基于轉(zhuǎn)化思想的高中數(shù)學(xué)解題分類總結(jié)

楊雯

摘 要：轉(zhuǎn)化思想也稱為歸化思維，它是將復(fù)雜和未知的問題，通過歸集、聯(lián)想、方向等各種途徑轉(zhuǎn)化為簡單和已知知識(shí)的組合，精髓在于化繁為簡。轉(zhuǎn)化方法主要有變量和常量轉(zhuǎn)化、正與反轉(zhuǎn)化、等與不等轉(zhuǎn)化、數(shù)與形轉(zhuǎn)化、一般與極端轉(zhuǎn)化。一般而言，在解決數(shù)學(xué)題時(shí)，轉(zhuǎn)化都是等價(jià)的，也就是轉(zhuǎn)化前和轉(zhuǎn)化后的必須是同一個(gè)問題的兩面，例如正與反的轉(zhuǎn)化必須是前后互斥，不能互相干擾。而一些不等價(jià)的轉(zhuǎn)化通過修正能夠幫助我們解決一些異常復(fù)雜的問題。無論哪一種轉(zhuǎn)化方法，一方面需要對(duì)問題進(jìn)行正確觀察和梳理，另一方面需要對(duì)簡單知識(shí)進(jìn)行熟練掌握。因此，轉(zhuǎn)化思維能力不僅需要加強(qiáng)常識(shí)和簡單知識(shí)的掌握，還需要培養(yǎng)沉著冷靜的心理素質(zhì)。本文首先概述了轉(zhuǎn)化思想的意義和本質(zhì)，并對(duì)轉(zhuǎn)化方法的類別進(jìn)行總結(jié)，最后提出訓(xùn)練轉(zhuǎn)化思維能力的措施建議。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化思想；解題；分類；總結(jié)

一、 引言

高中數(shù)學(xué)體系復(fù)雜多變，它不僅以小學(xué)和初中的知識(shí)為基礎(chǔ)，本階段的知識(shí)點(diǎn)更需要大量的時(shí)間和精力去理解和掌握。對(duì)于課業(yè)繁重的高中階段學(xué)生而言，如果沒有一套高效的工具，很難輕松地在高中數(shù)學(xué)以及其他各科之間游刃有余。轉(zhuǎn)化思維作為一個(gè)普遍使用的思維方法和工具，能夠幫助學(xué)生更高效地解決數(shù)學(xué)難題。轉(zhuǎn)化思維是將較為復(fù)雜的問題，通過觀察梳理，經(jīng)過歸類變形、替代、反向、拆分等手段，將交錯(cuò)或者難懂的關(guān)系形態(tài)轉(zhuǎn)化為區(qū)塊分明、條理清晰的已知知識(shí)的組合和關(guān)聯(lián)。轉(zhuǎn)化不是隨機(jī)或者碰運(yùn)氣，它需要科學(xué)理解問題為前提。一個(gè)數(shù)學(xué)難題，可能有多重解題方法，正是由于一開始轉(zhuǎn)化的方法選擇不同，才有了最終的殊途同歸。當(dāng)然，其中有拐彎，有一點(diǎn)即通。其區(qū)別也正是在于前提觀察分析是否透徹。只有經(jīng)過不斷地訓(xùn)練和遭遇各種各樣的問題，并且能夠從不同角度去思考，才能快速地識(shí)別問題來源和類型，從而匹配最有效的轉(zhuǎn)化方法。

二、 高中數(shù)學(xué)解題的轉(zhuǎn)化方法

在運(yùn)用轉(zhuǎn)化思維解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，并沒有統(tǒng)一的模式和套路，它因每個(gè)人看問題習(xí)慣以及擅長的領(lǐng)域而不同，例如有人對(duì)圖形很敏感，那么他會(huì)習(xí)慣于進(jìn)行數(shù)和形的轉(zhuǎn)化；也有人對(duì)公式熟悉，那么他能夠很輕松地發(fā)現(xiàn)數(shù)與數(shù)之間的關(guān)聯(lián)。轉(zhuǎn)化思想具有靈活性和多樣性，它隨著個(gè)人對(duì)知識(shí)掌握的全面深刻程度的提高而更加具有效力。在解決高中數(shù)學(xué)問題時(shí)，常用的轉(zhuǎn)化方法有以下幾種：

正與反之間的轉(zhuǎn)化。很多數(shù)學(xué)問題從正面去觀察，答案將不是唯一的數(shù)值，例如求解f（x）=4x2-ax+1在（0，1）內(nèi)具有至少一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，其系數(shù)的取值范圍。從正面看，該問題應(yīng)分三種情形，即左曲線相交，右曲線相交及兩邊相交。如果分類討論也可以解決該問題，但是效率將大大降低。但是運(yùn)用正與反的轉(zhuǎn)化方法，從問題的反面也就是沒有實(shí)數(shù)根的情形入手，那么只有一種情形，而其答案的方面正好是原問題的結(jié)論。正與反之間的轉(zhuǎn)化本質(zhì)在于，能夠找到與問題相對(duì)，或者互補(bǔ)的另一面。

一般和特殊之間的轉(zhuǎn)化。對(duì)于答案是確定數(shù)值的問題，可以運(yùn)用一般和特殊之間的轉(zhuǎn)化。一般情況成立，那么特殊情形也將成立。例如對(duì)于兩個(gè)確定確數(shù)關(guān)系的變量，可以通過帶入兩個(gè)常數(shù)來代替，這也是常量和變量之間轉(zhuǎn)化的一種形式。但對(duì)于答案一個(gè)固定值的問題，則不能用一般和特殊之間的轉(zhuǎn)化。

數(shù)與型之間的轉(zhuǎn)化。很多數(shù)量關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為圖形，尤其是在求解出關(guān)鍵交點(diǎn)后，可以利用圖形的規(guī)律來理解數(shù)量之間的關(guān)系。圖形更加直觀，通過觀察圖形的規(guī)律，還能夠找到更加快捷的解決問題的途徑。例如求解f（x）=2-cos2x-4asinx的最大值和最小值，直接對(duì)函數(shù)進(jìn)行處理比較困難。由于三角函數(shù)曲線具有特定的形狀和趨勢，因此可以考慮將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即找到關(guān)鍵的交點(diǎn)。通過轉(zhuǎn)化可得y=1-2a2+2（sinx-a）2，由于sinx的值在-1和1之間，是一個(gè)相對(duì)確定的區(qū)間。因此可以僅對(duì)a進(jìn)行分類討論，從而得出不同情形下的最大值和最小值。

陌生與已知的轉(zhuǎn)化。陌生與已知之間的轉(zhuǎn)化是轉(zhuǎn)化思想最為核心的邏輯，無論問題是否有一個(gè)明確的結(jié)論，都可以將其從最復(fù)雜的狀態(tài)分解到完全透徹或者相對(duì)可以理解的階段。例如平行四邊形有ABCD四個(gè)角，其中相鄰兩角A、B是4∶5的關(guān)系，求四邊形的每一個(gè)角的度數(shù)。雖然這個(gè)問題一眼看不出每個(gè)角的度數(shù)，但是我們知道平行四邊形有兩個(gè)特征，一是兩組對(duì)角相等，二是兩個(gè)相鄰角相加等于180度。從而可以算出A角的度數(shù)為80度，B角的度數(shù)為100度，C角的度數(shù)為80度，D角為100度。

以上幾種轉(zhuǎn)化方案具有的共同特點(diǎn)是，將未知的問題，逐步轉(zhuǎn)化為已知或者已經(jīng)解決的問題的組合，甚至是常識(shí)問題。而這個(gè)轉(zhuǎn)化的過程不是隨機(jī)和碰運(yùn)氣的，它需要遵循一定的原則，這些原則也是能夠幫助一些對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢固或者思維比較定勢的學(xué)生，減少隨機(jī)轉(zhuǎn)化帶來的困擾。

三、 運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解題是應(yīng)遵循的原則

由于數(shù)學(xué)問題形式的多樣性和靈活性，我們要科學(xué)地選擇轉(zhuǎn)化的方向和路徑，應(yīng)避免生搬硬套例題，最終的考核中以及生活中，我們不可能全都遇到完全一樣的問題。在聯(lián)系數(shù)學(xué)解題時(shí)，我們應(yīng)遵循熟悉化、標(biāo)準(zhǔn)化、簡單化、直觀化、有效化的原則。

熟悉化原則，就是將問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的知識(shí)來尋找突破口。如已知a，b都是實(shí)數(shù)，且a*平方根（1-b2）+b*平方根（1-a2）=1，求證：a2+b2=1。從問題表面看，a，b都是變量，且無法通過等式變化歸集到結(jié)論。但我們很明顯可以觀察到，a*平方根（1-b2）和 b*平方根（1-a2）有一個(gè)我們很熟悉的不等式，即a*平方根（1-b2）≤1/2*{a2+（1-b）2}和b*平方根（1-a2）≤1/2*{b2+（1-a）2}，進(jìn)而得到a*平方根（1-b2）+b*平方根（1-a2）≤1，而由題目已知a*平方根（1-b2）+b*平方根（1-a2）=1，則可判斷要使得等式成立，必有a=平方根（1-b2）且 b=平方根（1-a2），即a2+b2=1。因此，在遇到復(fù)雜問題時(shí)，需要自己觀察問題屬于哪一塊知識(shí)，進(jìn)而聯(lián)想與之相關(guān)的已知知識(shí)。

簡單化原則，就是將問題通過歸類、分割等方式進(jìn)行簡化，而不是按部就班或者混亂顛倒地糾纏于各種關(guān)系之間。我們?nèi)粘Ｉ钪幸矔?huì)遇到很多最為簡單的分類統(tǒng)計(jì)的問題，例如三種不同長度的一堆筷子共有1000根需要分類清點(diǎn)數(shù)量，那么最快方法就是將其一端對(duì)齊，從而很快能夠進(jìn)行分類。然后找一個(gè)寬度固定的盒子將分好的筷子層層疊起來對(duì)齊，最后算下每層多少根，總共幾層即可。這比起一根根撿和數(shù)起來要高效很多。很多數(shù)學(xué)問題以及日常中遇到的問題，表面都被很多迷霧遮擋，或者有意繞了一個(gè)彎子，實(shí)際上進(jìn)行梳理和拆分，就能夠看到問題各個(gè)因子之間的關(guān)系本質(zhì)。對(duì)于高中數(shù)學(xué)問題，簡單化的方式主要有從分式到整式、從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式等等。

數(shù)形結(jié)合原則，對(duì)于比較抽象的問題，通過作圖可以轉(zhuǎn)化為比較直觀的幾何關(guān)系，以便準(zhǔn)確把握問題的求解過程。例如對(duì)于三開的衣柜門尺寸計(jì)算，已知櫥柜總寬度3米，內(nèi)部空間均分為3塊，左右各有相等寬度抽屜拉出。三塊移門不僅要求關(guān)閉時(shí)互相重疊2厘米不能有空隙，還要求三者左右移動(dòng)并且不阻礙抽屜拉出。對(duì)于這樣抽象的問題描述，很難直接寫出數(shù)量關(guān)系式，而直接作圖能夠很直觀地觀察移門不同位置下所需要的數(shù)值。數(shù)形轉(zhuǎn)化的用途很廣，能夠解決生活和工作中的大量疑難問題，對(duì)轉(zhuǎn)化思維的鍛煉很有幫助。

對(duì)于以上幾個(gè)原則，不能教條式地執(zhí)行，而需要結(jié)合自己的經(jīng)驗(yàn)和觀察能力，針對(duì)不同類型的問題，巧妙地運(yùn)用。而個(gè)人經(jīng)驗(yàn)和觀察能力的培養(yǎng)，則是一個(gè)漫長積累的過程，需要從小就從家庭、學(xué)校和自我內(nèi)心持續(xù)性地強(qiáng)化。

四、 轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng)方法

轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)是化繁為簡：抽絲剝繭的過程。它被運(yùn)用在數(shù)學(xué)解題中能夠幫助我們更具有邏輯思維，培養(yǎng)我們養(yǎng)成一種良好的解決問題的思維習(xí)慣和應(yīng)變能力。但是在日常教學(xué)中，老師盡管每天都在灌輸轉(zhuǎn)化思想，不斷地對(duì)解題進(jìn)行剖析，但絕大部分學(xué)生還是很難真正掌握，更不用說運(yùn)用到其他學(xué)科以及日常生活和未來的工作中?？梢娹D(zhuǎn)化思想需要從小就進(jìn)行系統(tǒng)性的訓(xùn)練，本文認(rèn)為可以從以下幾個(gè)方面來促進(jìn)學(xué)生轉(zhuǎn)化思維能力的提高：

首先，應(yīng)從小幼兒開始培養(yǎng)主動(dòng)思考和交流的能力。轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用必須以冷靜的心態(tài)和活躍的思維為基礎(chǔ)，尤其是高中數(shù)學(xué)紛繁復(fù)雜的知識(shí)體系，更需要學(xué)生在極端的時(shí)間內(nèi)冷靜而快速地找到解決辦法。一直以來，我們的教育主要以灌輸式為主，即老師講套路式的教學(xué)內(nèi)容按部就班地“移交”給學(xué)生；在家中，家長在與孩子交流和討論時(shí)，也是指令式地傳遞知識(shí)和觀念。學(xué)生無論是在遇到課本中問題還是日常生活中的問題時(shí)，都缺少分析問題的能力，只會(huì)按部就班地去已被告知的案例中尋找答案。一旦題目稍加轉(zhuǎn)化或者遇到全新的題型，就很難找到突破口。而國外教育的領(lǐng)先之處在于，家長和幼兒老師在孩子小時(shí)候就建立起平等的交流關(guān)系，充分發(fā)揮孩子主動(dòng)思考和探索的主動(dòng)性，因此我們能夠看到國外的小孩子在與人對(duì)話時(shí)邏輯性很強(qiáng)，而且思維很發(fā)散。

其次，基礎(chǔ)知識(shí)必須牢牢掌握。數(shù)學(xué)之所以是學(xué)生感到最為頭疼的學(xué)科之一，是因?yàn)閺哪憬佑|它的一開始就必須一點(diǎn)一滴地積累，從最簡單的數(shù)字、關(guān)系、圖形到函數(shù)、級(jí)數(shù)、向量等。后面學(xué)習(xí)的知識(shí)必須以前面的為基礎(chǔ)，如果基礎(chǔ)打得不牢固，就會(huì)在理解新知識(shí)和問題時(shí)受到非常大的制約。轉(zhuǎn)化思維的精髓在于化繁為簡，但前提是學(xué)生必須知道什么是簡單。如果連最簡單的知識(shí)點(diǎn)都沒有理解或者熟練掌握，那么在短時(shí)間里解題時(shí)，就很難會(huì)想到某一個(gè)突破口。因此，轉(zhuǎn)化思維的訓(xùn)練，必須從小學(xué)和初中開始。在原有的教學(xué)范圍里，加入一些超年級(jí)的內(nèi)容，然后讓學(xué)生自己運(yùn)用本階段已學(xué)習(xí)的知識(shí)或者自己從課外學(xué)習(xí)到的技能去解決，將能夠更好地強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思維能力，同時(shí)也帶來一定的成就感。

最后，加強(qiáng)在生活中的知識(shí)運(yùn)用。轉(zhuǎn)化思維不僅可以用于數(shù)學(xué)題的解答，它更是生活和工作中核心的工具。遇到任何問題，都需要冷靜對(duì)待和閱讀，讀出問題的來源、聯(lián)系、本質(zhì)等，才能通過各種工具和經(jīng)驗(yàn)，甚至是創(chuàng)造性的嘗試，去有步驟、有條理地拆分問題，解決問題。在日常生活中，我們無時(shí)無刻不在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，如果能夠不斷地思考如何通過快捷的方式，更好地去解決，那將是轉(zhuǎn)化思維最為生動(dòng)的應(yīng)用，也是數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練為我們帶來的終極能力。

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