利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)問題

李亞琴??

摘要：函數(shù)的單調(diào)性問題是每年高考的必考點(diǎn)，簡單的基本初等函數(shù)可以直接利用單調(diào)性定義解決，而較復(fù)雜的函數(shù)或者復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)解決會更方便快捷。所以我們對利用導(dǎo)數(shù)方法求解與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)問題進(jìn)行了歸納。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)

函數(shù)的單調(diào)性在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中對極值、最值以及最優(yōu)解的問題都起到關(guān)鍵性作用。命題中經(jīng)常與函數(shù)的其他性質(zhì)、方程、不等式交匯命題，且一般為含參的分式或指數(shù)、對數(shù)結(jié)構(gòu)。用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)問題會更方便快捷。解決單調(diào)性問題經(jīng)常會用到的數(shù)學(xué)思想有：分類討論思想、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等。函數(shù)單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)問題，題型考查大致可歸納為以下幾類：

一、 在圖像中的應(yīng)用——函數(shù)圖像可以直觀地刻畫函數(shù)的單調(diào)性

在定義域的子區(qū)間（a，b）上原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)是對應(yīng)的，

若在（a，b）上，f′（x）>0則f（x）單調(diào)遞增，

若在（a，b）上，f′（x）<0則f（x）單調(diào)遞減。

【例1】設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖像可能是下圖中的（）

【解析】由y=f（x）圖像知，函數(shù)先增，再減，再增，對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值，應(yīng)該是先大于零，再小于零，最后大于0。故選D。

【注】作為選擇題，不一定要像解答題那樣正面解答，排除法不失為一種簡單的方法，首先從函數(shù)的奇偶性排除B、D，再根據(jù)特殊值或者單調(diào)性排除C。

二、 在不等式中的應(yīng)用——在不等式中直接利用單調(diào)性解題

【例2】已知f（x）是R上的偶函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0）上f′（x）>0，且有f（2a2+a+1）

【解析】因為f（x）是R上的偶函數(shù)。

∵x∈（-∞，0）時f′（x）>0，則f（x）單調(diào)遞增，

∴x∈（0，+∞）時f′（x）<0，則f（x）單調(diào)遞減。

又∵2a2+a+1>0，

f（2a2+a+1）

2a2+a+1>3a2-2a+1>0，

∴0

三、 已知函數(shù)的解析式直接求函數(shù)的單調(diào)性或者單調(diào)區(qū)間（或證明單調(diào)性）

此類題解題步驟

第一步：確定函數(shù)y=f（x）的定義域；

第二步：求導(dǎo)函數(shù)y′=f′（x）；

第三步：令導(dǎo)函數(shù)f′（x）<0解不等式，解集在定義域內(nèi)部為單調(diào)遞減區(qū)間；

第四步：令導(dǎo)函數(shù)f′（x）>0解不等式，解集在定義域內(nèi)部為單調(diào)遞增區(qū)間。

易錯點(diǎn)：未考慮函數(shù)的定義域。

【例3】已知函數(shù)f（x）=x4-3x2+6，討論f（x）的單調(diào)性。

【解析】f′（x）=4x3-6x=4xx+62x-62，

令f′（x）>0得-6262；

令f′（x）<0得x<-62或0

因此，f（x）在區(qū)間-62，0和62，+∞為增函數(shù)；在區(qū)間-∞，-62和0，62為減函數(shù)。

四、 函數(shù)解析式中含有參數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性

此類題解題步驟

第一步：確定函數(shù)y=f（x）的定義域；

第二步：求導(dǎo)函數(shù)y′=f′（x）；

第三步：觀察f′（x）能否恒大于或等于0（或恒小于或等于0）嗎？如果是則求出參數(shù)取值范圍。討論開始，當(dāng)參數(shù)范圍以外取值時再分層討論；

第四步：參數(shù)的取值范圍不同，求導(dǎo)函數(shù)f′（x）<0，解集在定義域內(nèi)部為單調(diào)遞減區(qū)間，參數(shù)的取值范圍不同，求導(dǎo)函數(shù) f′（x）>0，解集在定義域內(nèi)部為單調(diào)遞增區(qū)間；

第五步：寫總結(jié)。

含參單調(diào)區(qū)間考試主要以兩種題型為主，①常數(shù)項或者一次項，②二次項系數(shù)含參。

注意：大多數(shù)導(dǎo)函數(shù)都會轉(zhuǎn)化為一個二次函數(shù)，因此討論函數(shù)單調(diào)性，就轉(zhuǎn)化為討論二次函數(shù)在某區(qū)間上的符號問題。

易錯點(diǎn)：參數(shù)分類討論的界限。

【例4】已知函數(shù)f（x）=13x3+x2+ax，討論f（x）的單調(diào)性。

【分析】題型是常數(shù)項或者一次項含參。

【解析】依題意可得f′（x）=x2+2x+a，

當(dāng)Δ=4-4a≤0即a≥1時，x2+2x+a≥0恒成立，故f′（x）≥0，所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)Δ=4-4a>0即a<1時，

f′（x）=x2+2x+a=0有兩個相異實(shí)根x1=-2-4-4a2=-1-1-a，x2=-1+1-a且x1

故由f′（x）=x2+2x+a>0x∈（-∞，-1-1-a）或x∈（-1+1-a，+∞），此時f（x）單調(diào)遞增，

由f′（x）=x2+2x+a<0-1-1-a

綜上可知：

當(dāng)a≥1時，f（x）在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<1時，f（x）在x∈（-∞，-1-1-a）和x∈（-1+1-a，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1-1-a，-1+1-a）單調(diào)遞減。

五、 已知函數(shù)的單調(diào)性——求參數(shù)的取值范圍

（1）在區(qū)間（a，b）內(nèi)，已知函數(shù)的單調(diào)性——轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題

第一步：直接利用函數(shù)的解析式求導(dǎo)；

第二步：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到不等式在區(qū)間（a，b）恒成立，即：

若函數(shù)f（x），在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增，則f′（x）≥0在（a，b）恒成立求解，

若函數(shù)f（x），在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減，則f′（x）≤0在（a，b）恒成立求解；

第三步：分離參數(shù)求（a，b）內(nèi)的最值，或者利用不等式求恒成立。

【例5】若f（x）=-12x2+bln（x+2）在（-1，+∞）上是減函數(shù)，則b的取值范圍是（）

A. [-1，+∞）B. （-1，+∞）

C. （-∞，-1]D. （-∞，-1）

【解析】f′（x）=-x+bx+2≤0在（-1，+∞）上恒成立，即b≤x（x+2）在（-1，+∞）上恒成立。

又x（x+2）=（x+1）2-1>-1，∴b≤-1，故選C。

（2）可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)存在單調(diào)區(qū)間——轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題

若函數(shù)f（x） 在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增，則f′（x）>0在（a，b）恒成立求解。

若函數(shù)f（x） 在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減，則f′（x）<0在（a，b）恒成立求解。

求解可以分離參數(shù)，或者利用函數(shù)圖像。

【例6】設(shè)函數(shù)f（x）=13x3-a2x2+1，函數(shù)g（x）=f（x）+2x，且g（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

【解析】∵g（x）=13x3-a2x2+2x+1，

g′（x）=x2-ax+2，

依題意，存在x∈（-2，-1），使不等式g′（x）=x2-ax+2<0成立。

當(dāng)x∈（-2，-1）時，a

點(diǎn)評：此題中因為存在，所以a不是小于最小值，而是最大值。

（3）在區(qū)間（a，b）上不單調(diào)，求參數(shù)取值范圍——依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理

若f（x）在[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，f（a）·f（b）<0，則f（x）在（a，b）上有唯一的零點(diǎn)。

解法一：求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），f′（x）在（a，b）上單調(diào)，且（a，b）有零點(diǎn)。

解法二：假設(shè)f（x）在（a，b）上單調(diào)則f′（x）≥0（或 f′（x）≤0）在（a，b）上恒成立，求出參數(shù)的取值范圍，再求出參數(shù)的補(bǔ)集。

【例7】已知函數(shù)f（x）=x2（x-a），若f（x）在（2，3）上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

【解析】∵f（x）=x3-ax2，

∴f′（x）=3x2-2ax=3xx-23a。

若f（x）在（2，3）上不單調(diào)，則有

2a3≠02<2a3<3，可得3