淺析高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想

趙智霄??

摘要：本文闡述了數(shù)形結(jié)合的作用和應(yīng)用的基本原則，并在此基礎(chǔ)上，以數(shù)形結(jié)合在高中三角函數(shù)、集合和解方程中的應(yīng)用為例，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法進(jìn)行實(shí)例分析，以期對(duì)高中生將數(shù)學(xué)問題化難為易、化繁為簡以及今后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有所裨益。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)方法

一、 數(shù)形結(jié)合的含義

“數(shù)形結(jié)合”是一種思想，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。其實(shí)質(zhì)是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，以直觀輔助抽象的思考，以抽象研究直觀的細(xì)節(jié)，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。

二、 數(shù)形結(jié)合思想的作用

（一） 培養(yǎng)學(xué)生思維能力的靈活性和形象性

有些數(shù)學(xué)題，當(dāng)其僅以數(shù)的形式來陳述時(shí)，常常顯得復(fù)雜、抽象，而通過合理地觀察、聯(lián)想，由形助數(shù)，提示形與數(shù)的潛在聯(lián)系，可以幫助理解問題的本質(zhì)，增強(qiáng)思維能力在解題中靈活性和形象性程度。

（二） 促進(jìn)高中、大學(xué)階段數(shù)學(xué)知識(shí)的有效銜接

數(shù)形結(jié)合是一種極富數(shù)學(xué)特點(diǎn)的信息轉(zhuǎn)換。高中數(shù)學(xué)內(nèi)容和大學(xué)階段相比，簡單具體，解答過程雷同性較高；而大學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容則抽象性更強(qiáng)。因此，在進(jìn)入大學(xué)階段之前，學(xué)生需要一個(gè)相對(duì)適應(yīng)的學(xué)習(xí)過程。

（三） 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

數(shù)形結(jié)合能夠?qū)⒏咧姓n本中比較抽象的知識(shí)點(diǎn)形象化，以圖形的形式表現(xiàn)出來，有利于學(xué)生在這種較為新穎的解題方法上對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生特有的情感，進(jìn)而激發(fā)起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

三、 數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用原則

（一） 等價(jià)性原則

等價(jià)性原則是指“數(shù)”的代數(shù)性質(zhì)與“形”的幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換應(yīng)該是等價(jià)的。圖形不僅是一種直觀而淺顯的說明，同時(shí)也是抽象而嚴(yán)格證明的誘導(dǎo)，在數(shù)形結(jié)合的具體應(yīng)用過程中，一定要重視等價(jià)性原則。

（二） 雙向性原則

雙向性原則是指既對(duì)其進(jìn)行幾何圖形直觀的分析，又進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象的探索。代數(shù)關(guān)系的表示及運(yùn)算比幾何直觀的圖形結(jié)構(gòu)更具有優(yōu)越性，避免了幾何構(gòu)圖的許多局限性，反之圖形表示又更加直觀，這體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的和諧之處。

（三） 簡單性原則

簡單性原則是指數(shù)形轉(zhuǎn)換時(shí)盡可能使構(gòu)圖簡單合理，既使幾何圖形完整直觀，又使代數(shù)計(jì)算簡潔明了，避免復(fù)雜繁瑣的運(yùn)算，縮短解題實(shí)踐，降低難度，達(dá)到“化難為易、化繁為簡”的目的。

四、 高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

（一） 在三角函數(shù)中的應(yīng)用

【例1】求函數(shù)y=sinx2+cosx的最大值和最小值。

【解】y=sinx-0cosx-（-2）表示點(diǎn)P（cosx，sinx）與點(diǎn)A（-2，0）連線的斜率，而點(diǎn)P在單位圓上，

如上圖，過點(diǎn)A作單位圓的切線AB，AC，易知kAB=33，kAC=-33分別為斜率的最大值和最小值，所以函數(shù)y的最大值和最小值分別為33，-33。

【評(píng)析】分式函數(shù)的值域問題可以考慮用數(shù)形結(jié)合的斜率模型來解決，且在實(shí)際運(yùn)用時(shí)應(yīng)牢記動(dòng)點(diǎn)（asinα，acosα），（acosα，asinα）都表示圓。

（二） 在集合中的應(yīng)用

【例2】設(shè)A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，且x∈A}，C={z|z=x2，且x∈A}，若CB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

【解】∵y=2x+3在[-2，a]上是增函數(shù)，

∴-1≤y≤2a+3，即B={y|-1≤y≤2a+3}。

分別畫出題中A、B、C的圖像，如下圖所示：

z=x2的定義域右端點(diǎn)x=a有以下不同的位置：

①當(dāng)-2≤a≤0時(shí)，a2≤z≤4，即C={z|a2≤z≤4}，

要使CB，必須且只需2a+3≥4，得a≥12與 -2≤a<0矛盾。

②當(dāng)0≤a≤2時(shí)，0≤z≤4，即C={z|0≤z≤4}，

要使CB，由圖可知必須且只需 2a+3≥4，0≤a≤2，解得12≤a≤2。

③當(dāng)a>2時(shí)，0≤z≤a2，即C={z|0≤z≤a2}，

要使CB，必須且只需a2≤2a+3，a>2，解得2

④當(dāng)a<-2時(shí)，A=φ，此時(shí)B=C=φ，則CB成立。

綜上所述，a的取值范圍是（-∞，-2）∪12，3。

【評(píng)析】本題解決的關(guān)鍵是依靠一元二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法（結(jié)合二次函數(shù)的圖像）確定集合C，簡潔明了。

（三） 在解方程和不等式中的應(yīng)用

【例3】若方程lg（-x2+3x-m）=lg（3-x）在[0，3]上有唯一解，求m的取值范圍。

【解】原方程等價(jià)于：

-x2+3x-m>0，3-x>0，0≤x≤3，-x2+3x-m=3-x

-x2+3x-m>0，0≤x≤3，-x2+4x-3=m。

令y1=-x2+4x-3，y2=m在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出它們的圖像如下圖所示：

其中注意0≤x<3，當(dāng)且僅當(dāng)兩函數(shù)的圖像在[0，3）上有唯一公共點(diǎn)時(shí)，原方程有唯一解。由上圖可見，當(dāng)m=1或-3≤m≤0時(shí)，原方程有唯一解，因此m的取值范圍為[-3，0]∪{1}。

【評(píng)析】運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解方程時(shí)，需先將其作等價(jià)變形，使之簡化，再利用函數(shù)圖像的直觀性研究方程的解的情況。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合的思想方法作為數(shù)學(xué)思想方法的一個(gè)重要組成部分，在高中數(shù)學(xué)解題中發(fā)揮巨大的作用。當(dāng)我們求解一道題目時(shí)，如果思路受阻，可以嘗試從圖形的角度進(jìn)行解答，或許會(huì)得到意想不到的收獲。

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