喝汽水引出的數(shù)學(xué)問(wèn)題

楊滋潤(rùn)

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2017）11-227-01

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一、發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題

大家一定有兒時(shí)喝那種“退瓶型”汽水飲料的經(jīng)歷吧。喝完了涼爽的汽水還能用空瓶換汽水繼續(xù)喝，那簡(jiǎn)直是炎炎夏日里的一種享受。如果沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)，那么這道小學(xué)時(shí)的奧林匹克數(shù)學(xué)題你應(yīng)該見(jiàn)到過(guò)：

現(xiàn)有10瓶汽水，每三個(gè)空瓶可以換一瓶新的汽水。問(wèn)總共能喝到多少瓶汽水呢？

我曾經(jīng)問(wèn)過(guò)不少人這道題，他們給的結(jié)果通常都是14瓶（先喝10瓶，用9空瓶換來(lái)3整瓶，喝3瓶，還有3+1=4個(gè)空瓶。然后用3個(gè)空瓶再換一整瓶，喝掉。最后剩下2個(gè)空瓶。共10+3+1=14瓶）

當(dāng)我提示他們剩下的兩個(gè)空瓶仍然能夠利用的時(shí)候，有些聰明人就給出了正確答案：借來(lái)一個(gè)空瓶，連同那剩下的兩個(gè)空瓶一起，換一整瓶，喝后把這個(gè)空瓶子還給人家。共喝了15瓶。

這就是這道題的正確答案。

最近我突然想到了這個(gè)問(wèn)題，它能不能被深入地推廣一下呢？

于是我就開(kāi)始了對(duì)這個(gè)論文題目的思考與研究。

二、建立數(shù)學(xué)模型

我列出了原有飲料瓶數(shù)和實(shí)際能喝到的瓶數(shù)的一些數(shù)據(jù)：

注意觀察：3、4 / 6、7 / 9、10 / 12、13

發(fā)現(xiàn)什么了嗎？根據(jù)不完全歸納的情況，我得到這樣一條重要的線索：當(dāng)原有偶數(shù)瓶飲料時(shí)，實(shí)際能喝到原來(lái)3/2倍瓶數(shù)的飲料。若原有奇數(shù)瓶，則實(shí)際喝到原來(lái)3/2倍瓶數(shù)取整的飲料。

但這只是不完全歸納，如何從正面直接推導(dǎo)呢？

三、數(shù)學(xué)模型的分析與問(wèn)題的解決

又經(jīng)過(guò)我細(xì)致的觀察，發(fā)現(xiàn)：只要是每有兩個(gè)空瓶，都可以運(yùn)用文章開(kāi)頭那種“借瓶子”的方法再喝一瓶飲料。這個(gè)發(fā)現(xiàn)太重要了。我可以這樣處理那些剩余的空瓶：分為兩個(gè)兩個(gè)一組，每一組等于一瓶“沒(méi)有瓶”的汽水（只可以喝，但不能得到空瓶）。這樣就可以正面對(duì)待問(wèn)題了。當(dāng)原有瓶數(shù)X為偶數(shù)時(shí)：先喝掉X瓶，然后把空瓶分為X/2個(gè)組，正好分完。每組又是一瓶。共喝掉X + X/2 = 3/2 X瓶。當(dāng)原有瓶數(shù)X為奇數(shù)時(shí)：先喝掉X瓶，然后把空瓶分為（X—1）/2個(gè)組，還剩一個(gè)空瓶，浪費(fèi)掉。共喝X +（X—1）/2= 3/2X-1/2瓶。其實(shí)和3/2 X取整之后結(jié)果是一樣的。這正驗(yàn)證了上文中不完全歸納得出的結(jié)論。通過(guò)這種思想，我們能不能進(jìn)一步再推廣呢？如果是4個(gè)、5個(gè)或更多空瓶換一瓶飲料，又會(huì)怎么樣呢？

四、數(shù)學(xué)模型的進(jìn)一步推廣

現(xiàn)有X瓶汽水，每Y個(gè)空瓶可以換一瓶新的汽水。問(wèn)總共能喝到多少瓶汽水呢？

由上文的推導(dǎo)過(guò)程來(lái)看，如果是Y個(gè)空瓶可以換一瓶飲料，那么每擁有（Y—1）個(gè)空瓶，就可以用借瓶子法得到一瓶飲料。所以當(dāng)喝完X瓶飲料得到X個(gè)空瓶之后，又能喝到 [X/（Y—1）]瓶飲料?？偣簿褪?[ X + X /（Y—1）] 瓶飲料。整理該式子，就得到了最后的結(jié)論：可以喝到 [ XY /（Y—1）] 瓶飲料。endprint