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    轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用

    2017-12-09 00:37陳聯(lián)煌??
    考試周刊 2017年29期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)問題思想方法

    陳聯(lián)煌??

    摘要:高中數(shù)學(xué)中一項(xiàng)啟發(fā)學(xué)生思維,增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)用能力的重要思想就是化歸思想?;瘹w即轉(zhuǎn)化與歸結(jié),學(xué)生遇到弄不明白的數(shù)學(xué)難題,通過觀察和思考,轉(zhuǎn)化為自己清楚的問題,從而找到答題思路。本文筆者簡要介紹了化歸思想在教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用。

    關(guān)鍵詞:思想方法;數(shù)學(xué)問題;轉(zhuǎn)化化歸;提高解決

    轉(zhuǎn)化與化歸思想被笛卡爾稱為“萬能解題法”,在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)知識領(lǐng)域都能看到它的身影,在解題中有著廣泛的應(yīng)用。這種方法的本質(zhì)就是把學(xué)生弄不清楚的問題換一種思路考慮,轉(zhuǎn)化成學(xué)生已經(jīng)知道如何解決的問題,使問題的解決呈現(xiàn)“柳暗花明”的格局,使得問題得以圓滿解決。高中學(xué)生經(jīng)過一定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),對化歸思想也有所了解,并在運(yùn)用中增強(qiáng)了體會,但是這種簡單的運(yùn)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維這項(xiàng)教學(xué)目標(biāo)的要求。合理運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想,不僅能快捷解決問題,還能讓學(xué)生豐富數(shù)學(xué)知識儲備,掌握更多母題。

    一、 化歸思想的運(yùn)用原則

    1. 熟悉化原則。學(xué)生遇到一道陌生的數(shù)學(xué)問題,首先要通過自己的觀察,在演草紙上列舉自己找出的條件,尋找條件間的聯(lián)系和指向的問題,然后在自己的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)和解題經(jīng)驗(yàn)中搜索是否有與這道題類似或有聯(lián)系的地方,將從未謀面的這道題熟悉化。

    2. 簡單化原則。一道復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題,必然可以通過分析,理清問題的多個(gè)層次,每個(gè)層次提出的問題目標(biāo)都找到對應(yīng)的解答,只要大腦不混亂,掌握多條思維線的走向,必然可以掌控問題全局,做到有條不紊。這樣的過程將復(fù)雜的難題拆分為多個(gè)簡單的數(shù)學(xué)問題,從而簡化問題,降低難度。

    3. 直觀化原則。高中數(shù)學(xué)很多塊知識都考察學(xué)生的抽象思維能力,學(xué)生要學(xué)會把抽象的問題直觀化思考。如遇到立體幾何的問題,可以靈活建立空間直角坐標(biāo)系,將復(fù)雜的立體幾何劃分為立體空間內(nèi)的多個(gè)平面的代數(shù)問題,如果空間想象能力較弱,可以在演草紙上列舉各個(gè)關(guān)鍵面幫助理解。

    二、 轉(zhuǎn)化與化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

    使用轉(zhuǎn)換與化歸思想時(shí),要保持清晰的思路,注意轉(zhuǎn)化的方向性明確,同時(shí)避免受到固有思維模式的限制,理不清楚解題思路就換一換想法,保持一定的應(yīng)變能力。如解函數(shù)、方程、不等式時(shí),分析給出條件的邏輯架構(gòu)和形態(tài)特點(diǎn),在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間靈活轉(zhuǎn)化;解應(yīng)用題或探究實(shí)踐類問題時(shí),要學(xué)會把題目給出的文學(xué)語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,把題目的要求化歸為代數(shù)問題。因化歸思想的靈活性和多樣性,在解題時(shí)要發(fā)揮主觀能動性,先吃透這道題要考查的知識點(diǎn),再靈活選擇轉(zhuǎn)化的方法,提高解題的水平和能力。

    1. 轉(zhuǎn)化與化歸的思想在函數(shù)中的應(yīng)用

    化歸思想的應(yīng)用是很常見的,學(xué)生都體會不到使用了化歸思想就快速得出了結(jié)果,如對解析式進(jìn)行運(yùn)算或化簡都屬于化歸思想的運(yùn)用。例如計(jì)算,已知2(log12x)2+5 log12x-3≤0,求函數(shù)f(x)=(log2x)2+log64x-5的值域。此題原條件通過化簡可以整理為一個(gè)以log2x為自變量的一元二次不等式,設(shè)log2x為t,可以把原條件的不等式化簡并求出t的解集,同理f(x)可以化簡為一元二次函數(shù),即求f(x)=t2+6t-5的值域。高中數(shù)學(xué)中換元法非常常用,學(xué)生要在日常訓(xùn)練中強(qiáng)化換元法的運(yùn)用練習(xí),根據(jù)題目的特征進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,把復(fù)雜的問題簡單化。

    例1(廈門,壓軸填空題)解不等式f(x)=x2(ex+e-x)-(2x+1)2(e2x+1+e-2x-1)>0

    解:本題是一個(gè)超越不等式,如果采用高中常規(guī)的方法直接去解幾乎無法實(shí)現(xiàn)。由式子的結(jié)構(gòu)特征采用轉(zhuǎn)化的思想,則很容易解決。

    令g(x)=x2(ex+e-x)則 g(2x+1)=(2x+1)2(e2x+1+e-2x-1)

    問題轉(zhuǎn)化為解不等到式g(x)>g(2x+1)且g(x)是R上的偶函數(shù),在(0,+

    SymboleB@ )上單調(diào)遞增。

    不等式變形為|x|>|2x+1|(x)2>(2x+1)2-1

    這種解法把一個(gè)陌生的不等式由不熟悉變熟悉、由難變易,使問題“峰回路轉(zhuǎn)”,把一個(gè)看似高不可攀,幾乎無法解決的問題得以解決,大有脫胎換骨、化繭成蝶之效,體現(xiàn)了命題者獨(dú)具匠心,妙不可言。

    2. 轉(zhuǎn)化與化歸思想在幾何中的應(yīng)用

    轉(zhuǎn)化與化歸思想在幾何中的體現(xiàn)一般通過靈活構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系,大膽作輔助線,使用分割、補(bǔ)形等解題技巧,實(shí)現(xiàn)圖形與圖形的相互轉(zhuǎn)化,降低問題的難度。如求小螞蟻在立體圖形上移動的路徑問題,可以考慮畫出立體圖形的平面展開圖,正確找出各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),自然可以輕松搞清楚立體幾何中不易覺察的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。有些問題雖然表面上看是代數(shù)問題,但仔細(xì)分析可以找出問題中存在的幾何關(guān)系,這種幾何關(guān)系可以幫助學(xué)生找到新的解題思路,如函數(shù)與圖像,曲線與方程,復(fù)數(shù)與運(yùn)算等知識點(diǎn)都包含數(shù)與圖形的聯(lián)系。

    例:證明:三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線。

    證明:本例由幾何方法直接證明并不容易,現(xiàn)我們改用解析法來證明。如圖,設(shè)定直角坐標(biāo)系,首先將原題中點(diǎn)、線關(guān)系映射成代數(shù)關(guān)系。即由A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)求得中點(diǎn)E、F的坐標(biāo),直線CH、CE、AH、PF和AF的方程,進(jìn)而求得三心P、G、H點(diǎn)的坐標(biāo),再利用代數(shù)關(guān)系,證明三點(diǎn)共點(diǎn)共線滿足的代數(shù)條件,最后將這一代數(shù)關(guān)系反演,便得出三點(diǎn)共線的結(jié)論。

    RMI模式可以看作是一種“曲線救國”的轉(zhuǎn)化思想。

    sinA1CA=AAA1C=33

    三、 結(jié)語

    轉(zhuǎn)化與化歸思想能幫助學(xué)生快速高效地解出很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。可是很多學(xué)生并不能靈活運(yùn)用化歸思想,仍然生搬硬套,模仿教師講評習(xí)題時(shí)的示范,誤打誤撞解出題來也不了解原理,這很影響學(xué)習(xí)效率。教師必須重視提高學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想的點(diǎn)播,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,幫助學(xué)生找到高效的、適合自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

    參考文獻(xiàn):

    [1]尹麗文.基于有效教學(xué)理念下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)策略研究——以教學(xué)情境、問題提問研究為例.學(xué)周刊,2013年11期.

    [2]黎灼輝.提高解決數(shù)學(xué)問題效率的思維策略——淺談臨界思想在數(shù)學(xué)教與學(xué)中的運(yùn)用,廣東職業(yè)技術(shù)教育與研究,2017年01期.

    [3]張煥煥.高中函數(shù)與方程思想方法學(xué)習(xí)現(xiàn)狀與教學(xué)滲透策略研究文獻(xiàn)綜述.亞太教育,2016年06期.

    [4]陳永龍.應(yīng)用“化歸”思想求由遞推式所確定的數(shù)列的通項(xiàng)公式.揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2015年02期.

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