淺議向量組線性相關(guān)性的判別方法

王星星++賈會(huì)芳

摘 要：向量組的線性相關(guān)性是《線性代數(shù)》的重要內(nèi)容，也是考研必不可少的一部分。行列式的值、矩陣的初等變換、齊次線性方程組的解等理論都可用于判別向量組的線性相關(guān)性，本文總結(jié)了判別向量組線性相關(guān)性的幾種方法，并給出一些典型例子。

關(guān)鍵詞：向量組；線性相關(guān)性；判別方法

向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)的重要內(nèi)容，它與行列式、矩陣、線性方程組的解等都有著緊密的聯(lián)系。由于其概念比較抽象，以致向量組的線性相關(guān)性判定成了一大難題。

1相關(guān)結(jié)論法

下面的結(jié)論簡(jiǎn)單易懂，是判別向量組線性相關(guān)性的最直接方法。

結(jié)論1：?jiǎn)蝹€(gè)零向量線性相關(guān)，單個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān)。

結(jié)論2：[α1，α2]，線性相關(guān)的充要條件是[α1，α2]的分量對(duì)應(yīng)成比例。

結(jié)論3：含零向量的向量組必線性相關(guān)。

結(jié)論4：若向量組[α1…，αr]線性相關(guān)，則向量組[α1…，αrαr+1…，αm]（m>r）線性相關(guān)；若向量組線性無(wú)關(guān)，則其任意的部分組線性無(wú)關(guān)。

結(jié)論5：當(dāng)m>n時(shí)，則n維向量組[α1，α2…，αm]必線性相關(guān)；特別n+1個(gè)n維向量組必線性相關(guān)。

結(jié)論6：向量組[α1，α2…，αm]（m≥2）線性相關(guān)的充分必要條件是向量組中至少有一個(gè)向量可由其余m-1個(gè)向量線性表示。

結(jié)論7：若向量組線性無(wú)關(guān)，則對(duì)其中每個(gè)向量在相同位置任意添加多個(gè)分量后所得向量組仍線性無(wú)關(guān)（無(wú)關(guān)組添加分量仍無(wú)關(guān)）。

例1：判別向量組

[α1=2，3，4，1，α2=（-2，1，-1，4）T，α3=（4，-6，1，2）T，α4=（9，7，-2，1）T，α5=（-5，-4，-2，0）T]的線性相關(guān)性。

解：由結(jié)論5知，5個(gè)四維向量一定是線性相關(guān)的。

2定義法

利用定義來(lái)判別時(shí)，只要令[k1α1+k2α2+…+kmαm=0]，如果存在不全為零的數(shù)[k1，k2…，km]使得等式成立，則向量組[α1，α2...，αm]是線性相關(guān)的，否則稱它是線性無(wú)關(guān)的。這是判斷向量組線性相關(guān)性的最基本方法。此方法適用于分量未給出的向量組。

例2：已知向量組[α1，α2，α3]線性無(wú)關(guān)，證明向量組[β1=α1，β2=α1+α2，β3=α1+α2+α3]也線性無(wú)關(guān)。

證明：設(shè)存在數(shù)[k1，k2，k3]使[k1β1+k2β2+k3β3=0]，則有[k1α1+k2（α1+α2）+k3（α1+α2+α3）=0]，即

[k1+k2+k3α1+k2+k3α2+k3α3=0]，由[α1，α2，α3]線性無(wú)關(guān)，故[k1+k2+k3=0k2+k3=0k3=0]，解得[k1=0，k2=0，k3=0]，所以向量組[β1，β2，β3]也線性無(wú)關(guān)。

3矩陣的初等變換法

以所給向量組為行向量組（或列向量組）構(gòu)造矩陣A，并對(duì)其作初等行變換化為行階梯形矩陣，如果行階梯形中的非零行行數(shù)小于向量個(gè)數(shù)，則向量組線性相關(guān)，否則線性無(wú)關(guān)。此方法適用于任何已知坐標(biāo)的向量組，這是判斷向量組線性相關(guān)性的最常用方法。

例3：判別向量組

[α1=（1，0，3，1）T，α2=（-1，3，0，-2）T，α3=（2，1，7，2）T，α4=（4，2，14，0）T]的線性相關(guān)性。

解：作矩陣

[A=α1，α2，α3，α4=1-1240312307141-220→1-124031203120-104→1-1240104001-100000]

矩陣A的秩為3，而向量組中所含向量個(gè)數(shù)為4，故向量組[α1，α2，α3，α4]線性相關(guān)。

4行列式值法

當(dāng)所給向量組中向量個(gè)數(shù)和向量維數(shù)相等時(shí)，以給定向量組可作成行列式[A]，若行列式[A]的值為0，則向量組是線性相關(guān)的；若行列式[A]的值不為0，則向量組是線性無(wú)關(guān)的。如以上例3（向量個(gè)數(shù)和向量維數(shù)都是4）就可用行列式值法判別：

作行列式[A=1-1240312307141-220=0]，所以向量組[α1，α2，α3，α4]是線性相關(guān)的。

5齊次線性方程組法

討論以所給向量組[α1，α2，…，αm]為系數(shù)向量的齊次線性方程組[x1α1+x2α2+…+xmαm=0]，若該齊次線性方程組有非零解，則[α1，α2，…，αm]線性相關(guān)；否則線性無(wú)關(guān)。

例4：判別向量組

[α1=（1，a，a2，a3）T，α2=（1，b，b2，b3）T，α3=（1，c，c2，c3）T，α4=（1，d，d2，d3）T]的線性相關(guān)性，其中a，b，c，d各不相同。

解考慮相應(yīng)的齊次線性方程組[x1+x2+x3+x4=0ax1+bx2+cx3+dx4=0a2x1+b2x2+c2x3+d2x4=0a3x1+b3x2+c3x3+d3x4=0]此方程組的系數(shù)行列式是范德蒙行列式，易知，當(dāng)a，b，c，d各不相同時(shí)，[D=1111abcda2b2c2d2a3b3c3d3≠0]由克拉默法則知，方程組只有零解，所以向量組[α1，α2，α3，α4]線性無(wú)關(guān)。

6反證法

判定向量組線性相關(guān)性時(shí)，可先假設(shè)結(jié)論成立，然后推出矛盾，從而下結(jié)論說(shuō)假設(shè)不成立，原命題得證。

例5：已知[η*]是非齊次線性方程組Ax=b的解向量，而[ξ1，ξ2，…，ξn-r]是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。證明：[η*，ξ1，ξ2，…，ξn-r]是線性無(wú)關(guān)的。

證明：假設(shè)[η*，ξ1，ξ2，…，ξn-r]線性相關(guān)，則[η*]可由[ξ1，ξ2，…，ξn-r]線性表出，從而有[Aη*=0]，這與[η*]是Ax=b的解向量矛盾，故[η*，ξ1，ξ2，…，ξn-r]是線性無(wú)關(guān)。

以上分析和歸納了判斷向量組線性相關(guān)性的五種方法，在具體應(yīng)用時(shí)，要看清問(wèn)題中向量組給出的形式及其他條件，有針對(duì)性的選用方法，才能準(zhǔn)確、快速地解決問(wèn)題，同時(shí)要注意方法的靈活應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]唐曉文，王昆侖，陳翠.線性代數(shù)（第2版）[M].2014.

[2]董秀明.判斷向量組的線性相關(guān)性與無(wú)關(guān)性[J].考試周刊（數(shù)學(xué)教學(xué)與研究），2013（33）.

[3]欒召平.證明向量組線性相關(guān)性的幾種方法[J].山東電大學(xué)報(bào)，2002（2）.

[4]肖艾平.向量組線性相關(guān)性的幾種判定方法[J].伊犁師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008（1）.

[5]黃娟霞.關(guān)于向量組線性相關(guān)性的初步探討[J].廣東石油化工學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（22）.

[6]劉桂珍.判斷向量組線性相關(guān)性的常用方法[J].凱里學(xué)院學(xué)報(bào)，2007（25）.

作者簡(jiǎn)介：

王星星（1988—），女，河南開封人，理學(xué)碩士，長(zhǎng)期從事線性代數(shù)的教學(xué)工作，研究方向：圖論與組合最優(yōu)化。endprint