平移過程中，車輪上質(zhì)點(diǎn)所處位置在時(shí)刻發(fā)生變化，本質(zhì)上是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞著一個(gè)正在做直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的問題．把這個(gè)情境數(shù)學(xué)化，就是車輪上質(zhì)點(diǎn)橫坐標(biāo)是汽車平移的位移，而縱坐標(biāo)就是汽車平移位移的正弦值．當(dāng)汽車在行駛過程中，車輪的不斷旋轉(zhuǎn)使得汽車平移的自變量在逐漸不斷增加或減小，超出了銳角的范圍，因此需要定義任意角的正弦函數(shù)．同時(shí)，在汽車向前平移過程中，質(zhì)點(diǎn)繞著車輪中心旋轉(zhuǎn)的角度在不斷增加，如果問題指向質(zhì)點(diǎn)繞車輪中心的相對(duì)位置是什么，這就需要同時(shí)定義任意角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)．由此，建構(gòu)任意角三角函數(shù)概念的必要性就被清楚揭示出來．

啟發(fā)性問題1：車輪上一質(zhì)點(diǎn)繞車軸旋轉(zhuǎn)有什么特點(diǎn)？旋轉(zhuǎn)形成的軌跡是什么？

評(píng)析：根據(jù)問題情境，啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)到車輪上一質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，呈周期性變化，旋轉(zhuǎn)形成的軌跡是圓周，這為下面研究任意角三角函數(shù)提供抽象基礎(chǔ)．當(dāng)學(xué)生把單位圓抽象出來后，便可以引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)任意角三角函數(shù)的過程了．雖然已經(jīng)獲得點(diǎn)的軌跡是單位圓，但是如何刻畫點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)還存在突破的空間，特別是橫、縱坐標(biāo)的自變量．人民教育出版社等教科書均是直接給出(sin, cos)，自變量就是角的終邊旋轉(zhuǎn)量，這里有一個(gè)疑問，即雖然角的終邊旋轉(zhuǎn)量為，那么的橫、縱坐標(biāo)的自變量一定是嗎？為了引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這個(gè)問題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，自然引出啟發(fā)性問題2．

啟發(fā)性問題2：現(xiàn)在假設(shè)車輪中心在軸上，車輪半徑為1，視車輪所在的圓上一質(zhì)點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)重合．當(dāng)汽車行駛時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(,)如何表示（圖6—圖8）？

圖6 E點(diǎn)坐標(biāo)表示（一）

圖7 E點(diǎn)坐標(biāo)表示（二）

圖8 E點(diǎn)坐標(biāo)表示（三）

啟發(fā)性問題3：質(zhì)點(diǎn)繞車軸旋轉(zhuǎn)，它相對(duì)于車軸的位置如何刻畫（圖9）？

圖9 質(zhì)點(diǎn)C相對(duì)于車軸的位置

評(píng)析：?jiǎn)l(fā)性問題2揭示了點(diǎn)縱坐標(biāo)及其自變量之間的關(guān)系，啟發(fā)性問題3則把研究范圍擴(kuò)展到點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，學(xué)生有了縱坐標(biāo)的研究經(jīng)驗(yàn)，繼續(xù)研究橫坐標(biāo)則會(huì)順利些．根據(jù)點(diǎn)所在的位置，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到需要定義任意角的三角函數(shù)．

啟發(fā)性問題4：如何定義任意角的三角函數(shù)？

5.5 誘導(dǎo)公式教育形態(tài)的重構(gòu)

為了計(jì)算何時(shí)出現(xiàn)日全食、月全食，獲得了任意角的三角函數(shù)，它刻畫了圓周上一質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻所在的位置，但相應(yīng)位置三角函數(shù)值的求解還未解決，因此，探究求解任意角的三角函數(shù)值的方法就是該節(jié)內(nèi)容的主要任務(wù)．該節(jié)繼續(xù)并充分用好“汽車車輪上質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)”這個(gè)物理背景，讓學(xué)生在對(duì)這個(gè)物理背景有充足認(rèn)識(shí)的前提下繼續(xù)深挖該物理背景，從而獲得誘導(dǎo)公式，由此解決“汽車車輪上質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)”問題．誘導(dǎo)公式的實(shí)質(zhì)是“揭示了任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系”，揭示了“任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系”，從而發(fā)現(xiàn)“任意角的三角函數(shù)值可以用0°~90°以內(nèi)角的三角函數(shù)值求得”，這正是在計(jì)算機(jī)發(fā)明之前，誘導(dǎo)公式的美妙之處、價(jià)值所在，這也才是誘導(dǎo)公式的本質(zhì)之所在．

問題情境：我們?cè)谏弦还?jié)已經(jīng)能夠表征出汽車車輪上質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，即(, sin)，但如何求出任意角的正弦函數(shù)sin的值（圖10）？

評(píng)析：由圖10能夠看出點(diǎn)坐標(biāo)(, sin)“周而復(fù)始”地出現(xiàn)，并相差一個(gè)圓周的整數(shù)倍，即相差2π的(?Z)倍．若令∠=，當(dāng)?[0, 2π]時(shí)，而汽車向前平移了時(shí)，且=2π+，其對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)相等，則獲得公式sin(2π+)=sin．結(jié)合相對(duì)于車輪中心并繞車輪中心旋轉(zhuǎn)的汽車車輪上質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)看（圖11），若令?[0, 2π]時(shí)，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了時(shí)，且=2π+，其對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)相等，則獲得公式一：sin(2π+)=sin，cos(2π+)=cos，tan(2π+)=tan(?Z)．即終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0~2π角的三角函數(shù)值．

圖10 任意角的正弦函數(shù)值

啟發(fā)性問題1：雖然公式一能夠把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化到求0~2π角的三角函數(shù)值，如何求0~2π角的三角函數(shù)值？你會(huì)求哪些角的三角函數(shù)值（圖12）？

評(píng)析：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)初中銳角三角函數(shù)知識(shí)求銳角三角函數(shù)值，根據(jù)“終邊相同的角的三角函數(shù)值相等”，若任意角與銳角的終邊相同，即角和之間相差2π倍，有=2π+(?Z)，那么它們的三角函數(shù)值相等．

啟發(fā)性問題2：公式一的作用是什么？根據(jù)公式一的獲得過程，你能獲得哪些結(jié)論？

圖11 質(zhì)點(diǎn)B坐標(biāo)

圖12 求三角函數(shù)值（一）

圖13 求三角函數(shù)值（二）

圖14 求三角函數(shù)值（三）

圖15 求三角函數(shù)值（四）

評(píng)析：對(duì)角終邊對(duì)稱關(guān)系的定位在為解決問題的需要而不得不引入，在該節(jié)之初所提出的問題中沒有涉及角的終邊的對(duì)稱關(guān)系，因?yàn)檫€不知道要把角的終邊的對(duì)稱關(guān)系引進(jìn)來．作角的終邊關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是獲得把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題的工具，何時(shí)使用工具全看問題解決本身的需要，而不是在沒有問題之前，就把工具放在面前，面對(duì)工具思索這些研究工具可以做什么，這不符合數(shù)學(xué)研究規(guī)律．

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[14] 課程教科書研究所．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書A版·數(shù)學(xué)（必修4）[M]．北京：人民教育出版社，2007：2-27．

[15] 洪燕君，周九詩，王尚志，等．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》的意見征詢——訪談張奠宙先生[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（3）：35-39．

[16] 章建躍．如何使學(xué)生理解三角函數(shù)概念[J]．中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2017（6）：66．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Reconstruction of the Education Form of Trigonometric in Senior High School

SHEN Wei1, CAO Guang-fu2

(1. College of Mathematics and Big-Data Science, Huizhou University, Guangdong Huizhou 516007, China;2. School of Mathematics & Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

The education form of trigonometric function was to change the formalized academic form into the content of trigonometric function recreated by the students highly from the mathematical idea and the scientific value. Reconstruction of the education form of trigonometric function needed to explore the ideological content and scientific value of the academic form of triangle, construct problem situations according to the mathematical idea and scientific value, summarize proper heuristic questions, and guide the students to recreate the content of trigonometric function, to reveal the mathematical idea and scientific value of trigonometric function.

trigonometric; educational form; problem situation; reconstruction

G632.0

A

1004–9894（2017）06–0014–08

沈威，曹廣福．高中三角函數(shù)教育形態(tài)的重構(gòu)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（6）：14-21．

2017–06–02

廣東省“特支計(jì)劃”教學(xué)名師項(xiàng)目——問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)；廣東省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目——卓越視野下職前數(shù)學(xué)教師教學(xué)能力培養(yǎng)模式研究；惠州學(xué)院優(yōu)秀青年培育項(xiàng)目——數(shù)學(xué)教師核心素養(yǎng)研究

沈威（1982—），男，安徽靈璧人，副教授，博士，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．