論高中數(shù)學教學解題方法的探究

祁山國寶

摘 要：掌握數(shù)學解題思想和解題方法，能夠極大的提高學生的解題能力和數(shù)學應用能力。本文首先討論了高中數(shù)學教學中常用的解題思想，并對這些解題思想所延伸的數(shù)學解題方法進行探究，為高中數(shù)學科目教師的教學活動的開展提供資料參考。

關鍵詞：高中數(shù)學；解題方法；解題思想；探究

一、 高中數(shù)學常用解題思想

1. 數(shù)形結合思想

數(shù)形結合是數(shù)學科目學習和研究的基本思想，數(shù)形結合在高中教學中的應用，包括以形助數(shù)和以數(shù)輔形兩個方面。以形助數(shù)，是指借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的關系，并以形為手段，數(shù)為目的，來完成對數(shù)學問題更為直觀的解答。以數(shù)輔形，就是指借助于數(shù)的精確性，來闡明某些圖形的性質，是以形為目的，以數(shù)為手段的一種數(shù)學思想。數(shù)形結合思想在高中數(shù)學中應用的關鍵，就是弄清楚數(shù)和形的關系，并把握好以數(shù)輔形和以形助數(shù)的要點，應用有效的技巧和方法，提高數(shù)學解題效率，并學會應用數(shù)形結合來解決數(shù)學問題。

2. 分類討論的思想方法

分類討論是一種化整為零與歸類整理類的解題思想，分類討論法能夠幫助學生以更加系統(tǒng)的形式，掌握數(shù)學知識，還能夠讓學生認清不同知識點之間的差別，從而幫助學生在遇到數(shù)學問題時，準確、靈活的選擇方法。分類討論思想方法在教學中的應用，主要是對于定理、概念的歸納，對公式和運算性質的運用。對于一些不確定的數(shù)量、不確定的圖形形狀或位置、不確定的結論等，也都可以用分類討論的方法研究并解決。

3. 函數(shù)與方程的思想方法

函數(shù)與方程同樣是數(shù)學學科中重要的方法與思想。這種數(shù)學思想從問題的數(shù)量關系入手，通過運用數(shù)學語言將問題中的條件轉化為數(shù)學模型，通過數(shù)學模型的推演和計算，最終解決問題。函數(shù)涉及的知識點多，更是高考的重點考點。教師在日常教學中，要教會學生使用函數(shù)思想，并能夠將數(shù)學問題轉化為函數(shù)和方程，最終解決問題。

4. 等價轉化思想與方法

等價轉化方法，在高中數(shù)學函數(shù)、幾何等方面都有所應用，該方法就是將未知的問題轉化為已知可解的問題和模型，來解決數(shù)學問題的一種方法。教學中，教師要加強對學生問題轉化意識的培養(yǎng)，提高學生的數(shù)學應變能力。讓學生學會如何在數(shù)學學習中和解題中應用轉化思想，對提高學生思維能力和解題技巧十分重要。

二、 高中數(shù)學教學中常用的解題方法

高中數(shù)學中，所有具體的解題方法，都是建立在上述數(shù)學思想之上的。教師在教學中，一定要加強對學生數(shù)學思想的培養(yǎng)，并以此為基礎，讓學生能夠掌握一些有效的、科學的解題方法和技巧。在高中數(shù)學科目教學中，經常涉及的解題方法包括配方法、換元法、待定系數(shù)法、定義法、數(shù)學歸納法、參數(shù)法、反證法、消去法、分析與綜合法等。

1. 配方法

配方是對數(shù)學等式或不等式進行定向變形的方法，該方法在二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式等討論與求解中經常用到。配方法最常用的配方依據(jù)包括二項完全平方公式、正弦、余弦定理等。

【例1】 設非零復數(shù)a、b滿足a2+ab+b2=0，求aa+b1998+ba+b1998。

該題目是一道難度較高的代數(shù)題，在該題目的解題中，可以采用替換法。解題思路為：已知a、b為非零復數(shù)，因此可以將等式a2+ab+b2=0兩邊同時除以b2，整理得到ab2+ab+1=0，將ab當做整體帶入，得到ab3等于1，將該結果帶入算式，最終得到結果。

2. 換元法

在解數(shù)學問題時，我們可以將數(shù)學問題中的某個式子當做一個整體，用變量來替代，從而實現(xiàn)問題的簡化。

【例2】 △ABC的三個內角A、B、C滿足：A+C=2B，1cosA+1cosC=-2cosB，求cosA-C2的值。

本題目可以運用三角換元的方法解決，由已知條件可得到A+C=2B，根據(jù)三角形內角和等于180度的性質，可以得到A+C=120°，換元，整理后可以得到cosA-C2的值。本題目在解答時，還可以用1cosA+1cosC=-22進行均值換元，并結合三角形公式變形換算來得到答案。不同的換元方式，只要思路正確，可以用于對計算結果的驗證。這種驗證方法準確度更高，教師可以引導學生學會這種驗證方式，以提高學生解題正確率。

3. 待定系數(shù)法

待定系數(shù)法能夠用于分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、在復數(shù)、解析幾何中求曲線方程等問題中，待定系數(shù)法通過運用變量間的函數(shù)關系，并根據(jù)所給的已知條件，來解決數(shù)學問題。待定系數(shù)法在應用時，首先要確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式，并根據(jù)恒定條件列出含待定系數(shù)的方程，最后通過解方程組和消去待定系數(shù)，解決問題。

【例3】 設橢圓中心在（2，-1），橢圓的一個焦點與短軸兩端連線相互垂直，并且此焦點與長軸較近的端點距離為10-5，求橢圓的方程。

本題目在解題時，首先要設a、b、c的值，通過垂直關系式和勾股定理，來建立橢圓方程，并將焦點與長軸較近端點的距離轉化為a-c，最后列出第二個方程。解題思路具體為，先設方程所需要的未知數(shù)，并將幾何條件轉化為方程，最后求解，并用系數(shù)帶入方程，最后得到答案。

4. 定義法

顧名思義，定義法就是直接運用數(shù)學定義來解題，在定義法中，包括定理、公式、性質和法則等，都是揭示數(shù)學邏輯關系的工具。定義作為數(shù)學知識的精華，更是完成數(shù)學解題活動的基礎。在定義法的運用中，需要學生能夠了解定義所代表的含義和其在具體數(shù)學問題中的應用方法。

【例4】 求過定點M（1，2），以x軸為準線，離心率為 1/2 的橢圓定點下的軌跡方程。

本題目是一道關于橢圓和圓錐曲線的題目，在解答本題目時，只要抓住圓錐曲線的統(tǒng)一定義，就能夠得到|AF|d=12并建立方程，再運用離心率定義構建另外一個方程。本題目在解題過程中，需要按照曲線軌跡方程的求解步驟，分析曲線上動點所滿足的條件。在解題中需要巧妙的運用橢圓的統(tǒng)一定義和離心率的定義。在具體的數(shù)學教學中，圓錐曲線的點、焦點、準線、離心率等，通常可以用定義法來解決，在解題中經常會用到橢圓、雙曲線、拋物線等定義。

5. 數(shù)學歸納法

在高中數(shù)學教學和解題中，經常遇到的數(shù)學歸納法包括完全歸納和不完全歸納兩種方法。但不完全歸納法只適用于解題，在數(shù)學推理論證中應用是不科學的。教師在教學中，要注意兩種歸納法的講解，并讓學生明確數(shù)學歸納法兩種不同歸納方法的特點和應用。教師在關于代數(shù)不等式、自然數(shù)n有關的恒等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題和整除性問題的解決中，可以教學生使用數(shù)學歸納法。

綜上所述，除上述經典的常用解題方法外，在高中數(shù)學解題中還會用到諸如參數(shù)法、反證法、消去法、分析與綜合法等解題方法，不同的解題方法適用于不同的題型。只有讓學生得到數(shù)學解題方法和數(shù)學理論思想掌握水平的雙提高，才能夠在提高學生解題速度和正確率的同時，實現(xiàn)對學生數(shù)學綜合應用能力的培養(yǎng)，最終在讓學生更自如應對考試的同時，能夠得到數(shù)學綜合應用能力的提升。

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