數(shù)學思維須從直觀向抽象邁進

崔小兵

【摘 要】所謂直觀，就是生命個體運用聽覺、視覺等直觀性方式，對客觀事物直接接觸而形成的感性認知。而所謂抽象，是從眾多具有共性事物中提煉出具有共同本質(zhì)特征的思維認知過程。小學階段，學生的思維正處于直觀向抽象轉(zhuǎn)變的過渡階段，任何一種偏向于直觀、抽象思維的認知，都會導致學生在思維過程中的混亂。因此，教師要善于從學生的思維特點入手，根據(jù)所教學的具體內(nèi)容，立足于思維認知的過渡階段，改進教學方法促進學生思維能力的不斷發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】實踐操作； 動態(tài)展示；深入想象； 邁向抽象

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2017）28-0040-02

心理學研究表明，生命個體對新事物的接受規(guī)律總是遵循從感性向理性的過程。這是學生思維的一般性規(guī)律。而所謂直觀，就是生命個體運用聽覺、視覺等直觀性方式，對客觀事物直接接觸而形成的感性認知。而所謂抽象，是從眾多具有共性事物中提煉出具有共同本質(zhì)特征的思維認知過程。小學階段，學生的思維正處于直觀向抽象轉(zhuǎn)變的過渡階段，任何一種偏向于直觀、抽象思維的認知，都會導致學生在思維過程中的混亂。因此，教師要善于從學生的思維特點入手，根據(jù)所教學的具體內(nèi)容，立足于思維認知的過渡階段，改進教學方法，促進學生思維能力的不斷發(fā)展。數(shù)學教學如果故步自封，始終停留在直觀層面，其目標就沒有達成；如果始終處于抽象層面，勢必會給學生的認知造成障礙。因此，借助直觀的方式呈現(xiàn)抽象的結(jié)論，理應成為數(shù)學教學的重要方法。

一、強化實踐操作，形成抽象結(jié)論

著名教育家烏申斯基說，兒童是借助動作、色彩和聲音進行思維的。對于一些相對直觀可感的知識，很多教師都意識到應該順應學生的認知思維，采用直觀性的方式引領(lǐng)學生進行學習。但如果教學過程中，教師只停留在現(xiàn)有的程度上，就會停滯不前。因此，我們應引領(lǐng)學生通過直觀性的實踐操作，歷練思維能力。在小學數(shù)學教學中，不完全歸納法使用頻率極高，但僅憑借極少數(shù)的案例就形成抽象的結(jié)論，并不符合數(shù)學學習的規(guī)律。如果運用完全歸納法或演繹法，顯然又不適用于小學生。那么有沒有二者兼顧的實踐方法呢？

一位教師在執(zhí)教“認識三角形”一課時，充分利用釘子板的教學給予了我們極大的啟示，可以在一般性相關(guān)的課堂中加以運用。在具體教學過程中，教師先在釘子板上圍成了一個底為5，高為4的三角形，引領(lǐng)學生利用三角形面積的計算公式直接口算出三角形的面積，然后以三角形的頂點為移動軌跡，不斷向右邊移動，相機將這個三角形轉(zhuǎn)變成仍舊為底5高4的其他形態(tài)的三角形，并組織學生逐一計算這些三角形的面積。學生計算幾個之后，干脆不算了。教師故意裝作一副不明就里的樣子，引領(lǐng)學生說說自己的理由。他們紛紛表示這些三角形的形狀雖然都在不斷發(fā)生變化，但不管怎樣變化，底邊是固定的，而高的距離也是相等的。所以，只要底邊不變，三角形的頂點始終在同一水平軌跡中，那所有三角形的面積完全相同，都是10平方厘米。教師則引領(lǐng)學生深入觀察，并追問這些三角形有著怎樣的聯(lián)系。在教學至此，教師并沒有鳴金收兵，而是在這樣的基礎上，引領(lǐng)學生以發(fā)展的眼光進行想象：這種同底同高的三角形一共有多少個？學生在把握了這些三角形的共性特征以及三角形面積的計算方式之后，得出了肯定的結(jié)論：這樣的三角形有無數(shù)個，且它們的面積都相等。

在教學這一內(nèi)容時，很多教師都會想到運用三角板的形式展開教學，主要是想借助三角板直觀可感的形式，將教學聚焦在學生的形象性思維上。但在這一案例中，教師并沒有將教學的關(guān)注點僅僅停留在形象化認知層面，而是引領(lǐng)學生由一點向一類推進?？此破胀ǖ囊粔K釘子板，教師充分運用了移動頂點的方式，引導學生先借助幾個三角形感受等底等高三角形的共性特征，最終引導學生得出了“個數(shù)無數(shù)，面積相等”的結(jié)論。教學方式直觀形象，促進了學生直觀思維向抽象思維的成功邁進。

二、借力動態(tài)演示，揭示抽象道理

從上述案例來看，教師的教學已經(jīng)非常出彩，但這并不意味著就已經(jīng)達成了這一教學方式所能達到的效果。筆者結(jié)合自己的教學實踐以為還有進一步提升的空間，即利用動態(tài)展示的方式向問題的本質(zhì)邁進。小學生的思維正處于直觀形象階段，具有動態(tài)特性的信息往往更能激發(fā)學生內(nèi)在的認知欲望，有助于學生在實踐操作、細致觀察的基礎上，感知現(xiàn)象，進行類比推理。

筆者在教學這一部分時，先是模仿了前面老師的教學，之后運用多媒體出示了一個直角三角形。這些三角形的面積由一條條長短不同的線段搭成（如下圖）。然后，教師運用多媒體課件將這些長度不同的線段向右平移不同的距離，分別形成底邊相同、高相同的三角形。圖中的四個三角形，雖然圖形的形狀已經(jīng)有所不同，但其虛線所占據(jù)的面積卻是相等的。但學生未必就能一下子看出這樣的特點，因此教師可以引領(lǐng)學生進行觀察：這些三角形的面積是否相等。學生在觀看了動態(tài)演示的過程中紛紛表示：這些三角形的面積絕對是相等的，因為他們都是由相同的線段組成的，只不過是這些線段的組合方法不一樣，但由于每個三角形所包含的線段完全相同，其面積也一定相等。

第一案例中的教學，教師更多使用的是歸納法，讓孩子在觀察、計算中感知“等底等高三角形面積相等”這一抽象的認知，讓學生的思維經(jīng)歷了思維本質(zhì)的發(fā)展與邁進。而本案例的教學則是另辟蹊徑，從面積概念的本質(zhì)上來感知“等底等高三角形面積相等”的成果，從而巧妙地向?qū)W生滲透微積分的思想，思維認知的方式有了改變，但對于學生思維的歷練卻有著重要的促進作用?？v觀這兩條教學路徑，都是在直觀演示之中，激發(fā)了學生內(nèi)在的認知欲望和想象力，填補了學生思維由直觀到抽象之間的認知空白。

三、聚焦深入想象，提煉抽象思路

隨著學生認知能力的不斷發(fā)展，其思維就已經(jīng)不能停留在固有的層面中，教師要引領(lǐng)學生在深入思考的中嘗試運用想象的方法進行猜測與印證，從而促進學生的思維能力逐步向深入層次邁進。想象是一種高端的思維認知方式，是生命個體對自己已經(jīng)積累的認知表象進行加工生成全新形象的一種心理過程。學生在學習數(shù)學時，想象在理解知識、形成結(jié)論的過程中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，而在運用知識解決問題的過程中，想象的作用同樣不可小覷。只有在想象中，學生才能窺探到其他人所不能發(fā)現(xiàn)的一些規(guī)律，真正促進自身核心能力的發(fā)展。endprint

如有這樣一道題：菜農(nóng)王伯伯有一塊菜地，這塊菜地的底邊長40米，高15米，王伯伯要在中間鋪設一條寬度為3米的不規(guī)則小路（如下圖1），你能求出菜地的面積嗎？很多學生在一開始沒有能夠讀懂題目的要求，無從下手。教師引領(lǐng)學生梳理題目中的數(shù)量關(guān)系，讓很多學生有了自己解決問題的基本策略。學生在思考之后，形成了兩種思路：第一，用菜地原本的面積直接減去中間小路的面積，這是一種常規(guī)性思維，同時也解決這一問題的必選動作；第二，有學生嘗試將不規(guī)則小路分割而成的兩個不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成為一個新的平行四邊形。此時，教師則充分利用多媒體課件的方式讓學生以直觀性的思維進行深入實踐，引領(lǐng)學生將這條不規(guī)則小路看成是一條條由長度不同的線段拼接而成的圖形（如圖2），從而通過平移的方式將其轉(zhuǎn)化為一個底3米、高15米的小平行四邊形（如圖3）。

想象意識是學生進行數(shù)學學習必須基本的一種能力，對于學生原始性的認知經(jīng)驗和水平有著較高的要求。沒有想象，學生的思維也只能停留在內(nèi)部僵硬機械的層面中。由這一案例可以看出，在運用知識解決生活中的實際問題，一方面要看學生的知識掌握程度，要尊重學生，摸清學生原始性的認知經(jīng)驗；而另一方面就需要學生具備良好的想象意識，將自己眼睛所觀察的事物，通過想象進行必要的加工與改造，從而將原本的問題巧妙地轉(zhuǎn)化為憑借現(xiàn)有的能力和方法能夠解決的問題，讓學生在這樣的思維認知階段歷練直覺思維意識。

總而言之，我們需要依循著學生的認知規(guī)律，進行直觀式教學，但絕不能將直觀作為數(shù)學課堂教學的最終歸宿。因此，教師就需要借助直觀操作、動態(tài)演示、想象拓展等多種方式，引領(lǐng)學生在直觀認知和抽象體驗之間不斷地游走，引領(lǐng)學生以直觀層面為基礎，最終促進學生抽象思維的發(fā)展。

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（編輯：趙 悅）endprint