從“維恩圖”到“線段圖”

張錦

摘要：數(shù)學(xué)模型的抽象化，勢(shì)必需要具體手段加以輔助。利用維根圖，可以形象而直觀的表示一些對(duì)象的整體性，對(duì)于構(gòu)建加法、減法、分?jǐn)?shù)數(shù)學(xué)模型起到推動(dòng)作用。利用線段圖的優(yōu)勢(shì)則體現(xiàn)在直觀清晰建立一一對(duì)應(yīng)、等價(jià)、多、少等數(shù)學(xué)模型上。

關(guān)鍵詞：韋恩圖；線段圖；數(shù)學(xué)模型；集合；抽象；形象

數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界為某種目的的一個(gè)抽象的簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這種抽象化、簡(jiǎn)約化，勢(shì)必需要用形象、具體的手段做輔助，實(shí)現(xiàn)其“拐棍”作用。

我們最先想到的往往是線段圖，其操作簡(jiǎn)便易行，且便于分析理解。但對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，特別是低年級(jí)學(xué)生，是否也具有一定的抽象性呢？

在線段圖中，一條線段表示的往往是一個(gè)量的多少。一條線段也就是一個(gè)整體，這里面也就有了集合思想。這種整體性，有時(shí)不如用“維恩圖”更形象。

維恩圖就是把具有某種屬性的一些對(duì)象，用封閉的曲線圈起來(lái)看作一個(gè)整體，這個(gè)整體就是一個(gè)集合，圈內(nèi)的對(duì)象就是集合的元素。用維恩圖能為學(xué)生構(gòu)建模型起到很好的推動(dòng)作用。

數(shù)學(xué)內(nèi)容有時(shí)本身就是一種數(shù)學(xué)模型。比如：

自然數(shù)是表述有限集合“數(shù)數(shù)”過(guò)程的數(shù)學(xué)模型；

加法是“合并”、“添加”的數(shù)學(xué)模型；

減法是“拆分”、“減少”的數(shù)學(xué)模型；

分?jǐn)?shù)是平均分派物品的數(shù)學(xué)模型。

上面所說(shuō)的數(shù)學(xué)模型是否都蘊(yùn)含“整體與部分”的關(guān)系？這種“整體與部分”的關(guān)系是否用“維恩圖”更能說(shuō)明問(wèn)題？

1.一年級(jí)學(xué)生“認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)”，用維恩圖表示6個(gè)人，6本書(shū)，6支鉛鉛筆……，在此基礎(chǔ)上抽象出“6”，學(xué)生抽象出自然數(shù)是“非空的、等價(jià)的”這一數(shù)學(xué)模型。

2.對(duì)于加法，我們不可能給一年級(jí)的學(xué)生下定義，下面的維恩圖是否能幫助學(xué)生理解？

（1）求下面圖1和圖2一共有多少小正方體，用圖3幫助學(xué)生理解“合并”的數(shù)學(xué)模型。

（2）如果從圖1再增加3個(gè)小正方體，變成圖3也能幫助學(xué)生理解“添加”的數(shù)學(xué)模型。

3.減法是加法的逆運(yùn)算，看看維恩圖又有哪些作用。

（1）圖4，表示的是把一個(gè)整體分成兩部分，已知其中的一部分，求另一部分，也就是“拆分”的數(shù)學(xué)模型。

（2）圖5，表示的是從一個(gè)整體去掉其中的一部分，求另一部分，也就是“減少”的數(shù)學(xué)模型。

7個(gè)

4.有了前面的認(rèn)識(shí)，學(xué)生對(duì)加減混合的學(xué)習(xí)，也可以利用維恩圖研究：

有了圖6，學(xué)生理解4+5-3也就不困難了。

5. 分?jǐn)?shù)是平均分派物品的數(shù)學(xué)模型。平均分就是要把一個(gè)整體平均分，表示這樣的幾份。圖7是否能幫助學(xué)生理解呢？

上面所說(shuō)的都是存在“整體與部分”關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。老師們可能會(huì)想到，在數(shù)學(xué)上兩個(gè)量的比較，其應(yīng)用性更為廣泛。比如 ，低年級(jí)學(xué)生先從“兩個(gè)量比多少”開(kāi)始學(xué)起，“比”之后，就有同樣多、誰(shuí)多、誰(shuí)少的結(jié)果。

圖8，在一一對(duì)應(yīng)中，滲透“等價(jià)”的數(shù)學(xué)模型。

圖9，在一一對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)上，理解○在與△同樣多的基礎(chǔ)上，還多出3個(gè)，理解“多”的數(shù)學(xué)模型。

但隨著數(shù)量的增多，利用維恩圖還能發(fā)揮作用嗎？比如，35個(gè)△和49個(gè)○比多少，我們難道用維恩圖真得要畫(huà)出35個(gè)△和49個(gè)○嗎？

如果用簡(jiǎn)約化的維恩圖（圖10）幫助學(xué)生理解，特別是一一對(duì)應(yīng)、等價(jià)、多、少的數(shù)學(xué)模型建立，其二維性，就不如線段圖直觀、清楚了。這時(shí)，線段圖就能很好的發(fā)揮作用了（如圖11、圖12）。

這樣，學(xué)生利用線段圖更容易“比”，在“比”線段長(zhǎng)短的過(guò)程中，“比”出誰(shuí)多誰(shuí)少，多多少，少多少。

一個(gè)量比另一個(gè)量多幾（或少幾），需要這樣去“比”，那關(guān)于兩個(gè)量的“倍數(shù)關(guān)系”、“分?jǐn)?shù)關(guān)系”，就更需要線段圖了（如圖13、圖14）。

教學(xué)過(guò)程中，需要直觀的輔助手段，給抽象化、簡(jiǎn)約化的數(shù)學(xué)模型提供形象支撐。但選擇的輔助手段合適與否還需要我們深入研究。就像從“維恩圖”到“線段圖”……

參考文獻(xiàn)：

[1] 溫寒江.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與創(chuàng)新能力培養(yǎng)[M]. 北京：北京科學(xué)技術(shù)出版社，2006.1：53—72