似曾相見曾相識，看似平淡需真功
——2017年全國卷解析幾何試題賞析

安徽 朱啟州

似曾相見曾相識，看似平淡需真功
——2017年全國卷解析幾何試題賞析

安徽 朱啟州

2017年全國卷解析幾何命題，以運算求解能力為基礎(chǔ)，思維能力為核心，問題設(shè)置側(cè)重體現(xiàn)對知識的理解和應(yīng)用，對考生邏輯思維的廣度和深度、運算求解能力等有較高要求.整體上試題特點可用“似曾相見曾相識，看似平淡需真功”來概括.

一、合情推理總相宜

( )

綜上所述m∈(0,1]∪[9,+∞)，故選A.

【點撥】對于C上存在點M滿足∠AMB=120°，若用設(shè)而不求法，進而轉(zhuǎn)化為任意性、存在性問題來解決，就費時費力.特殊化、極端化等方法是解決選擇題常用方法.對本題來說M位于短軸端點時，∠AMB最大；越近于長軸端點，∠AMB越小，于是有橢圓C上存在點M滿足∠AMB=120°，只要∠AMB≥120°即可.這種解決問題的方法主要運用合情推理,在平時數(shù)學(xué)問題解決中，我們往往自動化式應(yīng)用這種思維方式，而不是有意識地使用罷了.因此，合情推理是發(fā)現(xiàn)與探尋解決數(shù)學(xué)問題時首要的思考方式，具有普遍適用性.

二、看似容易需真功

面對選擇題，一般我們先通過對比篩選，在其中的兩個答案中選出正確答案而今年命題人不愿給我們這個機會，非要考考你的真本事.

【例2】(2017·全國卷Ⅰ理·10)已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為

( )

A．16 B．14

C．12 D．10

當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時等號成立，|AB|+|CD|的最小值為16，故選A.

由解法一，知k2x2-2k2x-4x+k2=0,

≥4×(2+2)=16.

作準(zhǔn)線的垂線段AM，作x軸的垂線段AH，由拋物線的幾何性質(zhì)，

得|AF|=|AM|=|NH|=|NF|+|FH|=2+|AF|cosθ,

【評析】拋物線的焦半徑、焦點弦問題，通常利用拋物線定義轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線的距離解決較方便；也可看作交點弦問題，通過直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理求弦長，這也是通法.而最值問題通常要用函數(shù)方法或基本不等式來解決,都是通性通法.

三、縝思細算，顯智慧

2017全國卷數(shù)學(xué)解析幾何問題，看似起點不高，似曾相識，但完整解決問題并不容易.整體上看，與往年相比對學(xué)生運算求解能力、思維能力要求明顯提高了.

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

(Ⅱ)分析發(fā)現(xiàn)問題應(yīng)是直線與圓錐曲線關(guān)系問題，通常我們設(shè)l的方程，然后與曲線方程聯(lián)立，再應(yīng)用韋達定理解決.當(dāng)涉及直線斜率時，要注意考慮斜率是否存在.于是我們分兩種情況討論.

當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+n(n≠1),A(x1,y1),B(x2,y2)，

得(1+4k2)x2+8knx+4n2-4=0,

又因為n≠1,所以n=-2k-1,Δ=-64kgt;0,

只要klt;0即可.

于是直線l的方程為y=kx-2k-1,

即y=k(x-2)-1,

所以直線l過定點(2,-1).

安徽省淮北市杜集區(qū)教育局教研室)