《二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象》教材分析

高淑云

數(shù)學(xué)教材是課程標(biāo)準(zhǔn)要求的具體化，也是課程實(shí)施的主要媒介。數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行課堂教學(xué)之前，首先要分析教材內(nèi)容，弄清教學(xué)內(nèi)容，挖掘教材編寫的特點(diǎn)和意圖，才能更好的實(shí)施課堂教學(xué)?！抖魏瘮?shù)的性質(zhì)與圖象》是人教B版《數(shù)學(xué)1》第二章第二節(jié)的內(nèi)容。下面我就就本節(jié)內(nèi)容加以分析。

1 例題分析

本節(jié)課共安排了3個(gè)例題。

例1：試述二次函數(shù)f（x）=x+4x+6的性質(zhì)，并作出它的圖象。

例2：試述二次函數(shù)f（x）=-x2-4x+3的性質(zhì)，并作出它的圖象

【意圖分析】

例1與例2兩道例題表述上一模一樣，但仔細(xì)分析內(nèi)容卻各有特點(diǎn)：

（1）二次項(xiàng)系數(shù)α：例1的α是一個(gè)正分?jǐn)?shù)，例2的α是一個(gè)負(fù)整數(shù)。

（2）方程f（x）=0的兩根：例1中的兩根為整數(shù)，作圖時(shí)描點(diǎn)很方便；例2中的兩根不是整數(shù)。

（3）圖像：例1開口向上，例2開口向下。

（4）列表描點(diǎn)作圖：充分體現(xiàn)了二次函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的特性。例1表中，關(guān)于直線x=-4左右對(duì)稱，間隔1取值；例2表中關(guān)于直線x=-2左右對(duì)稱，間隔1，0.5，0.15…。學(xué)生更加深刻體會(huì)到如果兩個(gè)自變量到對(duì)稱軸的距離相等，那么它們的函數(shù)值也相等。

（5）第一次使用記號(hào)ymax，ymin分別表示函數(shù)y=f（x）的最大值和最小值。

通過例1與例2的對(duì)比我們可以看出，教材充分體現(xiàn)了由易到難、由淺入深的編寫意圖，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。通過二次函數(shù)的二次項(xiàng)式系數(shù)的符號(hào)對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象的影響，培養(yǎng)學(xué)生觀察類比的數(shù)學(xué)思想，養(yǎng)成用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)看問題的習(xí)慣。同時(shí)充分利用數(shù)形結(jié)合思想較好地學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，并為學(xué)習(xí)函數(shù)零點(diǎn)埋下伏筆。進(jìn)而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“配方法”是研究二次函數(shù)的主要方法.熟練地掌握配方法是掌握二次函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵，對(duì)一個(gè)具體的二次函數(shù)，通過配方法就能知道這個(gè)二次函數(shù)的主要性質(zhì).由研究特殊的二次函數(shù)的過程可以讓學(xué)生進(jìn)一步明確了研究一般函數(shù)的方法，只有先對(duì)已知函數(shù)作適當(dāng)?shù)姆治?，然后才能更全面、更本質(zhì)地反映函數(shù)的性質(zhì)。

例3：求函數(shù)y=3x2+2x+1的值域和它的圖象的對(duì)稱軸，并說出它在哪個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)？在哪個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)？

【意圖分析】

（1）本題給出一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)大于0的二次函數(shù)，目的在于訓(xùn)練學(xué)生在例1、例2的基礎(chǔ)上達(dá)到靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的程度，使學(xué)生形成能力。

（2）進(jìn)一步強(qiáng)化了配方法，本例中盡管a>0但在配方時(shí)常數(shù)項(xiàng)易出錯(cuò)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確配方。

（3）通過對(duì)例題的分析與講解，使學(xué)生更直觀的理解二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，強(qiáng)化了二次函數(shù)的主要性質(zhì)：值域，對(duì)稱性，單調(diào)性。

2 習(xí)題分析

2.1 練習(xí)A

1）用配方法求下列函數(shù)的定義域、值域以及最大值或最小值：

（1）f（x）=x2+8x+3 （2）f（x）=5x2-4x-3

（3）f（x）=-x2+x+1 （4）f（x）=-3x2+5x-8

【意圖分析】

本題安排四個(gè)小題

（1）二次項(xiàng)系數(shù)α由小到大，由正到負(fù)，體現(xiàn)了從易到難，由淺入深編寫原則，同時(shí)強(qiáng)化鞏固了配方法；

（2）體現(xiàn)定義域優(yōu)先的原則，本題f（x）解析式是多項(xiàng)式形式，定義域是R；

（3）體現(xiàn)值域、最大值或最小值的區(qū)別，值域是函數(shù)值y的取值集合，表達(dá)方式是集合或者區(qū)間，最大（?。┲凳且粋€(gè)特殊的函數(shù)值，要求學(xué)生明確概念。通過求函數(shù)的最大（小）值也可以求出函數(shù)的值域，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系。

2）求下列函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并作出圖象，指出其單調(diào)區(qū)間。

（1）y=x2-5x+1 （2）y=-2x2+x-1

【意圖分析】

本題安排兩個(gè)小題

（1）二次項(xiàng)系數(shù)a從正分?jǐn)?shù)到負(fù)整數(shù)，體現(xiàn)由易到難的原則；

（2）求對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，可采用兩種方法：配方法、公式法；

（3）先求對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，了解函數(shù)的基本性質(zhì)（對(duì)稱性），后作圖像使列表描點(diǎn)時(shí)更有目的性，能夠更全面、更本質(zhì)的反應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)；

（4）指出單調(diào)區(qū)間，培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力，并深刻體會(huì)單調(diào)性的定義，并從兩個(gè)小題深刻理解a>0及a<0對(duì)單調(diào)區(qū)間的影響。

3）已知函數(shù)y≤x2-x-2，利用函數(shù)的圖象，求y≤0時(shí)，x的取值范圍。

【意圖分析】

本題要求學(xué)生首先要會(huì)正確作圖、其次要會(huì)識(shí)圖，會(huì)從圖象上觀察y≤0時(shí)x的取值范圍。最后用圖，通過數(shù)形結(jié)合正確寫出答案，再一次體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

本題也體現(xiàn)了三個(gè)二次之間的關(guān)系，從而使學(xué)生初步會(huì)利用二次函數(shù)圖象及一元二次方程的根來求一元二次不等式的解集，為練習(xí)B埋下伏筆。

2.2 練習(xí)B

1）已知函數(shù)f（x）=x2-3x-；

（1）求這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；

（2）已知f=-，不用代入值計(jì)算，試求f；

（3）不直接計(jì)算函數(shù)值，試比較f-與f的大小。

【意圖分析】

（1）鞏固了配方法及二次函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)對(duì)稱軸為第二問奠定了基礎(chǔ)；

（2）通過具體數(shù)值驗(yàn)證了對(duì)稱性，到對(duì)稱軸的距離相等的兩個(gè)自變量的函數(shù)值相等；

（3）從第二問的函數(shù)值相等，引申到不等，再一次深刻體會(huì)到當(dāng)開口向上如何通過不直接計(jì)算函數(shù)值來比較兩個(gè)函數(shù)值大小的方法——只需比較每個(gè)自變量到對(duì)稱軸的距離即可，進(jìn)一步體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。

（2）已知函數(shù)，不用計(jì)算函數(shù)值，試比較的大小。endprint

【意圖分析】

從第一題的第3問，學(xué)生已經(jīng)初步掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性與比較二次函數(shù)值大小的方法；此題又進(jìn)一步強(qiáng)化這一知識(shí)點(diǎn)，明確解題步驟：求對(duì)稱軸——計(jì)算并比較兩個(gè)自變量到對(duì)稱軸的距離——數(shù)形結(jié)合給出結(jié)論。這里有相等，也有不等的情形，全面透徹的鞏固了這一性質(zhì)。

（3）用配方法求下列函數(shù)的定義域和值域：

（1）y=；（2）y=。

【意圖分析】

本題安排了兩個(gè)小題

（1）題目要求非常明確用“配方法”，從而進(jìn)一步熟練鞏固了配方法；

（2）求函數(shù)的定義域體現(xiàn)了定義域優(yōu)先的原則，求值域鞏固了二次函數(shù)最值的求法；

（3）求定義域需要列出一元二次不等式，這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，利用圖象寫出定義域、值域體現(xiàn)了三個(gè)二次之間的關(guān)系，同時(shí)也為必修5《一元二次不等式的解法》奠定了基礎(chǔ)；

（4）第二小題與第一小題相比有特殊的地方，本題的定義域是單元素集合，值域也是單元素集合，既有一般情形也有特殊情況，知識(shí)完善，結(jié)構(gòu)完整。

（5）根號(hào)下的二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a仍然由正到負(fù)，體現(xiàn)了先易后難的原則。

3 探索與研究

“探索與研究”欄目的設(shè)置絕對(duì)是一個(gè)亮點(diǎn)！它給學(xué)生搭建了一個(gè)探究創(chuàng)新的舞臺(tái)。

1）在同一坐標(biāo)系中，作函數(shù)y=x2，y=（x+1）2，y=（x-1）2，y=x2+1，y=x2-1的圖象，研究他們的圖象之間的關(guān)系。

【意圖分析】

（1）圖象之間的關(guān)系從特殊到一般，從具體到抽象。平移變換有兩種：橫向沿x軸平移，縱向沿y軸平移，通過此題學(xué)生可以總結(jié)出“左加右減，上加下減”的規(guī)律。

（2）滲透化歸的數(shù)學(xué)思想。復(fù)雜問題簡單化，借助同學(xué)們熟悉的y=x2的圖象，研究圖象之間的關(guān)系。

2）探索函數(shù)y=f（x）與y=f（x+a），y=f（x+a）+b，（a≠0，b≠0）的圖象之間的關(guān)系。

【意圖分析】

把問題1進(jìn)一步升華，有兩點(diǎn)抽象化：解析式、變換的單位，同時(shí)滲透了分類討論的思想。

3）二次函數(shù)y=ax2+bx+c=ax++

中的a，b，c對(duì)函數(shù)性質(zhì)與圖象各有哪些影響？

【意圖分析】

二次函數(shù)y=ax2+bx+c有三個(gè)待定系數(shù)，其中每個(gè)系數(shù)既有分工又有協(xié)作，認(rèn)真剖析a，b，c的作用。a——開口方向及大小、b——奇偶性、a、b——對(duì)稱軸、c——與y軸交點(diǎn)的位置。

4）分別作函數(shù)y=和y=的圖象。

【意圖分析】

（1）本題函數(shù)是解析式為分式的函數(shù)圖象問題，可以用描點(diǎn)法作圖，但是有一定的難度。在這里是要求同學(xué)采用圖象變換法作圖。

（2）先求定義域然后利用圖象變換作圖，第一小題可轉(zhuǎn)化為熟悉的y=（見教材P48-例2）的圖象。

（3）第二小題，需要先分離出常數(shù)，y=1+，然后可轉(zhuǎn)化為y=的圖象。利用圖象的平移變換得到所需圖象。進(jìn)一步鞏固了函數(shù)圖象變換的作圖方法，同時(shí)使前面總結(jié)的知識(shí)在結(jié)構(gòu)上得到了完善。

總之，通過以上分析我們可以清晰地看到編者的編寫意圖，真可謂是獨(dú)具匠心。作為普通的高中數(shù)學(xué)教師，我們要切實(shí)揣摩教材、研析教材，充分利用好教材這一寶貴資源，在教學(xué)中結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，適當(dāng)?shù)恼辖虒W(xué)資源，才能更好地提高教學(xué)成績。endprint