空間軌跡問題的一點(diǎn)研究

謝炳劍

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2017）04-069-01

平面解析幾何和立體幾何都是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容。平面解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究平面幾何圖形的幾何性質(zhì)；而立體幾何更多的是研究空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及其性質(zhì)。對(duì)于這兩幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)研究，并將其內(nèi)容加以綜合運(yùn)用，就會(huì)產(chǎn)生一類空間中動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題，這類問題也是兩種幾何問題一個(gè)完美結(jié)合的例子。以立體圖形為載體的軌跡問題，將立體幾何和解析幾何巧妙地整合在一起，立意新穎，綜合性強(qiáng)，是新課程高考命題的一大趨勢。解答這類問題的關(guān)鍵是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，一般可從兩個(gè)方面考慮：一是利用曲線的定義，二是用解析法求出軌跡方程。

例1. 已知平面 平面 ，直線 ，點(diǎn) ，平面 、 間的距離為4，則在 內(nèi)到點(diǎn)P的距離為5且到直線 的距離為 的點(diǎn)的軌跡是（ ）

A. 一個(gè)圓 B. 兩條平行直線 C. 四個(gè)點(diǎn)D. 兩個(gè)點(diǎn)

簡析：如圖1，設(shè)點(diǎn)P在平面 內(nèi)的射影是O，則OP是 、 的公垂線，OP=4。在 內(nèi)到點(diǎn)P的距離等于5的點(diǎn)到O的距離等于3，可知所求點(diǎn)的軌跡是 內(nèi)在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓上。又在 內(nèi)到直線 的距離等于 的點(diǎn)的集合是兩條平行直線m、n，它們到點(diǎn)O的距離都等于 ，所以直線m、n與這個(gè)圓均相交，共有四個(gè)交點(diǎn)。因此所求點(diǎn)的軌跡是四個(gè)點(diǎn)，故選C。

點(diǎn)評(píng)：本題以空間直線與平面的位置關(guān)系為依據(jù)，研究平面解析幾何的點(diǎn)的軌跡問題，立意新穎，構(gòu)思巧妙，是深入考查學(xué)生思維能力的上乘之作。

例2. 在四棱錐 中， 面PAB， 面PAB，底面ABCD為梯形，AD=4，BC=8，AB=6， ，滿足上述條件的四棱錐的頂點(diǎn)P的軌跡是（ ）

A. 圓 B.不完整的圓 C.拋物線 D.拋物線的一部分

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題目的信息，利用空間幾何性質(zhì)，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化到平面上，再利用解析幾何的方法探求軌跡是本題的閃光之處。

例3. 如圖2，定點(diǎn)A和B都在平面 內(nèi)，定點(diǎn)P C是 內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)。且 ，那么動(dòng)點(diǎn)C在平面 內(nèi)的軌跡是（ ）

A. 一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)B. 一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)C. 一個(gè)橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)D. 半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

簡析：因?yàn)?，且PC在 內(nèi)的射影為BC，所以 ，即 。所以點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的圓且去掉A、B兩點(diǎn)，故選B。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓、線面垂直的基本知識(shí)，利用線面垂直的條件，將空間問題轉(zhuǎn)化到平面上的圓的問題。

例4. 如圖3，在正方體 中，P是側(cè)面 內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P到直線BC與直線 的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是（ ）

A. 直線B. 圓 C. 雙曲線 D. 拋物線

簡析：因?yàn)镻到 的距離即為P到 的距離，所以在面 內(nèi)，P到定點(diǎn) 的距離與P到定直線BC的距離相等。由圓錐曲線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為拋物線，故選D。

點(diǎn)評(píng)：本題以立體幾何知識(shí)為載體，考查了圓錐曲線的概念等基礎(chǔ)知識(shí)，將拋物線的動(dòng)態(tài)定義寓于正方體之中，體現(xiàn)了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系和整合應(yīng)用。

問題反思：從解決問題過程中可以發(fā)現(xiàn)，解決幾何問題的一般方法無外乎是將幾何問題平面化，將平面幾何問題解析化（代數(shù)化），最終運(yùn)用解析幾何中求軌跡方程的常用方法求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。endprint