數(shù)形結合思想在解題中的應用

李萌

摘 要：數(shù)形結合在數(shù)學中是經常使用的一種方法，通過將數(shù)學中的常用問題和相應的圖形關聯(lián)起來，將十分抽象的問題變得更加的形象化，讓問題能夠更容易被理解，因此在數(shù)學的解題過程中十分的受到歡迎。并且很多難題在使用了數(shù)形結合的方法以后能夠解得更加簡單，使得問題更加容易被解決。但是數(shù)形結合在具體的應用過程中還有很多的學生沒有掌握其具體的思想，因此本文主要對于如何將數(shù)形結合的思想應用到解題中進行了分析。

關鍵詞：數(shù)形結合；解題；應用

一、 數(shù)形結合

所謂的數(shù)形結合，就是將數(shù)和形之間的關系很好地結合到一起，通過將兩者之間進行轉化很好地來解決數(shù)學問題，使得問題變得更加的容易解答。由于數(shù)學中的一些問題往往使用概念來表示一定的數(shù)量，而圖形則是對于文字語言的一種解釋，能夠將數(shù)學中使用語言表示的一些十分不容易被理解的概念清楚地表示出來，便于學生加深對于題目的理解從而更好地解題。數(shù)學中很多問題都需要使用數(shù)形結合的思想進行解答，例如對于三角函數(shù)的圖形的特征的學習，對于向量的概念以及相關的內容的講解，對于立體幾何部分的所有內容講解幾乎都離不開數(shù)形結合的思想的應用。并且使用數(shù)形結合的思想來解答一些選擇或者填空題，能夠減少很多復雜的計算以及推理，使得解題過程變得更加的簡單，給學生節(jié)約下很多時間。

二、 應用要求

要想使用數(shù)形結合的思想來解題，那么首先必須掌握數(shù)與圖之間的關系，這樣才能夠進行下一步的計算。然而就算有一些學生清楚地知道數(shù)形結合之間的關系，由于不會畫圖的原因依舊難以進行正確的解題。因此，學生需要加強對于作圖的 訓練，在作圖能力培養(yǎng)的基礎上進行數(shù)形結合思想的應用。

數(shù)形結合的思想大多數(shù)會用在函數(shù)解題以及立體結合中，對于函數(shù)解析來說，首先學生需要熟悉的了解函數(shù)的性質，這是解題的開始也是關鍵所在，而怎么把數(shù)與形之間的關系很好地結合起來并且根據(jù)不同的題目進行靈活的應用才是其關鍵所在。對于一些基礎知識較差的學生而言，把這些抽象的思想形象的表達出來是很困難的，因此老師應該鍛煉學生在練習的時候多畫草圖，形成使用數(shù)形結合進行解題的習慣，在解題的時候不是單純的死記硬背，而是有目的地進行思考。

除了對于畫圖方面的訓練，老師還應該鍛煉學生對于圖像的識別能力，在識圖的過程中加強對于數(shù)形結合的思想的應用，使得學生能夠盡量的識別出圖像的特征，并且能夠通過這些特征進一步的說出其相關的性質，這對于學生加強對于函數(shù)的性質的理解有著十分重要的作用。

其實數(shù)形結合不但是一種常用的思想，更是一種解題的經典的方法，通過把抽象的數(shù)學知識轉化成具體的圖像并且把二者很好地聯(lián)系起來，然后根據(jù)圖形來對問題進行分析以及解決，是一種很好地方式，但是要想達到這樣的目的，學生還需要具有數(shù)形結合的思想，在看到相關的數(shù)學題的時候能夠直接的想到使用圖像來解決問題，因此這種思想的培養(yǎng)也是很重要的，在講解的過程中老師需要引導學生逐漸的形成這種思想，這樣學生才能夠更好的去應用。

對于一些應用題，很多學生感覺無從下手。老師應該在講解的時候引導學生構造函數(shù)，并且在構造函數(shù)之后將其轉化成相應的圖形，這樣使用數(shù)形結合的思想能夠很好地解決相關的問題，使得問題變得更加的直觀，降低了題目的難度，學生在解題的時候也會減少錯誤的幾率。

三、 例題解析

（一） 一元二次方程

題目：對于這樣一個一元二次方程x2+2kx+3K=0，它的兩個根在-1和3之間，求解k的值。

思想：對于這樣一道函數(shù)題，如果單純的采用數(shù)的方式進行解析其計算量是比較大的，并且十分不利于學生的理解，如果該題采用數(shù)形結合的方式進行解析，那么問題的難度會大大的降低。因此，首先可以令一元二次方程f（x）=x2+2kx+3K，那么這個函數(shù)與x軸的兩個交點就應該是原方程的2個根，即兩個交點的橫坐標在-1和3之間，并且由于a的值是1，因此該圖像的開口方向應該向上，所以可以根據(jù)這些分析畫出該函數(shù)的大致圖像，如圖1所示。那么如果需要達到題目的要求，根據(jù)該圖像可以知道，只需要使得f（-1）=k+1>0，與此同時還需要滿足條件f（3）=9k+9>0即可。并且根據(jù)圖像還可以知道條件，該一元二次方程的對稱軸應該處于-1和3之間，即-b/2a=-k在-1與3之間。根據(jù)這些條件，很容易求得-1

圖1 一元二次方程f（x）=x2+2kx+3K的圖形

（二） 一元二次函數(shù)

題目：有這樣一個函數(shù)f（X）=x2+2（a-2）+4，如果對于一些的x∈R，都有f（x）>0恒成立，求解實數(shù)a的取值范圍。

思想：對于該函數(shù)而言，直接的求解而不畫圖像也可以，但是很容易由于一些思想上的偏差而求解錯誤，因此使用數(shù)形結合的方式求解是比較好的一種方式。首先，畫出該函數(shù)的大致圖形如圖2所示。其中，該函數(shù)的對稱軸為x=2-a，開口方向向上。根據(jù)該函數(shù)圖像可以知道如果該函數(shù)時刻大于0，那么意味著該函數(shù)與x軸始終都沒有交點，這就是最低點始終大于0.該函數(shù)的最低點則是橫坐標為x=2-a的點，因此將這一點代入保證f（2-a）>0即可。

圖2 函數(shù)f（X）=x2+2（a-2）+4圖像

四、 結論

本文首先介紹了數(shù)形結合的思想，然后在此基礎上提出了將數(shù)形結合的思想進行具體的應用需要注意的一些問題，最后通過舉例說明了如何在實際的應用中使用數(shù)形結合的思想，希望起到一些參考價值。

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