再談積分學(xué)
——宏積分

劉春鳳，袁書娟

(華北理工大學(xué) 理學(xué)院，河北 唐山 063009)

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再談積分學(xué)
——宏積分

劉春鳳，袁書娟

(華北理工大學(xué) 理學(xué)院，河北 唐山 063009)

積分；宏積分；核元素

積分學(xué)包括不定積分、定積分、二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分。盡管不同的積分概念來自不同的實(shí)際背景，然而它們通過數(shù)學(xué)思維抽象出來的方法是類似的。因此，通過將各類積分定義的模式整合歸一，給出宏積分定義、拓展及性質(zhì)，以便學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)抽象思維的魅力，并進(jìn)一步理解積分概念的深刻內(nèi)涵。

積分是微積分學(xué)的核心，其中定積分、重積分、曲線積分和曲面積分等概念均來源于實(shí)踐又應(yīng)用于實(shí)踐， 分析其概念的本質(zhì)都是某種和式的極限，所以將各類積分定義模式進(jìn)行整合歸一，討論其共同的屬性在數(shù)學(xué)研究中顯得尤為重要。

1 宏積分定義

定義1.1 設(shè)Rk為k維實(shí)空間(k=1,2,3)，k維區(qū)域Ωk?Rk，Pk為Ωk中的點(diǎn)，f(Pk)是定義在區(qū)域Ωk上的有界實(shí)函數(shù)，依照微元法的思想方法[，構(gòu)造宏積分定義如下：

(1)

(3)求和：將n個(gè)小區(qū)域上的核元素相加，得積分和Sn

(2)

(4) 取極限：當(dāng)區(qū)域Ωk的分割無限細(xì)密時(shí)，若存在實(shí)數(shù)I，使得

(3)

則稱I為f(Pk)在Ωk上的k重積分，記作：

(4)

特別地：

(1)k=1的情形(直線段上的積分)

(5)

(2)k=2的情形(平面片上的積分)

(6)

(3)k=3的情形(立體塊上的積分)

(7)

2 宏積分定義的拓展

宏積分的定義不僅能夠整合重積分的概念，而且可以拓展到積分區(qū)域?yàn)槠矫媲€或空間曲面[2]的情形。

(1)平面曲線弧段上的積分

定義1.2設(shè)L為xoy面內(nèi)的一條光滑曲線弧函數(shù)f(x,y)在L上有界。如果對(duì)于曲線L上的黎曼積分和f(ξi,ηi)Δsi總存在實(shí)數(shù)I使得Sn=I，則稱I為函數(shù)f(x,y)在曲線弧L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或第I類曲線積分記作

∫Lf(x,y)ds

(8)

其中ΔMi=f(ξi,ηi)Δsi(i=1,2,...n)稱為曲線積分的核元素，即

(9)

(2)空間曲面片上的積分

(10)

其中ΔMi=f(ξi,ηi,ζi)ΔSi(i=1,2,...n)稱為曲面積分的核元素，即

(11)

(3)向量函數(shù)在平面有向曲線弧段上的積分

定義1.4L為xoy面內(nèi)的一條分段光滑有向曲線弧段向量函數(shù)在L上有界。如果對(duì)于曲線L上的黎曼積分和總存在實(shí)數(shù)I使得Sn=I，則稱I為函數(shù)(x,y)在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分或第Ⅱ類曲線積分記作

(12)

(13)

(7)向量函數(shù)在空間曲面片上的積分

(14)

(15)

(16)

概念的抽象性是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一。數(shù)學(xué)概念是抽象的，數(shù)學(xué)的思想方法也是抽象的(如加、減、群等)，整個(gè)數(shù)學(xué)都是抽象的。但是“抽象”不是目的，不是人為地增加理解難度，而是為了抓住事物的本質(zhì)。通過抽象，把復(fù)雜變得簡(jiǎn)單、混沌變得有序，無關(guān)變得統(tǒng)一。

為了便于讀者理解宏積分定義，我們不妨聚其軀干，略其枝節(jié)，簡(jiǎn)化定義1.1如下：

(17)

從抽象并簡(jiǎn)化以后的宏積分表達(dá)式不難看出，重積分的結(jié)果就是對(duì)核元素的積分，宏積分模型的核心就是核元素[3]的結(jié)構(gòu)。

可以證明，當(dāng)f(Pk)在有界閉區(qū)域Ωk上連續(xù)時(shí)，一定存在實(shí)數(shù)I，使得

(18)

具體來說：

(1)當(dāng)f(x)在閉區(qū)間[a,b]?R上連續(xù)時(shí)，核元素dM=f(x)·dx，一定存在實(shí)數(shù)I使得

(19)

此時(shí)也稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可積。

(2)當(dāng)f(x,y)在有界閉區(qū)域D?R2上連續(xù)時(shí)，核元素dM=f(x,y)·dσ，一定存在實(shí)數(shù)I使得

(20)

此時(shí)也稱f(x,y)在閉區(qū)域D上可積。

(3)當(dāng)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域V?R3上連續(xù)時(shí)，核元素dM=f(x,y,z)·dV，一定存在實(shí)數(shù)I使得

(21)

此時(shí)也稱f(x,y,z)在閉區(qū)域V上可積。

(4)當(dāng)f(x,y)在有界閉弧段L上連續(xù)時(shí)，核元素dM=f(x,y)·ds，一定存在實(shí)數(shù)I使得

(22)

此時(shí)也稱f(x,y)在有界閉弧段L上可積。

(23)

(24)

(26)

(27)

為計(jì)算方便，引入記號(hào) dydz=cosαdS， dzdx=cosβdS，

(28)

3 宏積分性質(zhì)

(29)

(30)

性質(zhì)4.3(單位性)如果在區(qū)域Ωk上f(Pk)≡1，ωk為區(qū)域Ωk的度量，則

(31)

性質(zhì)4.5(保序性)在區(qū)域Ωk上，f(Pk)g(Pk)，則有

4 結(jié)論

盡管不同的積分概念來自不同的實(shí)際背景，但積分的本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系不會(huì)發(fā)生改變。從宏積分表達(dá)式不難看出，宏積分的結(jié)果就是對(duì)核元素的積分，宏積分模型的核心就是核元素的結(jié)構(gòu)，故在以后積分應(yīng)用問題的處理中關(guān)鍵是尋求核元素。

[1] 劉春鳳. 高等數(shù)學(xué)上[M]. 北京：科學(xué)出版社，2007.

[2] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)(第六版)[M]. 北京：高等教育出版社,2004.

[3] 袁書娟，楊愛民. 獨(dú)立學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)"五環(huán)"教學(xué)模式的研究與實(shí)踐[J].廣西教育，2013.

Further on Integral Calculus:Macro Integral

LIU Chun-feng, YUAN Shu-juan

(College of Science, North China University of Science and Technology, Tangshan Hebei 063009, China)

integral; macro integral; nuclear element

Integral calculus includes indefinite integral, definite integral, double integral and triple integral, curve integral and surface integral. Although different integral concept from different actual background, however, their mathematical thinking of abstracting method is similar. Therefore, through the integration of all kinds of integral definition mode into one, macro integral definition, development and nature are given, so that students can understand the charm of mathematics abstract thinking, and to further understand the profound connotation of the concept of integral.

2095-2716(2017)01-0108-06

O172.2

A