多余觀測數(shù)對方差分量估計結(jié)果的影響分析

何思源

(中鐵第一勘察設(shè)計院集團有限公司，陜西西安 710043)

理論上來說，利用各種方差分量估計算法推算觀測值的方差都只能是近似的逼近，多余觀測數(shù)越少，所得到的近似逼近效果就越差。當(dāng)多余觀測數(shù)過少時，就會出現(xiàn)方差或協(xié)方差為負(fù)的情況。因此，足夠的多余觀測是確保估值可靠性的前提。姚一斌[11]等總結(jié)出測量平差問題中不同觀測條件、不同圖形條件下必要觀測值數(shù)量確定的通用公式，但是沒有給出方差分量估計意義下多余觀測數(shù)對精度的影響；汪曉慶[10]討論了方差分量估計中必要多余觀測數(shù)與精度指標(biāo)的關(guān)系，指出當(dāng)方差分量估值的中誤差小于方差分量自身數(shù)值的1/2時精度較好，必要多余觀測數(shù)考慮取20，并通過實驗進行了驗證，但是對參數(shù)小于2時未做研究；在方差分量估計的實際應(yīng)用中，受各種環(huán)境條件的限制，采集到的數(shù)據(jù)量是有限的。同時，過多的多余觀測會增加一定的工作量，影響工作效率。因此，制定評判多余觀測數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)十分重要。

既然多余觀測數(shù)決定著方差分量估計結(jié)果的可靠性，那么多余觀測數(shù)為多少時才適合采用方差分量估計，還沒有明確的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。首先引入多余觀測數(shù)對方差分量估計結(jié)果影響的評定參數(shù)，通過實驗，統(tǒng)計這一參數(shù)隨著多余觀測數(shù)的減少所呈現(xiàn)出的變化趨勢，得出相應(yīng)的結(jié)論。

1 方差分量估計中的精度評定

在所有的以最小二乘為估計準(zhǔn)則的平差問題中，不論采用何種平差方法，單位權(quán)方差的估值公式均可以表示為

(1)

式中，VTPV為觀測值殘差向量關(guān)于權(quán)陣P的二次型。df為自由度，也就是多余觀測數(shù)。根據(jù)廣義傳播定律，并顧及E(V)=0和式(1)，可得單位權(quán)中誤差估值的方差為

(2)

這里略去式(2)右邊求跡部分的推導(dǎo)過程，直接給出的方差

(3)

這說明，多余觀測數(shù)越多，單位權(quán)方差的估值就越可靠。

對方差分量估值的精度，需要給出明確的評定標(biāo)準(zhǔn)。下面僅以Helmert型方差分量估計為研究對象，介紹其精度評定公式的推導(dǎo)過程。對于只含有兩類相互獨立觀測值的間接平差，其Helmert方差分量估計的模型為

(4)

其中：

a=n1-2tr(N-1N1)+tr(N-1N1)2

b=tr(N-1N1N-1N2)

c=n2-2tr(N-1N2)+tr(N-1N2)2

(5)

(6)

設(shè)

(7)

(8)

2 評定參數(shù)

為了能夠準(zhǔn)確地描述多余觀測數(shù)對方差分量估計結(jié)果的影響，定義評定參數(shù)為

(9)

式中

(10)

(11)

方差分量估計公式(4)中系數(shù)矩陣S的所有元素之和為

S11+S12+S21+S22=

n1-2tr(N-1N1)+tr(N-1N1)2+

2tr(N-1N1N-1N2)+n2-2tr(N-1N2)+tr(N-1N2)2=

n1+n2-2tr(N-1(N1+N2))+

tr(N-1N1N-1(N1+N2))+tr(N-1(N1+N2)N-1N2)=

n-2tr(N-1N)+tr(N-1N1)+tr(N-1N1)=

(12)

r為多余觀測數(shù)，又因為

故評定參數(shù)與多余觀測數(shù)有關(guān)。

3 實驗實例

3.1 實驗描述

模擬一個邊角網(wǎng)的觀測數(shù)據(jù)，分別對比在不同多余觀測數(shù)下，方差分量計算結(jié)果的精度以及計算效率。

如圖1所示，設(shè)計一個邊角網(wǎng)，給定P1，P2，P3，P4縱橫坐標(biāo)的真值，如表1所示。由坐標(biāo)真值反算出任意兩點間的精確距離，以四個控制點中的任意點為測站點，反算出三個方位角的精確值，其值如表2所示。于是得到一個多余觀測最多(共6個距離，12個方位角)的大地四邊形控制網(wǎng)數(shù)據(jù)。

圖1 模擬邊角網(wǎng)[14]

點名坐標(biāo)/mXYP1100100P2100200P3200195P419397

已知P1點的橫縱坐標(biāo)以及P2點的橫坐標(biāo)，P2點的縱坐標(biāo)以及P3、P4點的橫縱坐標(biāo)待估。假設(shè)距離和方位角觀測值的方差未知，數(shù)據(jù)的處理采用Matlab R2010b，模擬1000次觀測數(shù)據(jù)，每次給距離和方位角的精確值加入期望為0、標(biāo)準(zhǔn)差分別為2″和10 mm的正態(tài)分布隨機噪聲。通過每一次模擬出的觀測值，利用極坐標(biāo)法求出P4、P3點的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)以及P2點橫坐標(biāo)的近似值，然后按間接平差的方法列出誤差方程，進行平差計算(接下來用到的所有分析數(shù)據(jù)都由本實驗提供)。

表2 模擬數(shù)據(jù)距離和方位角

3.2 實驗結(jié)果分析

采用模擬邊角網(wǎng)實驗數(shù)據(jù)，每次給方位角和距離觀測值分別加入期望值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為2″和10 mm的正態(tài)分布隨機噪聲。該邊角控制網(wǎng)中必要觀測數(shù)為5。

圖2～圖6顯示，多余觀測數(shù)越少k越大，中誤差估值精度越低。 圖2和圖3分別為方向、距離k值與多余觀測數(shù)之間1 000次試驗的結(jié)果。從圖2可以發(fā)現(xiàn)，多余觀測數(shù)為5時(即必要多余觀測數(shù))方向k值較大，均值為1.314，且在1 000次實驗中波動很大；當(dāng)多余觀測數(shù)為8時，k值明顯減小，均值約為0.7，且在1 000次實驗中較為穩(wěn)定，該結(jié)果與多余觀測數(shù)為9時十分接近；隨著多余觀測數(shù)增加，k趨于穩(wěn)定，當(dāng)多余觀測數(shù)為13時，k值均值約為0.5。從圖2、圖3可以發(fā)現(xiàn)，距離k值呈現(xiàn)明顯的聚類現(xiàn)象，即多余觀測數(shù)為5、8為一類；多余觀測數(shù)為9、10、11為一類；多余觀測數(shù)為12、13為一類，對應(yīng)的k值分別為0.75、0.64、0.58。當(dāng)多余觀測數(shù)為第一類時，k值波動較大；當(dāng)多余觀測數(shù)為第二類時，k值顯著減小且趨于穩(wěn)定；當(dāng)多余觀測數(shù)為第三類時，k值為0.58，且波動很小。

圖2 方位角觀測值的方差估值的評定參數(shù)的統(tǒng)計結(jié)果

圖3 距離觀測值的方差估值的評定參數(shù)的統(tǒng)計結(jié)果

圖4 多余觀測數(shù)為13時方差分量估值的統(tǒng)計結(jié)果

圖5 多余觀測數(shù)為9時方差分量估值的統(tǒng)計結(jié)果

圖6 多余觀測數(shù)為5時方差分量估值的統(tǒng)計結(jié)果

從圖4～圖8可得，當(dāng)多余觀測數(shù)為5時，估值精度較低，當(dāng)多余觀測數(shù)為9時，估值精度得到了顯著提高，并且與多余觀測數(shù)為13時的結(jié)果十分接近。

為了進一步分析多余觀測數(shù)與k值的關(guān)系，通過計算得到k值均值以及k值相對減小的百分比，如圖8及表3所示。由圖8可知，多余觀測數(shù)對方向k值影響較大，當(dāng)多余觀測數(shù)為5時，k均值為1.314，當(dāng)多余觀測數(shù)為8時，k均值為0.706，k均值相對減小了46.3%，當(dāng)多余觀測數(shù)大于10時，k值幾乎不變；從圖8來看，多余觀測數(shù)對距離k值影響相對較小。從表3可以看到，多余觀測數(shù)為9時比多余觀測數(shù)為8減小了11.2%，多余觀測數(shù)為12時比多余觀測數(shù)為11減小了8.9%。

圖7 多余觀測數(shù)為13和9時中誤差估值的散點圖

圖8 多余觀測數(shù)為13和5時中誤差估值的散點圖

圖9 K值均值與多余觀測數(shù)關(guān)系

文獻[10]指出，方差分量估值的中誤差小于方差分量自身數(shù)值的1/2時，估值結(jié)果精度較好，此時多余觀測數(shù)為20；考慮成本、效率等各種因素，這樣的要求很難達到。圖3顯示，距離k具有明顯的分類現(xiàn)象，當(dāng)多余觀測數(shù)為9時，方向k值為0.707、距離k值為0.644，并且其估值精度相對于5時得到了顯著地提高；當(dāng)多余觀測數(shù)為13時，方向、距離k值為0.534，0.585，但是從圖4、圖5、圖7來看，其精度提高不顯著。通過函數(shù)擬合，得到k均值與多余觀測數(shù)的函數(shù)關(guān)系，如圖9所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，當(dāng)多余觀測數(shù)為9時，函數(shù)在此處斜率最大，即k值顯著減小，隨著多余觀測數(shù)增加，曲線趨平；通過圖7、圖8可以發(fā)現(xiàn)，多余觀測數(shù)為9時中誤差估值散點圖與13時幾乎一致，相對于多余觀測數(shù)為5時精度得到顯著提升；綜合考慮精度、效率等因素，認(rèn)為在本算例中多余觀測數(shù)取9，即k取0.7為宜。

表3 多余觀測數(shù)與k 值關(guān)系

可以得到以下結(jié)論：

(1)多余觀測數(shù)從13減少到5時，方差分量估計結(jié)果在一次解算中具有隨機性，方位角和距離中誤差的估值與模擬精度一致；多余觀測數(shù)越少，估計結(jié)果就越離散。

(2)多余觀測數(shù)從13減少到5時，方位角觀測值方差估值的評定參數(shù)由0.54附近變化到1.41附近，距離觀測值方差估值的評定參數(shù)由0.58附近變化到1.40，即隨著多余觀測數(shù)的減少，k值逐漸增大。

(3)在不同等級控制網(wǎng)的數(shù)據(jù)平差處理中，可以選取一個合適的評定參數(shù)k作為衡量多余觀測數(shù)對方差分量估值影響的評判依據(jù)。在本算例中k的合適取值為0.7。

4 結(jié)束語

多余觀測數(shù)對方差分量估計的精度具有十分重要的影響。方差分量估值的精度隨著多余觀測數(shù)的減少而變差，當(dāng)多余觀測數(shù)過少時，所得方差分量的估值會出現(xiàn)負(fù)值；在平差處理中，如果要使用方差分量估計定權(quán)，為了保證結(jié)果的可靠性，必須具有足夠的多余觀測。