萬有引力定律的應(yīng)用

【摘要】《萬有引力定律的應(yīng)用》是必修2第三章的內(nèi)容，這部分知識(shí)主要介紹了：萬有引力定律、星體運(yùn)動(dòng)和彗星軌道方面的知識(shí)，探究了天體的質(zhì)量的有關(guān)計(jì)算，并講述了衛(wèi)星的發(fā)射和運(yùn)行原理，推導(dǎo)了第一宇宙速度，介紹了第二、第三宇宙速度。這部分知識(shí)有效運(yùn)用了圓周運(yùn)動(dòng)有關(guān)知識(shí)。教學(xué)內(nèi)容滲透了科學(xué)探究的思想和方法，同時(shí)也進(jìn)一步體現(xiàn)了物理學(xué)中理想模型的研究方法，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維能力，在面對(duì)問題時(shí)自主尋找利用已知知識(shí)去解決實(shí)際問題的辦法。由于這部分知識(shí)涉及公式過多，并且無法跟其他物理現(xiàn)象一樣在上課實(shí)驗(yàn)，許多學(xué)生將客觀現(xiàn)象混淆，知識(shí)脈絡(luò)不清，規(guī)律理解不準(zhǔn)確，運(yùn)用規(guī)律解決具體問題時(shí)胡亂套用公式。為使學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)并且能有效利用到學(xué)習(xí)和生活中，現(xiàn)在這里對(duì)該部分知識(shí)進(jìn)行初步的探討。

【關(guān)鍵詞】萬有引力；重力；向心力；衛(wèi)星；變軌

【中圖分類號(hào)】G633.7 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）12-0036-02

本文就目前的教科版高中新課標(biāo)物理中萬有引力定律的應(yīng)用一章節(jié)展開盡可能全面的討論和分析，讓同學(xué)們能更清楚的知道這部分內(nèi)容的主次關(guān)系，教學(xué)時(shí)從何出發(fā)、重點(diǎn)在哪些地方，如何做到“教學(xué)無死角，解題無障礙”，旨在讓學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)容易理解并活學(xué)活用而不只是單純的應(yīng)付考試。

在進(jìn)行本次論文之前，我在學(xué)習(xí)和研究過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在以下問題：

1.不能正確區(qū)分萬有引力和重力，什么情況下重力只是萬有引力的一個(gè)分力，什么情況下重力可以近似等于萬有引力。

2.不能從力和運(yùn)動(dòng)的角度分析地面物體隨地球自轉(zhuǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)和衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)的區(qū)別。

3.如何運(yùn)用已知條件來計(jì)算中心天體的質(zhì)量等參數(shù)。

4.不能正確理解人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度和最大運(yùn)行速度。

5.衛(wèi)星發(fā)射和回收過程中涉及到能量變化速度差異的變軌問題是學(xué)生感覺很難的知識(shí)。

針對(duì)以上學(xué)生存在的問題，現(xiàn)將這部分知識(shí)進(jìn)行如下整理。

一、地球表面上的物體受到的重力和萬有引力的關(guān)系

萬有引力定律：自然界中任何兩個(gè)物體都是互相吸引的，引力的大小跟這兩個(gè)物體的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的二次方成反比。即，其中G=6.67×10-11N·m2/kg2。重力：由于地球的吸引而是物體收到的力，重力的方向總是豎直向下.對(duì)地球上靜止的物體而言，受到萬有引力和支持力的作用，這兩個(gè)力的合力提供了物體隨地球自轉(zhuǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。也可以理解為：萬有引力可分解為重力和向心力，其中重力和支持力是一對(duì)平衡力。

1.地球赤道上物體

設(shè)地球半徑為R，地球質(zhì)量為M，地球自轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G，地球表面重力加速度為g，地球赤道上一靜止物體質(zhì)量為m，受力如圖所示，其中物體所受支持力為N，由牛頓第二定律可得：物體隨地球自轉(zhuǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力其中N=mg，代入數(shù)據(jù)M=5.9722×1024kg，地球半徑R=6.4×106m，T=24h=86400s，G=6.64×10-11N·m2/kg2，a向=0.034m/s2，g=9.68m/s2

由此可以看出g>>a向，通常情況下，若不需考慮地球自轉(zhuǎn)的時(shí)候，可以認(rèn)為重力等于萬有引力。

2.位于地球上某一緯度的物體

現(xiàn)在我們來研究位于地球上緯度為φ的靜止物體，物體由于地球自轉(zhuǎn)而作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=Rcosφ。物體受力如圖，萬有引力的一個(gè)分力提供向心力，另一個(gè)分力（即重力）與支持力構(gòu)成平衡力。

由此可以看出隨著緯度φ增加，F(xiàn)向會(huì)越來越小，而重力會(huì)越來越大。即重力會(huì)隨著緯度的升高而逐漸接近萬有引力。

3.位于地球上南北兩極的物體

由以上分析可知，位于地球上南北兩極的物體所受的重力等于萬有引力。

綜上所述，由于地球是橢圓，隨著緯度的升高，萬有引力逐漸增大，地球表面物體隨地球自轉(zhuǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力不斷減小，物體的重力逐漸增大。即重力加速度隨緯度的升高而增大。在不需要考慮地球的自轉(zhuǎn)的情況下，在地球表面附近可以認(rèn)為重力等于萬有引力。

二、求中心天體質(zhì)量的方法

1.已知星球表面的重力加速度，求該星球的質(zhì)量

卡文迪許為什么說自己的實(shí)驗(yàn)是“稱量地球的重量（質(zhì)量）”？

例1.設(shè)地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，地球半徑R=6.4×106m，引力常量G=6.67×10-11N·m2/Kg2，試估算地球的質(zhì)量。

例2.宇航員站在一個(gè)星球表面上的某高處h自由釋放一小球，經(jīng)過時(shí)間t落地，該星球的半徑為R，你能求解出該星球的質(zhì)量嗎？

提示：這兩道題實(shí)質(zhì)都是利用GMm/R2=mg求解星球質(zhì)量的。

2.利用萬有引力等于向心力求解中心天體的質(zhì)量，（即利用GMm/R2=mv2/R）

例3.把地球繞太陽的公轉(zhuǎn)看作是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑約為1.5×1011m，已知引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，則可估算出太陽的質(zhì)量約為2×1030kg。

三、地球的衛(wèi)星

1.近地衛(wèi)星

我們?nèi)绻麑⑿l(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)處理為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供了衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即有GMm/R2=mv2/R=mg，其中m為衛(wèi)星質(zhì)量，故有v=≈7.9km/s。

2.高空衛(wèi)星

對(duì)于高空衛(wèi)星而言，有GMm/r2=ma向=mv2/r=4π2mr/T2，所以可以看出隨著衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)軌道半徑逐漸增加，向心加速度逐漸減小，衛(wèi)星運(yùn)行的速率逐漸減小，運(yùn)行周期逐漸增大。由于r≥R，故7.9km/s是最大的運(yùn)行速率。注意：由于r≥R，所以GMm/r2≤mg，所以運(yùn)算還可以將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為mgR2/r2=mv2/r=4π2mr/T2。endprint

3.同步衛(wèi)星

對(duì)同步衛(wèi)星而言，衛(wèi)星的周期為T=24h=86400s，根據(jù)GMm/r2=4π2mr/T2可知，同步衛(wèi)星具有一定的運(yùn)動(dòng)平面、運(yùn)動(dòng)高度、運(yùn)動(dòng)速率。

4.地球衛(wèi)星的發(fā)射速度和運(yùn)行速度

當(dāng)衛(wèi)星的發(fā)射速率達(dá)到7.9km/s時(shí)，從理論上講，它可以剛好成為地球的一顆近地衛(wèi)星，即發(fā)射出去后不需要升空就繞地運(yùn)行，此時(shí)，衛(wèi)星的發(fā)射速率等于運(yùn)行速率。對(duì)某一衛(wèi)星而言，當(dāng)發(fā)射速率大于7.9km/s時(shí)，衛(wèi)星進(jìn)入高空運(yùn)行，衛(wèi)星升空過程中，由于地球引力作用，衛(wèi)星所受萬有引力對(duì)衛(wèi)星做負(fù)功，衛(wèi)星動(dòng)能減小，引力勢能增加，在無動(dòng)力升空過程中機(jī)械能守恒。所以隨著發(fā)射速率的增加，衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)軌道半徑增加，根據(jù)GMm/r2=mv2/r可知衛(wèi)星在高軌道上運(yùn)行速率反而越小。這里要注意：對(duì)不同軌道上的衛(wèi)星，如圖所示的A、B兩顆衛(wèi)星，RAVB運(yùn)，而發(fā)射速率卻是VA發(fā)EKB，EPA

四、衛(wèi)星的變軌

1.漸變

衛(wèi)星在運(yùn)行的過程中，可能由于外界某些因素的影響，導(dǎo)致衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)軌道的緩慢變化，由于軌道半徑是緩慢變化，我們可以將衛(wèi)星每一周的運(yùn)動(dòng)處理成勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

解決此類問題的關(guān)鍵是：抓住力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，也就是提供向心力F提（地球與衛(wèi)星之間的萬有引力）與需求向心力F需（衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力）的關(guān)系。當(dāng)F提>F需時(shí)，衛(wèi)星作近心運(yùn)動(dòng)，當(dāng)F提

例如：人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中總會(huì)受到一定的阻力作用。由于阻力對(duì)衛(wèi)星做負(fù)功，衛(wèi)星動(dòng)能減小，運(yùn)行速率減小，F(xiàn)需減小。而F提卻不變，此時(shí)F提>F需時(shí)，衛(wèi)星作近心運(yùn)動(dòng)。這樣導(dǎo)致半徑r減小，由GMm/r2=mv2/r可知：衛(wèi)星線速率v將增大，周期T將減小，動(dòng)能Ek將增大，勢能Ep將減小。該過程有部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，因此衛(wèi)星機(jī)械能E機(jī)將減小。

為什么衛(wèi)星克服阻力做功，動(dòng)能反而增加了呢？這是因?yàn)橐坏┸壍腊霃綔p小，在衛(wèi)星克服阻力做功的同時(shí)，萬有引力（即重力）將對(duì)衛(wèi)星做正功。而且萬有引力做的正功大于克服阻力做的功，外力對(duì)衛(wèi)星做的總功是正的，因此衛(wèi)星動(dòng)能增加。

為使衛(wèi)星仍按原軌道運(yùn)動(dòng)，需給衛(wèi)星補(bǔ)充一定的能量，這一能量等于衛(wèi)星克服阻力所做的功。

2.突變

由于技術(shù)上的需要，有時(shí)要在適當(dāng)?shù)奈恢枚虝r(shí)間啟動(dòng)飛行器上的發(fā)動(dòng)機(jī)，使飛行器軌道發(fā)生突變，使其到達(dá)預(yù)定的目標(biāo)。

如：發(fā)射同步衛(wèi)星時(shí)，通常先將衛(wèi)星發(fā)送到近地軌道Ⅰ，使其繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速率為v1，第一次在P點(diǎn)點(diǎn)火加速，在短時(shí)間內(nèi)將速率由v1增加到v2，使衛(wèi)星進(jìn)入橢圓形的轉(zhuǎn)移軌道Ⅱ；衛(wèi)星運(yùn)行到遠(yuǎn)地點(diǎn)Q時(shí)的速率為v3，此時(shí)進(jìn)行第二次點(diǎn)火加速，在短時(shí)間內(nèi)將速率由v3增加到v4，使衛(wèi)星進(jìn)入同步軌道Ⅲ，繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

第一次加速：衛(wèi)星需要的向心力增大了，但萬有引力沒變，即F提

在轉(zhuǎn)移軌道上，衛(wèi)星從近地點(diǎn)P向遠(yuǎn)地點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過程只受重力作用，機(jī)械能守恒。重力做負(fù)功，重力勢能增加，動(dòng)能減小。在遠(yuǎn)地點(diǎn)Q時(shí)如果不進(jìn)行再次點(diǎn)火，衛(wèi)星將繼續(xù)沿橢圓軌道運(yùn)行，從遠(yuǎn)地點(diǎn)Q回到近地點(diǎn)P，不會(huì)自動(dòng)進(jìn)入同步軌道。這種情況下衛(wèi)星在Q點(diǎn)受到的萬有引力大于以速率v3沿同步軌道運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，因此衛(wèi)星做近心運(yùn)動(dòng)。

為使衛(wèi)星進(jìn)入同步軌道，在衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)必須再次啟動(dòng)衛(wèi)星上的小火箭，短時(shí)間內(nèi)使衛(wèi)星的速率由v3增加到v4，使它所需要的向心力增大到和該位置的萬有引力相等，這樣就能使衛(wèi)星進(jìn)入同步軌道Ⅲ而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。該過程再次啟動(dòng)火箭加速，又有化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，衛(wèi)星的機(jī)械能再次增大。

結(jié)論：要使衛(wèi)星由較低的圓軌道進(jìn)入較高的圓軌道，即增大軌道半徑（增大軌道高度h），一定要給衛(wèi)星增加能量。與在低軌道Ⅰ時(shí)比較，衛(wèi)星在同步軌道Ⅲ上的動(dòng)能Ek減小了，勢能Ep增大了，機(jī)械能E機(jī)也增大了。

參考文獻(xiàn)

[1]人教版新課標(biāo)高中物理必修二.

作者簡介：姓名：張二九；出生年月：1995年12月；性別：男；籍貫：四川；學(xué)歷：大學(xué)本科；研究方向：中學(xué)物理教育。