地月L2點周期軌道的月球背面覆蓋分析

劉磊，曹建峰，胡松杰，唐歌實

（1.航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點實驗室，北京 100094；2.北京航天飛行控制中心，北京 100094；3.國防科技大學(xué) 理學(xué)院，長沙 410073）

地月L2點周期軌道的月球背面覆蓋分析

劉磊1,2,3，曹建峰1,2，胡松杰1,2，唐歌實1,2

（1.航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點實驗室，北京 100094；2.北京航天飛行控制中心，北京 100094；3.國防科技大學(xué) 理學(xué)院，長沙 410073）

地月L2點附近軌道具備獨特的動力學(xué)和運動學(xué)特性，是月球背面探測任務(wù)的中繼衛(wèi)星首選布設(shè)位置。面向未來月球背面探測任務(wù)的中繼通信需求，分析并研究了地月L2點周期軌道（halo軌道）對月球背面的覆蓋。在圓型限制性三體問題模型下，研究并給出了halo軌道族延拓計算方法，基于延拓法設(shè)計了地月系大范圍南北halo軌道族；給出了中繼衛(wèi)星的月球背面覆蓋計算模型，定義了相應(yīng)的時間覆蓋因子；數(shù)值仿真了地月系南北halo軌道族的月球背面覆蓋情況。研究結(jié)果表明：地月L2點周期軌道幅值和類型決定其對月面的覆蓋性，幅值較小的軌道的月面整體覆蓋性較好，幅值較大的軌道對月球南北極覆蓋較好，南北族軌道分別有利于月球南北半球的覆蓋。文章研究可為我國“嫦娥4號”月球背面探測任務(wù)的中繼星軌道設(shè)計提供有益參考和借鑒。

月球探測；平動點；halo軌道；延拓法；月面覆蓋

0 引 言

圓型限制性三體問題具有5個平動點，其附近的周期軌道由于獨特的空間位置和動力學(xué)特性，非常適合于空間觀測和中繼通信等應(yīng)用，或者作為深空探測的低能量轉(zhuǎn)移中樞[1]。截至目前，國際上已成功發(fā)射了十余個平動點探測器，其中絕大多數(shù)為日地平動點探測器，包括2011年進(jìn)入日地L2點擬周期軌道開展探測的我國“嫦娥2號”衛(wèi)星[1]，此外在我國2013年實施的“嫦娥3號”任務(wù)中，也曾考慮過借助日地平動點的應(yīng)急軌道方案[3-4]。對于地月平動點，雖然目前僅有美國ARTEMIS任務(wù)[5]和我國“嫦娥5T1”任務(wù)[6-7]開展了地月平動點飛行，但是其對月球和深空探測具有非常重要的應(yīng)用價值，尤其是一直對月球背面可見的地月L2點，其附近軌道是未來月球背面探測任務(wù)的中繼衛(wèi)星首選布設(shè)位置。

在圓型限制性三體問題下，平動點附近軌道包括周期和擬周期軌道，其中周期軌道即halo軌道可以有效避免擬周期軌道受到小天體遮擋的問題，因而更適合于作為中繼通信軌道?；谀壳皣鴥?nèi)外對圓型限制性三體問題動力學(xué)特性和相關(guān)解的充分研究可知[8-10]，平動點附近的周期軌道并不唯一，而是存在南北兩個周期軌道族，這就需要根據(jù)不同任務(wù)需求和約束，從眾多周期軌道中選擇和設(shè)計合理的平動點中繼通信軌道。對于月球背面探測任務(wù)而言，中繼通信軌道對月球表面的覆蓋性將是最為重要的設(shè)計約束之一。

為此，本文面向未來月球背面探測任務(wù)需求，分析并研究了地月L2點周期軌道對月球背面的覆蓋。基于halo軌道族延拓計算方法[10]，選擇不同族參數(shù)計算得到了地月L2點大范圍南北halo軌道族。進(jìn)而定義了halo軌道對月球表面的時間覆蓋因子，最后分析了南北halo軌道族對月球背面的覆蓋情況。文章研究可直接用于我國“嫦娥4號”月球背面探測任務(wù)的中繼通信衛(wèi)星軌道設(shè)計。

1 軌道維持

1.1 halo軌道族計算

設(shè)一個三體系統(tǒng)中，第三體的質(zhì)量m遠(yuǎn)小于其他兩個天體m1和m2，不考慮第三體對其他兩個大天體的引力作用，即設(shè)，其他兩個大天體在相互引力作用下作Kepler運動，若相對運動為圓運動，則構(gòu)成圓型限制性三體問題。一般在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系或稱會合坐標(biāo)系下研究圓型限制性三體問題，即以m1和m2的共同質(zhì)心為原點O，m1指向m2的連線為x軸，相對運動平面為xy平面，由此得到旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系O-xyz，如圖1所示。

圖1 會合坐標(biāo)系和平動點Fig.1 Synodic coordinate and libration points

將質(zhì)量、長度和時間單位無量綱化[9]，經(jīng)推導(dǎo)可得小天體m在O-xyz中的運動方程

由上述運動方程可知，該方程存在5個平動解，對應(yīng)為圓型限制性三體問題的5個平動點，如圖1所示。在平動點附近，將式（1）關(guān)于平動點線性展開，從而得到平動點附近運動的一階解析形式

其中：Ax和Az分別為x和z方向的運動幅值；η和ζ分別為x和z方向的運動頻率；φ和ψ分別為x和z方向的初始相位。

一般情況下運動頻率η和ζ并不相等，但是當(dāng)運動幅值充分大時，非線性項的影響可能使得二者相等，從而形成周期軌道。Richardson等采用Lindstedt-Poincaré法，人為約束不同方向的軌道幅值和相位，構(gòu)造了共線平動點halo軌道的三階近似解[9]，成為目前halo軌道數(shù)值設(shè)計的經(jīng)典初始解。

雖然式（3）為一階解，但是反映了平動點周期軌道的主要特性，即halo軌道關(guān)于xz平面對稱，且垂直穿越xz平面，該特性是halo軌道數(shù)值設(shè)計的直接依據(jù)。基于該特性，選擇初始狀態(tài)x0位于會合坐標(biāo)系xz平面，由x0積分t時刻至末狀態(tài)xd，通過微分修正x0和t使得軌道再次穿越xz平面時垂直于該平面，即x和z方向速度為0，設(shè)xd的偏差量為δxd，修正量分別為δx0和δt，則迭代過程為

利用上述halo軌道數(shù)值方法，一般固定式（4）的某個待求參數(shù)如x0、z0、或T，將之定義為halo軌道族的族參數(shù)，可以延拓計算得到halo軌道族。延拓法是一種求解非線性方程組的大范圍收斂算法[11]，對x0與真實解的逼近程度要求較低。對于如下非線性方程組

延拓法構(gòu)造一族映象H:D×[0,1]?Rn+1→Rn，且有

式（4）對應(yīng)于延拓法中的待求問題F（X），除族參數(shù)以外的變量即待求參數(shù)X，族參數(shù)即同倫方程組變量v?；谘油胤ǖ膆alo軌道族計算方法具體參見文獻(xiàn)[10]。需要指出，由于halo軌道族分布復(fù)雜且計算受族參數(shù)影響較大，如果僅按照某個特定族參數(shù)計算，可能出現(xiàn)迭代發(fā)散現(xiàn)象，從而無法得到完整連續(xù)的halo軌道族。因此，需要在延拓計算過程中注意族參數(shù)的選擇，并根據(jù)計算結(jié)果做相應(yīng)調(diào)整。

1.2 月面覆蓋計算

地月L2點中繼衛(wèi)星對月面的覆蓋計算與一般中繼衛(wèi)星大致相同，其有別于地球中繼衛(wèi)星之處在于，月球的公轉(zhuǎn)速度與自轉(zhuǎn)速度相同，即在地月會合坐標(biāo)系中，月球背面始終是x軸上下和左右90°對應(yīng)的月表區(qū)域，因此，在地月會合坐標(biāo)系中計算月面覆蓋非常方便。進(jìn)一步，將地月會合坐標(biāo)系O-xyz的原點移至月球質(zhì)心，得到月心地月會合坐標(biāo)系用于月面覆蓋計算。

在月心地月會合坐標(biāo)系中，地月L2點中繼衛(wèi)星的月面覆蓋如圖2所示，其中和分別為月面點和平動點中繼衛(wèi)星的月心矢量，為月面點到中繼衛(wèi)星的月心矢量，即

圖2 地月L2點軌道的月面覆蓋Fig.2 Surface Coverage of the Earth-Moon L2 Orbit

θ為中繼衛(wèi)星相對于月面點的月面觀測仰角，即

在不考慮月表地形遮擋和其他覆蓋約束條件下，只要θ大于給定的觀測仰角約束θc，即認(rèn)為中繼衛(wèi)星對該月面點可見，可以實現(xiàn)覆蓋?？紤]到平動點halo軌道的周期性，可以用一個軌道周期內(nèi)可見時長ta與軌道周期T的比例衡量該halo軌道對該月面點的時間覆蓋性能，即覆蓋時間因子κ

利用κ衡量halo軌道的月面覆蓋性能不僅直觀，而且可以間接估計特定覆蓋指標(biāo)所需要的衛(wèi)星數(shù)，在均勻相位布設(shè)條件下，如果某個halo軌道對某特定月面點的覆蓋時間因子為κ，則持續(xù)覆蓋所需的最少衛(wèi)星數(shù)為[1/κ]，中括號表示向上取整。

在月球背面逐點計算覆蓋時間因子，即可得到單個halo軌道對月球背面的覆蓋情況。在月心地月會合坐標(biāo)系中定義月面點的經(jīng)度和緯度分別為α和δ，分別在xy和xz平面內(nèi)，以y軸和z軸指向為正。設(shè)月球平均半徑為rL，則在月心地月會合坐標(biāo)系下有

進(jìn)一步，對地月L2點南北halo軌道族逐個計算月球背面覆蓋，可以得到整個軌道族的覆蓋情況。

2 數(shù)值仿真

采用前述halo軌道族計算方法計算地月L2點南北halo軌道族，繼而分析相應(yīng)的halo軌道對月球背面的覆蓋情況。

2.1 地月系halo軌道族

依次選擇z0和x0作為族參數(shù)，可以延拓得到地月L2點南北軌道族，受篇幅限制，這里僅給出北族halo軌道，如圖3所示，南族halo軌道與北族軌道關(guān)于會合坐標(biāo)系xy平面對稱。圖3中相鄰軌道變化較大之處由族參數(shù)切換造成，如果進(jìn)一步縮小族參數(shù)，可以減小這個間隔。

由圖3可見，采用延拓法得到的周期軌道可以從平動點附近，一直分布到月球附近。不過，月球附近的周期軌道已經(jīng)成為近似環(huán)月軌道，如果考慮到月球和其他攝動力影響，其附近的周期軌道維持可能超出實際能力。同時，由圖3顯而易見，北族halo軌道大部分位于會合坐標(biāo)系xy平面上方，因而對月球北半球覆蓋性較好，南族軌道則會與之相反。

按照式（3）中Ax和Ay的定義，給出南北halo軌道族的幅值變化，如圖4所示。

由圖4可見，隨著halo軌道遠(yuǎn)離平動點，其Ax幅值逐漸增加，但是Az幅值的變化并不單調(diào)，先由初始的0增大至接近30 000 km，然后減小。文獻(xiàn)[10]中詳細(xì)分析了地月系平動點周期軌道族的性質(zhì)和運動特性。

2.2 月面覆蓋

利用前述月面覆蓋計算方法，計算2.1節(jié)的地月系halo軌道族對月球背面的覆蓋時間因子κ，其中觀測仰角約束θc取5°，給出南北族中6條halo軌道的結(jié)果，如圖5和圖6所示。

由圖5和圖6可見，與前述定性分析相同，南北族halo軌道各自對月球背面南北區(qū)域的覆蓋性較好。幅值較小的halo軌道由于離月球較遠(yuǎn)，因而對月球背面大部分區(qū)域的覆蓋均較好，可以接近或者達(dá)到100%，而且南北族halo軌道的覆蓋性能差別不大，不足之處在于對月球南北極的覆蓋較差。

隨著幅值增大，月面覆蓋性能最好的區(qū)域越來越小，逐漸收縮至?xí)献鴺?biāo)系x軸附近，而且南族和北族halo軌道對月球北部和和南部區(qū)域的覆蓋性迅速下降，不過，與之對應(yīng)的是月球南北極的覆蓋性得到明顯提升。

圖3 地月系L2點北族halo軌道族Fig.3 North halo family of the Earth-Moon L2 point

圖4 地月系halo軌道族的幅值變化Fig.4 Amplitude of the Earth-Moon halo family

3 結(jié) 論

面向未來月球背面探測任務(wù)的中繼通信需求，分析并研究了地月L2點周期軌道對月球背面的覆蓋。研究結(jié)果表明，地月L2點周期軌道幅值和類型決定其對月面的覆蓋性，幅值較小的軌道的整體覆蓋性較好，幅值較大的軌道對月球南北極覆蓋較好，南北族軌道分別有利于月球南北半球的覆蓋。文中方法和數(shù)值計算結(jié)果可為我國“嫦娥4號”月球背面探測任務(wù)的中繼星軌道設(shè)計提供有益借鑒。

文中halo軌道考慮的是圓型限制性三體問題模型，實際任務(wù)中還應(yīng)考慮高精度力模型對halo軌道的影響，尤其是攝動造成的軌道修正與控制對月面覆蓋的影響。此外，實際任務(wù)中的多種測控約束、月球的真實運動特性等因素，均會直接影響中繼衛(wèi)星對月面的實際覆蓋性能，這將在后續(xù)工作中做進(jìn)一步深入研究。

圖6 地月系南族halo軌道的月面覆蓋Fig.6 The lunar surface coverage of the Earth-Moon south halo orbit family

[1]Lo M W.The interplanetary superhighway and the origins program[C]// IEEE Space 2002 Conference.Big Sky，MT，US：IEEE，2002.

[2]Wu W R，Liu Y，Liu L，et al.Pre-LOI trajectory maneuvers of CHANG’E-2 libration point mission [J].Science China，2012，55（6）：1249-1258.

[3]Liu L，Liu Y，Cao J.et al.Chang’E-2 lunar escape maneuvers to the Sun-Earth L2 libration point mission[J].Acta Astronautica，2014，93：390-399.

[4]Liu L，Cao J，Liu Y.et al.Chang’E-3 contingency scheme and trajectory[J].Advances in Space Research，2015，55：1074-1084.

[5]Angelopoulos V.The Artemis mission[J].Space Science Reviews，2011，165：3-25.

[6]劉磊，唐歌實，胡松杰，等.月球探測再入返回后續(xù)飛行方案研究[J].宇航學(xué)報，2015，36（1）：9-17.Liu L，Tang G S，Hu S J，et al.Follow-up flight scheme for the reentry test of China lunar exploration [J].Journal of Astronautics，2015，36（1）：9-17.

[7]Liu L，Li J S.CHANG’E-5T1 extended mission：the first lunar libration point flight via a lunar swing-by[J].Advances in Space Research，2016，58（4）：609-618.

[8]Chow N，Gralla E.Low Earth orbit constellation design using the Earth-Moon L1 point [D].New Jersey：Princeton University，2004.

[9]Richardson D L.Analytic construction of periodic orbits about the collinear points[J].Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy，1980，22（3）：241-253.

[10]劉磊，劉勇，曹建峰，等.halo軌道族延拓方法及特性研究[J].中國空間科學(xué)技術(shù)，2013，33（1）：30-36.Liu L，Liu Y，Cao J F，et al.Kinetic characteristics and continuation algorithm of periodic families [J].Chinese Space Science and Technology，2013，33（1）：30-36.

[11]李慶揚(yáng)，莫孜中，祁力群.非線性方程組的數(shù)值解法[M].北京：科學(xué)出版社，1997.Li Q Y，Mo Z Z，Qi L Q.Numerical methods for non-linear equation group [M].Beijing：Science Press，1997.

Coverage of Lunar Farside Surface of the Earth-Moon L2 Periodic Orbits

LIU Lei1,2,3，CAO Jianfeng1,2，HU Songjie1,2，TANG Geshi1,2
（1.Science and Technology on Aerospace Flight Dynamics Laboratory，Beijing 100094，China；2.Beijing Aerospace Control Center，Beijing 100094，China；3.Science College of National University of Defense Technology，Changsha 410073，China）

Orbits nearby the Earth-Moon libration points have the specific dynamic characteristicsand are the preferred position of relay satellites for the lunar farside exploration.For relay requirements of the future lunar farside exploration,the surface coverage of the Earth-Moon L2 periodic orbits is studied.Firstly,the continuation method calculating the halo orbit family is proposed with the circular restricted three-body problem.The south and north halo families with a large scope are calculated in the Earth-Moon system.Secondly,the coverage model of the lunar farside surface is presented for the relay satellites.The coverage factors are consequently defined.Finally,the coverage is numerically simulated.The results show that the coverage capacity is decided by the amplitude and style of L2 orbits.A halo orbit with small amplitude has an excellent entire coverage capacity,while a large one has a better coverage capacity for the south or north poles.Furthermore,the research can provide a beneficial reference for the orbit design of the future CHANG’E-4 mission.

lunar exploration；libration point；halo orbit；continuation method；lunar surface coverage

V412

A

2095-7777（2017）04-0361-06

10.15982/j.issn.2095-7777.2017.04.008

劉磊，曹建峰，胡松杰，等.地月L2點周期軌道的月球背面覆蓋分析[J].深空探測學(xué)報，2017，4（4）：361-366.

Reference format：Liu L，Cao J F，Hu S J，et al.Coverage of lunar farside surface of the Earth-Moon L2 periodic orbits[J].Journal of Deep Space Exploration，2017，4（4）：361-366.

2017-06-01

2017-08-04

國家自然科學(xué)基金資助項目（11303001，11373013，61573049，61304233）；中國博士后科學(xué)基金資助項目（2016 M592947）

劉磊（1980- ），男，工程師，主要研究方向：深空探測軌道設(shè)計與控制。

通信地址：北京5130信箱120#（100094）

電話：（010）66362455

E-mail：llbacc@139.com

[責(zé)任編輯：楊曉燕，英文審校：朱恬]