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    巧妙賦值判斷函數(shù)零點(diǎn)問題

    2017-12-14 07:17:40安徽張同語
    關(guān)鍵詞:賦值表達(dá)式零點(diǎn)

    安徽 張同語

    巧妙賦值判斷函數(shù)零點(diǎn)問題

    安徽 張同語

    函數(shù)零點(diǎn)問題是近年來高考數(shù)學(xué)試題中的重要的熱點(diǎn)題型,在這類題型中常常涉及函數(shù)的零點(diǎn)存在性的判斷問題,如何運(yùn)用零點(diǎn)存在定理進(jìn)行合理賦值,以判斷出函數(shù)的零點(diǎn)的存在性呢?本文從以下幾方面進(jìn)行探討:

    一、通過適當(dāng)賦值使函數(shù)表達(dá)式中的某些項變成常數(shù)

    【例1】已知函數(shù)f(x)=ax-ln(x+1),g(x)=ex-x-1,曲線y=f(x)與y=g(x)在原點(diǎn)處的切線相同.

    (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

    (Ⅱ)當(dāng)x≥0時,g(x)≥kf(x),求k的取值范圍.

    解:(Ⅰ)略.

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知,當(dāng)x=0時,f(x)取最小值0,故f(x)≥0,即ln(x+1)≤x,從而ex≥x+1.

    (ⅱ)當(dāng)klt;1時,因為f(x)≥0,所以f(x)≥kf(x),由(ⅰ)知g(x)-f(x)≥0,所以g(x)≥f(x)≥kf(x),故g(x)≥kf(x).

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    綜上,實數(shù)k的取值范圍為(-∞,1].

    二、通過適當(dāng)賦值使得函數(shù)表達(dá)式可提取參數(shù)

    【例2】設(shè)agt;1,函數(shù)f(x)=(1+x2)ex-a.

    (Ⅰ)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

    (Ⅱ)證明f(x)在(-∞,+∞)上僅有一個零點(diǎn).

    解:(Ⅰ)因為f′(x)=2xex+(1+x2)ex,x∈R,所以對于任意x∈R,都有f′(x)≥0且不恒為0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間.

    三、通過適當(dāng)賦值使得函數(shù)表達(dá)式變多項為單項

    (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

    (Ⅱ)當(dāng)m≥0時,討論f(x)與g(x)的圖象的交點(diǎn)個數(shù).

    解:(Ⅰ)略.

    綜上所述,函數(shù)F(x)有唯一零點(diǎn),即兩函數(shù)圖象總有一個交點(diǎn).

    本文所述三種賦值策略在判斷函數(shù)零點(diǎn)存在問題中,有著較為廣泛的應(yīng)用,并且易于理解,思路也較為自然順暢,希望讀者能夠觸類旁通,提高解題思維的有效性.

    安徽省五河縣第一中學(xué))

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