轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用

陳聯(lián)煌??

摘要：高中數(shù)學(xué)中一項(xiàng)啟發(fā)學(xué)生思維，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)用能力的重要思想就是化歸思想?；瘹w即轉(zhuǎn)化與歸結(jié)，學(xué)生遇到弄不明白的數(shù)學(xué)難題，通過觀察和思考，轉(zhuǎn)化為自己清楚的問題，從而找到答題思路。本文筆者簡要介紹了化歸思想在教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：思想方法；數(shù)學(xué)問題；轉(zhuǎn)化化歸；提高解決

轉(zhuǎn)化與化歸思想被笛卡爾稱為“萬能解題法”，在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)知識領(lǐng)域都能看到它的身影，在解題中有著廣泛的應(yīng)用。這種方法的本質(zhì)就是把學(xué)生弄不清楚的問題換一種思路考慮，轉(zhuǎn)化成學(xué)生已經(jīng)知道如何解決的問題，使問題的解決呈現(xiàn)“柳暗花明”的格局，使得問題得以圓滿解決。高中學(xué)生經(jīng)過一定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對化歸思想也有所了解，并在運(yùn)用中增強(qiáng)了體會，但是這種簡單的運(yùn)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維這項(xiàng)教學(xué)目標(biāo)的要求。合理運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，不僅能快捷解決問題，還能讓學(xué)生豐富數(shù)學(xué)知識儲備，掌握更多母題。

一、 化歸思想的運(yùn)用原則

1. 熟悉化原則。學(xué)生遇到一道陌生的數(shù)學(xué)問題，首先要通過自己的觀察，在演草紙上列舉自己找出的條件，尋找條件間的聯(lián)系和指向的問題，然后在自己的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)和解題經(jīng)驗(yàn)中搜索是否有與這道題類似或有聯(lián)系的地方，將從未謀面的這道題熟悉化。

2. 簡單化原則。一道復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題，必然可以通過分析，理清問題的多個(gè)層次，每個(gè)層次提出的問題目標(biāo)都找到對應(yīng)的解答，只要大腦不混亂，掌握多條思維線的走向，必然可以掌控問題全局，做到有條不紊。這樣的過程將復(fù)雜的難題拆分為多個(gè)簡單的數(shù)學(xué)問題，從而簡化問題，降低難度。

3. 直觀化原則。高中數(shù)學(xué)很多塊知識都考察學(xué)生的抽象思維能力，學(xué)生要學(xué)會把抽象的問題直觀化思考。如遇到立體幾何的問題，可以靈活建立空間直角坐標(biāo)系，將復(fù)雜的立體幾何劃分為立體空間內(nèi)的多個(gè)平面的代數(shù)問題，如果空間想象能力較弱，可以在演草紙上列舉各個(gè)關(guān)鍵面幫助理解。

二、 轉(zhuǎn)化與化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

使用轉(zhuǎn)換與化歸思想時(shí)，要保持清晰的思路，注意轉(zhuǎn)化的方向性明確，同時(shí)避免受到固有思維模式的限制，理不清楚解題思路就換一換想法，保持一定的應(yīng)變能力。如解函數(shù)、方程、不等式時(shí)，分析給出條件的邏輯架構(gòu)和形態(tài)特點(diǎn)，在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間靈活轉(zhuǎn)化；解應(yīng)用題或探究實(shí)踐類問題時(shí)，要學(xué)會把題目給出的文學(xué)語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，把題目的要求化歸為代數(shù)問題。因化歸思想的靈活性和多樣性，在解題時(shí)要發(fā)揮主觀能動性，先吃透這道題要考查的知識點(diǎn)，再靈活選擇轉(zhuǎn)化的方法，提高解題的水平和能力。

1. 轉(zhuǎn)化與化歸的思想在函數(shù)中的應(yīng)用

化歸思想的應(yīng)用是很常見的，學(xué)生都體會不到使用了化歸思想就快速得出了結(jié)果，如對解析式進(jìn)行運(yùn)算或化簡都屬于化歸思想的運(yùn)用。例如計(jì)算，已知2（log12x）2+5 log12x-3≤0，求函數(shù)f（x）=（log2x）2+log64x-5的值域。此題原條件通過化簡可以整理為一個(gè)以log2x為自變量的一元二次不等式，設(shè)log2x為t，可以把原條件的不等式化簡并求出t的解集，同理f（x）可以化簡為一元二次函數(shù)，即求f（x）=t2+6t-5的值域。高中數(shù)學(xué)中換元法非常常用，學(xué)生要在日常訓(xùn)練中強(qiáng)化換元法的運(yùn)用練習(xí)，根據(jù)題目的特征進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，把復(fù)雜的問題簡單化。

例1（廈門，壓軸填空題）解不等式f（x）=x2（ex+e-x）-（2x+1）2（e2x+1+e-2x-1）>0

解：本題是一個(gè)超越不等式，如果采用高中常規(guī)的方法直接去解幾乎無法實(shí)現(xiàn)。由式子的結(jié)構(gòu)特征采用轉(zhuǎn)化的思想，則很容易解決。

令g（x）=x2（ex+e-x）則 g（2x+1）=（2x+1）2（e2x+1+e-2x-1）

問題轉(zhuǎn)化為解不等到式g（x）>g（2x+1）且g（x）是R上的偶函數(shù)，在（0，+

SymboleB@ ）上單調(diào)遞增。

不等式變形為|x|>|2x+1|（x）2>（2x+1）2-1

這種解法把一個(gè)陌生的不等式由不熟悉變熟悉、由難變易，使問題“峰回路轉(zhuǎn)”，把一個(gè)看似高不可攀，幾乎無法解決的問題得以解決，大有脫胎換骨、化繭成蝶之效，體現(xiàn)了命題者獨(dú)具匠心，妙不可言。

2. 轉(zhuǎn)化與化歸思想在幾何中的應(yīng)用

轉(zhuǎn)化與化歸思想在幾何中的體現(xiàn)一般通過靈活構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，大膽作輔助線，使用分割、補(bǔ)形等解題技巧，實(shí)現(xiàn)圖形與圖形的相互轉(zhuǎn)化，降低問題的難度。如求小螞蟻在立體圖形上移動的路徑問題，可以考慮畫出立體圖形的平面展開圖，正確找出各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，自然可以輕松搞清楚立體幾何中不易覺察的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。有些問題雖然表面上看是代數(shù)問題，但仔細(xì)分析可以找出問題中存在的幾何關(guān)系，這種幾何關(guān)系可以幫助學(xué)生找到新的解題思路，如函數(shù)與圖像，曲線與方程，復(fù)數(shù)與運(yùn)算等知識點(diǎn)都包含數(shù)與圖形的聯(lián)系。

例：證明：三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線。

證明：本例由幾何方法直接證明并不容易，現(xiàn)我們改用解析法來證明。如圖，設(shè)定直角坐標(biāo)系，首先將原題中點(diǎn)、線關(guān)系映射成代數(shù)關(guān)系。即由A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)求得中點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，直線CH、CE、AH、PF和AF的方程，進(jìn)而求得三心P、G、H點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用代數(shù)關(guān)系，證明三點(diǎn)共點(diǎn)共線滿足的代數(shù)條件，最后將這一代數(shù)關(guān)系反演，便得出三點(diǎn)共線的結(jié)論。

RMI模式可以看作是一種“曲線救國”的轉(zhuǎn)化思想。

sinA1CA=AAA1C=33

三、 結(jié)語

轉(zhuǎn)化與化歸思想能幫助學(xué)生快速高效地解出很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。可是很多學(xué)生并不能靈活運(yùn)用化歸思想，仍然生搬硬套，模仿教師講評習(xí)題時(shí)的示范，誤打誤撞解出題來也不了解原理，這很影響學(xué)習(xí)效率。教師必須重視提高學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想的點(diǎn)播，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生找到高效的、適合自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

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