不確定過程中增長性定理的一個證明

劉 樂, 賈耿華

(1.洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 河南洛陽 471934； 2.洛陽理工學(xué)院數(shù)理部， 河南洛陽 471023 )

不確定過程中增長性定理的一個證明

劉 樂1, 賈耿華2

(1.洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 河南洛陽 471934； 2.洛陽理工學(xué)院數(shù)理部， 河南洛陽 471023 )

不確定變量用來描述非確定性現(xiàn)象， 不確定過程就是一列隨時間或空間變化的不確定變量.本文對不確定過程的增長性態(tài)進行研究， 并給出相關(guān)證明.

不確定變量; 不確定過程; 增長性態(tài)

劉寶碇教授[1]于2007創(chuàng)立了不確定理論， 用以研究人類的主觀不確定性.作為處理主觀判斷或?qū)＜覕?shù)據(jù)等不精確信息的新工具， 不確定性理論已引起了越來越多學(xué)者的關(guān)注， 已經(jīng)成功應(yīng)用于不確定規(guī)劃[2]、 不確定金融[3-4]、 不確定微分方程[3-4]等等領(lǐng)域中.

1 基本概念

定理1.1[1]令(Γ,L)是可測集， L是Γ的σ-代數(shù)， 稱Λ∈L為一個事件， 用M(Λ)來表示相信一個事件Λ會發(fā)生的信度. 如果M滿足以下幾條公理:

公理1.(正規(guī)性)M(Γ)=1；

公理2.(自對偶性)對任意事件Λ， 有

M(Λ)+M(Λc)=1；

定義1.1[1]不確定變量是從不確定空間(Γ, L, M)到實數(shù)集R的一個可測函數(shù)， 也就是說， 對任意R中的Borel集B， 集合{ξ∈B}={γ∈Γ|ξ(γ)∈B}是一個事件.

不確定積分是指不確定過程關(guān)于典范過程的積分.2009年， 劉寶碇教授[8]給出了一種重要的不確定過程典范過程的定義.

定義1.2[8]假設(shè)不確定過程Ct滿足如下三個條件:

(1)C0=0， 幾乎所有的軌道Lipschitz連續(xù)；

(2)Ct具有獨立穩(wěn)態(tài)增量；

定理1.2[1](MarkovInequality)設(shè)ξ為一個不確定變量， 任給t>0和p>0， 我們有

2 不確定過程增長性定理

對于所有的t>0.

對所有的ε>0， 令

于是

又

等價于

(3)由(1),(2)即可推得

再由t(τ)的定義得

從而有

3 結(jié)論

本文對不確定過程的增長性態(tài)進行了研究， 給出了證明過程， 為以后的不確定微分系統(tǒng)性能分析奠定基礎(chǔ).

[1] Liu B. Uncertainty Theory[M]. 2nd ed. Berlin: Springer-Verlag, 2007.

[2] Zhu Y. Uncertain optimal control with application to a portfolio selection model[J]. Cyber-netics and Systems， 2010，41(7)：535-547.

[3] Liu B. Uncertainty Theory: A branch of mathematics for modeling human uncertainty[M]. Springer-Verlag, Berlin, 2010.

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[6] Tao N， Zhu Y. Attractivity and stability analysis of uncertain di_erential systems[J]. InternationalJournal of Bifurcation and Chaos, 2015，25(2)：1550022-1.

[7] Tao N， Zhu Y. Stability and attractivity in optimistic value for dynamical systems with uncertainty[J]. International Journal of General Systems, 2016，45(4)：418-433.

[8] Liu B. Some research problems in uncertainty theory[J]. Journal of Uncertain Systems, 2009， 3(1)：3-10.

The Proof of Growth Theorem of Uncertainty Process

LIU Le1, JIA Geng-hua2

(1. College of Mathematics and Science, Luoyang Normal University, Luoyang 471934, China; 2. Department of Mathematics and Science, Luoyang Institute of Science and Technology, Luoyang 471023, China)

Uncertain variable is used to represent quantities with uncertainty. An uncertain process is essentially a sequence of uncertain variables indexed by time. In this paper, we will study the growth state of the process, and give the corresponding proof.

uncertain variable; uncertain process; growth state; corresponding proof

O231

A

1009-4970(2017)11-0019-03

2017-03-29

洛陽師范學(xué)院教改項目(2016xjjg033)

劉樂(1979—)， 女， 河南洛陽人， 碩士， 講師. 研究方向： 運籌與控制論方面.

[責(zé)任編輯 胡廷鋒]