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    培養(yǎng)數(shù)學(xué)逆向思維提高解題效率

    2017-12-20 20:09:48朱佳崢
    魅力中國 2017年46期
    關(guān)鍵詞:化簡式子實數(shù)

    朱佳崢

    逆向思維作為一種重要的思維方式,歷來受到人們的廣泛重視,它在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用十分重要,它是當(dāng)前素質(zhì)教育中不可忽視的內(nèi)容之一。培養(yǎng)逆向思維,是提高學(xué)生的解題速度和解題技巧的重要策略。但由于逆向思維問題具有條件隱蔽、背景復(fù)雜、形式多樣、頭緒紛繁的特點,一直以來多被學(xué)生視為難題而敬而遠之。事實上,此類問題的解決并非無章可循,本文試就逆向思維題目的幾種典型類型進行闡釋。

    一、因式的分解型逆向思維

    例1 ( - )2(8+2 ).

    分析 《因式分解》這一章內(nèi)容從始至終都貫穿了逆向思維教學(xué),加強逆向思維教學(xué),有助于開拓學(xué)生解題思維,豐富學(xué)生解題經(jīng)驗,提高解題的靈活性。例1此題按照運算順序從先算平方,再按多項式法則展開、合并這一常規(guī)解法非常困難,如果注意到8+2 這個式子的結(jié)構(gòu)特征,這個式子能分解因式成( + )2,故原式等于( - )2( + )2,此時再逆用積的乘方公式即可.

    解 ∵8+2

    =5+3+2

    =

    ∴原式=( - )2( + )2

    =[( - )( + )]2

    =22=4.

    類比練習(xí):

    二、逆運算型逆向思維

    例2 化簡:(x-1)

    分析 運用恰當(dāng)?shù)倪\算律是使運算題簡便的基礎(chǔ)方法之一,而運算率的核心就是改變運算順序。有時,逆運算能大幅降低運算難度。如例2,大多數(shù)學(xué)生習(xí)慣于先將 化簡,再將整個式子化簡,如果將根式外的因式(x-1)移到根號內(nèi),則能大幅度降低運算難度。但是,此時需要注意因式(x-1)值的正負性.這一想法的依據(jù)是公式a= (a≥0).

    解 有意義的條件為 ,則x-1<0,即x-1為負數(shù).

    ∴原式=

    說明 化簡的依據(jù)是公式a= (a≥0),即公式 =a(a≥0)的逆用.應(yīng)注意二次根式有意義的條件(被開放式為非負數(shù)),還要注意根式內(nèi)“移”出的數(shù)應(yīng)是非負數(shù),“移”進的數(shù)也應(yīng)是非負數(shù).

    三、由結(jié)果尋求條件型逆向思維

    例3已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖1所示,對稱軸是點線x=1.下列結(jié)論:

    ①abc>0,②2a+b=0,③62—4ac0.

    其中正確的是( )

    (A)①③ (B)只有② (C)②④ (D)③④

    解析 對選項①,結(jié)合圖象需確定系數(shù)a、b、c的正負性,由拋物線開口方向向上,得a>0,依據(jù)“左同右異”的規(guī)律,得b<0,由拋物線與y軸的正半軸相交,得c>0,故abc<0.

    對選項②,是關(guān)于a,b的式子,故此想到對稱軸x=- .由- =1,得b=-2a,即2a+b=0.對選項③,欲判斷b2-4ac的正負性,需看拋物線和x軸的交點個數(shù),由拋物線和x軸有兩個交點,得b2-4ac>0.

    對選項④,4a+2b+c是x=2對應(yīng)的函數(shù)值,根據(jù)拋物線的對稱性,知拋物線和x軸的右交點的橫坐標(biāo)小于2,故4a+2b+c>0.

    綜上,選C.

    四、反向變換型逆向思維

    例4拋物線y=x2+bx+c的圖象

    先向右平移2個單位,再向下平移3個單位,所得圖象的函

    數(shù)解析式為y=(x-1)2-4,則b、c的值為( )

    (A)b=2,c=-6 (B)b=2,c=0 (C)b=-6,c=8 (D)b=-6,c=2

    解析 根據(jù)運動的相對性,知拋物線y=(x-1)2-4先向左平移2個單位,再向上平移3個單位,可得拋物線y=x2+bx+c.

    由于拋物線y=(x-1)2-4的頂點坐標(biāo)為(1,-4),所以拋物線y=x2+bx+c的頂點坐標(biāo)為(-1,-1),所以y=(x+1)2-1=x2+2x,即b=2,c=0,故選B.

    五、從問題的反面進行思考型逆向思維

    例5 若方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0,x2-2(k+1)x+k2-2=0,x2-(2k+1)x+(k-2)2=0中至少有一個方程有實數(shù)根,求k的取值范圍.

    分析 由于“至少有一個方程有實數(shù)根”與“三個方程均無實數(shù)根”是對立排斥的,所以可以先從這個問題的反面,即三個方程均無實根的角度來考慮,即從△1、△2、△3三者均小于0中解出k的取值范圍,再從實數(shù)中排除這個k的取值范圍.

    解 ∵△1=8k+9<0,

    △2=8k+12<0,

    △3=20k-15<0,

    得k<- .

    因此,當(dāng)k≥- 時,三個方程中至少有一個方程有實數(shù)根.

    六、從“配角”變“主角”型逆向思維

    例6 在關(guān)于x的方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0中,a為正整數(shù),當(dāng)a為何值時,方程至少有一個整數(shù)根?

    分析 因為題眼是“關(guān)于x”,所以大多數(shù)學(xué)生習(xí)慣于用求根公式將x用a的式子表示,接下來通過x為整數(shù)去求正整數(shù)a的值,這樣的計算比較繁瑣.此時,不妨嘗試一下將系數(shù)a用未知數(shù)x的式子表達,這樣能二次方程降為一次方程.

    解 ∵ax2+2(2a-1)x+4a-7=0

    ∴當(dāng)a=5,a=1時,原方程至少有一個整數(shù)根.

    說明:將“主角”和“配角”變換一下角色,起到了另辟蹊徑的效果;同時變形的中用了“裂項”法,它本身就是一種逆向思維,變形的目的是為“整除”服務(wù)的.

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