基于Copula函數(shù)不同季度上證指數(shù)的相關(guān)性分析

姜瑩瑩，劉文瓊

（湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江湖州313000）

基于Copula函數(shù)不同季度上證指數(shù)的相關(guān)性分析

姜瑩瑩，劉文瓊

（湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江湖州313000）

借鑒Copula函數(shù)在尾部相關(guān)性研究的應(yīng)用理論，建立Copula函數(shù)模型，對(duì)不同季度上證指數(shù)的尾部相關(guān)性進(jìn)行研究，并利用上證指數(shù)進(jìn)行實(shí)證分析.結(jié)果顯示，各季度收盤(pán)價(jià)間有正尾部相關(guān)性.尾部相關(guān)性研究為風(fēng)險(xiǎn)量化管理提供了一種新途徑.

Copula函數(shù)；最優(yōu)函數(shù)；尾部相關(guān)性；上證指數(shù)

MSC 2010：91G70

0 引言

股票市場(chǎng)中，一支股票產(chǎn)生劇烈動(dòng)蕩時(shí)，往往另外幾支股票也會(huì)受到影響.在全球經(jīng)濟(jì)一體化形勢(shì)下，這樣的趨勢(shì)日益加強(qiáng)，影響范圍更加廣泛，其程度也更加嚴(yán)重.因此，研究股票市場(chǎng)間的聯(lián)系甚至量化它們的相關(guān)關(guān)系，增強(qiáng)股市穩(wěn)定性，減少投資損失，就顯得十分重要.相關(guān)性分析在金融市場(chǎng)相關(guān)結(jié)構(gòu)的定量分析中占有重要地位.風(fēng)險(xiǎn)的度量、資產(chǎn)的定價(jià)以及如何選擇投資組合等問(wèn)題都可利用相關(guān)性方法進(jìn)行分析.尾部相關(guān)性分析為其中一種，它是通過(guò)尾部相關(guān)系數(shù)對(duì)變量進(jìn)行分析的.對(duì)不同時(shí)段的股價(jià)進(jìn)行尾部相關(guān)性分析，可得到不同時(shí)段之間的相關(guān)性規(guī)律，由此就可按照近期數(shù)據(jù)定量地推測(cè)遠(yuǎn)期的股價(jià)，從而形成短期預(yù)測(cè).

在相關(guān)性分析中，Copula理論應(yīng)用較為廣泛.Copula理論最早由Sklar提出，它克服了用線(xiàn)性相關(guān)指標(biāo)度量相關(guān)性存在的局限性，反映了變量間的相關(guān)性［1］.Copula函數(shù)理論多應(yīng)用在風(fēng)險(xiǎn)管理方向、資產(chǎn)收益建模和信用評(píng)級(jí)等方面.在金融數(shù)量分析中，Romano利用Copula方法對(duì)意大利的股票收益率進(jìn)行了相關(guān)性分析［1］；劉國(guó)光等［2］利用Copula理論探討了深圳A股和B股投資組合的風(fēng)險(xiǎn)性等.在航班延誤［3］、投資組合風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值［4］等方面，Copula理論也有廣泛應(yīng)用.

針對(duì)現(xiàn)有的Copula理論尚未對(duì)單個(gè)變量在不同時(shí)段的相關(guān)性進(jìn)行研究的不足，本文采用Copula函數(shù)方法代替線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)，選擇最優(yōu)函數(shù)描述上證指數(shù)在不同季度的相關(guān)性及尾部相關(guān)性.

1 Copula函數(shù)的定義

Copula函數(shù)最早是由Sklar提出的.他指出，Copula函數(shù)可把多個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與其各自的邊緣分布連接起來(lái)，因此Copula函數(shù)又被稱(chēng)作“連接函數(shù)”或“相依函數(shù)”［1］.

1.1 Copula函數(shù)的定義與基本性質(zhì)

Copula函數(shù)的一般性定義由Nelsen（1998）給出［5］：N元Copula函數(shù)C滿(mǎn)足以下條件：①C的定義域?yàn)镮N=［0，1］N；②C是N維遞增的、有界的；③C的邊緣分布函數(shù)Cn滿(mǎn)足Cn（u）= C（ 1，1，…，u，1，…，1）=u，其中，u∈［0，1］，n=1，2，...，N.

由以上定義可知，若有N維隨機(jī)向量（x1，x2，...，xN），F(xiàn)1，F(xiàn)2，...，F(xiàn)N為x1，x2，...，xN連續(xù)的邊緣分布函數(shù)，其聯(lián)合分布函數(shù)是F（ x1，x2，...，xN），隨機(jī)向量的Copula函數(shù)為C，則N維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布滿(mǎn)足：

1.2 Sklar定理［6］

設(shè)F，G是隨機(jī)變量X，Y的連續(xù)邊緣分布函數(shù)，其聯(lián)合分布函數(shù)為H，則存在唯一對(duì)應(yīng)的Copula函數(shù)C（C在range F×range G上唯一確定），對(duì)任意的（x，y）∈R2，都有：

H（x，y）=C（F（x），G（y））.

相對(duì)應(yīng)地，對(duì)于任意的兩個(gè)邊際分布函數(shù)F（x）、G（y）和一個(gè)Copula函數(shù)C，則由上式定義的分布函數(shù)H（x，y）是一個(gè)以F，G為邊際的聯(lián)合分布函數(shù).

由Sklar定理可知，通過(guò)Copula函數(shù)可將邊緣分布和變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)分開(kāi)研究，由此可掌握金融市場(chǎng)的真實(shí)相關(guān)性.此外，還可利用Copula函數(shù)導(dǎo)出的相關(guān)性測(cè)度捕捉隨機(jī)變量間的非對(duì)稱(chēng)相關(guān)性，研究分布的尾部相關(guān)性.

2 函數(shù)的選擇與相關(guān)性測(cè)度

2.1 Copula函數(shù)的估計(jì)與選擇

為了避免由于邊緣分布函數(shù)的設(shè)定誤差而產(chǎn)生Copula函數(shù)的有偏估計(jì)，本文采用τ統(tǒng)計(jì)量估計(jì)Copula函數(shù)［5］，并選擇了單參數(shù)的阿基米德Copula函數(shù)，包括Gum bel、Frank、FGM、Clayton函數(shù)，即C=｛Clayton，F(xiàn)rank，F(xiàn)GM，Gumbel｝.各函數(shù)的τ統(tǒng)計(jì)量都是關(guān)于Copula函數(shù)中參數(shù)θ的函數(shù)，由此可以估計(jì)出參數(shù)θ的值.設(shè)隨機(jī)變量為x，y，Copula函數(shù)的表達(dá)式如下.

2.1.1 Copula函數(shù)的估計(jì)

①Gumbel Copula函數(shù)：記Gumbel Copula函數(shù)為CG，其表達(dá)式及τ統(tǒng)計(jì)量分別為：

θ越大，表示兩個(gè)變量的尾部相關(guān)性就越高.當(dāng)θ=1時(shí)，說(shuō)明x，y獨(dú)立，CG=xy；當(dāng)θ趨于∞時(shí)，x，y趨于完全相關(guān).

②FGM Copula函數(shù)：記FGM Copula函數(shù)為CFGM，其表達(dá)式及τ統(tǒng)計(jì)量分別為：

當(dāng)θ＜0時(shí)，說(shuō)明x，y呈負(fù)相關(guān)關(guān)系；當(dāng)θ＞0時(shí)，說(shuō)明x，y呈正相關(guān)關(guān)系.

③Frank Copula函數(shù)：記Frank Copula函數(shù)為CF，其表達(dá)式及τ統(tǒng)計(jì)量分別為：

當(dāng)θ＜0時(shí)，說(shuō)明x，y呈負(fù)相關(guān)關(guān)系；當(dāng)θ趨于0時(shí)，說(shuō)明x，y趨于相互獨(dú)立；當(dāng)θ＞0時(shí)，說(shuō)明x，y呈正相關(guān)關(guān)系.

④Clayton Copula函數(shù)：記Clayton Copula函數(shù)為CC，其表達(dá)式及τ統(tǒng)計(jì)量分別為：

當(dāng)θ趨于0時(shí)，表示x，y趨于獨(dú)立；當(dāng)θ趨于∞時(shí)，表示x，y趨于完全相關(guān).

2.1.2 Copula函數(shù)的選擇

為了使利用Copula函數(shù)描繪的不同股票市場(chǎng)數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性結(jié)構(gòu)達(dá)到最佳效果，本文選擇與經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)之間誤差最小的理論的Copula函數(shù)［8］.

理論的Copula函數(shù)即用τ估計(jì)的Copula函數(shù)，記為C，C=｛Gumbel，F(xiàn)GM，F(xiàn)rank，Clayton｝.經(jīng)驗(yàn)的Copula函數(shù)是由Deheuvels提出的［6］.假設(shè)一組樣本為：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中，n為樣本容量，則二元經(jīng)驗(yàn)的Copula函數(shù)為：

其中：

對(duì)于二元的Copula函數(shù)，本文把用τ估計(jì)出來(lái)的Copula函數(shù)稱(chēng)為理論的Copula函數(shù)，記作C（ u1，u2），對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)的Copula函數(shù)記作C^（u1，u2）.記最優(yōu)的Copula函數(shù)為C*，則滿(mǎn)足以下條件：

即選擇與經(jīng)驗(yàn)的Copula函數(shù)之間的誤差最小的函數(shù).

2.2 尾部相關(guān)性

尾部相關(guān)性是通過(guò)尾部相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析的.尾部相關(guān)系數(shù)廣泛應(yīng)用于極值理論，反映當(dāng)一個(gè)變量的觀測(cè)值出現(xiàn)極值時(shí)，另一變量也出現(xiàn)極值的概率［5］.在前人的研究基礎(chǔ)上，由Copula函數(shù)的定義和性質(zhì)，可以推算出尾部相關(guān)系數(shù)與Copula函數(shù)的關(guān)系表達(dá)式：

其中：α為概率；qα為相應(yīng)的α的分位數(shù).

用尾部相關(guān)系數(shù)λ分析金融市場(chǎng)間的尾部相關(guān)性是很方便的，它能反映一支股票價(jià)格（或股市）的大變動(dòng)是否會(huì)引起另一支股票價(jià)格（或其他股市）的大變動(dòng)，這對(duì)于有效降低投資風(fēng)險(xiǎn)具有較好的參考價(jià)值.

3 基于Copula函數(shù)上證指數(shù)的季度相關(guān)性分析

3.1 數(shù)據(jù)處理

上證綜指是上海第1支反映市場(chǎng)整體走勢(shì)的旗艦型指數(shù)，也是中國(guó)資本市場(chǎng)影響力最大的指數(shù)，總體上反映了上海證券交易所上市股票價(jià)格的變動(dòng)情況，是中國(guó)資本市場(chǎng)的象征.因此，本文選取上證指數(shù)作為研究對(duì)象，研究其收盤(pán)價(jià)在季度上的相關(guān)關(guān)系.

本文選取的樣本數(shù)據(jù)為1991-2015年上證綜指的季線(xiàn)收盤(pán)價(jià)，共100個(gè)數(shù)據(jù).季線(xiàn)數(shù)據(jù)來(lái)自同花順，它表示收盤(pán)價(jià)的一個(gè)季度即三個(gè)月的平均線(xiàn).

為了對(duì)上證指數(shù)各季度收盤(pán)價(jià)之間的相關(guān)性有一個(gè)較直觀的了解，本文繪制了不同季度的上證指數(shù)收盤(pán)價(jià)的散點(diǎn)圖（見(jiàn)圖1）；為了觀察數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布，繪制了P-P圖（見(jiàn)圖2）.

由圖1可以看出，上證指數(shù)各季度收盤(pán)價(jià)之間大致呈線(xiàn)性關(guān)系.由圖2（a）可以看出，數(shù)據(jù)點(diǎn)不均勻分布在理論直線(xiàn)即對(duì)角線(xiàn)的兩側(cè)，實(shí)際分布與理論分布有差距.圖2（b）反映了按正態(tài)分布計(jì)算后的實(shí)際值與理論值的差的分布.數(shù)據(jù)點(diǎn)不均勻分布在Y=0這條直線(xiàn)的上下側(cè)，絕對(duì)差異大于0.05，故認(rèn)為該數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布.從第二、三、四季度的正態(tài)P-P圖和趨勢(shì)P-P圖也可得到以上結(jié)論.

由此可得，如果根據(jù)正態(tài)分布的假定來(lái)計(jì)算，就會(huì)產(chǎn)生不正確的估計(jì)結(jié)果.故本文將分別估計(jì)這些樣本數(shù)據(jù)的Pearson相關(guān)系數(shù)ρ1、Spearman相關(guān)系數(shù)ρ2和Kendall相關(guān)系數(shù)τ，多角度確定上證指數(shù)各季度的收盤(pán)價(jià)之間的相關(guān)性.

3.2 相關(guān)系數(shù)

利用SPSS19.0統(tǒng)計(jì)軟件，對(duì)1991-2015年各年各季度的收盤(pán)價(jià)進(jìn)行相關(guān)性分析，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)采用雙側(cè)檢驗(yàn).從表1可以看出，在置信度為0.01時(shí)，不同季度上證指數(shù)的收盤(pán)價(jià)的相關(guān)系數(shù)都在0.7以上，說(shuō)明上證綜指各季度的收盤(pán)價(jià)之間表現(xiàn)出極強(qiáng)的正相關(guān)性.

表1 上證指數(shù)各季度收盤(pán)價(jià)之間的相關(guān)性Table 1 The correlation between the closing price of Shanghai Composite index in the quarter

3.3 函數(shù)選擇

3.3.1 參數(shù)θ和理論的Copula函數(shù)

對(duì)于每個(gè)Copula函數(shù)，統(tǒng)計(jì)量τ都是θ的解析函數(shù).采用估計(jì)阿基米德Copula參數(shù)的方法，將表1中的τ的各值代入相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（（2）式、（4）式、（6）式、（8）式），可估計(jì)出參數(shù)θ的值（見(jiàn)表2）.再將θ的值分別代入各函數(shù)表達(dá)式（（1）式、（3）式、（5）式、（7）式），可得到各函數(shù)在關(guān)于每?jī)蓚€(gè)季度收盤(pán)價(jià)的表達(dá)式.

表2 參數(shù)θTable 2 The parameterθ

3.3.2 最優(yōu)的Copula函數(shù)

本文選擇與經(jīng)驗(yàn)的Copula函數(shù)［5］誤差最小的理論的Copula函數(shù)作為最優(yōu)的Copula函數(shù).（10）式中各季度的樣本容量為n=25，為一固定值，所以次方即將大括號(hào)中的計(jì)算結(jié)果開(kāi)方，也不影響結(jié)果的大小比較.因此，只要計(jì)算亦為固定值，不影響計(jì)算結(jié)果.大括號(hào)的

的值就可比較4個(gè)Copula函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)的Copula函數(shù)之間的平均誤差，由此選擇誤差最小的函數(shù)作為最優(yōu)函數(shù).

采用C-free4編寫(xiě)程序計(jì)算理論Copula函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)之間的誤差（C*）'，再將計(jì)算得到的誤差值分別代入（10）式可得誤差表3.結(jié)果表明，F(xiàn)GM函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)平均誤差最小，根據(jù)誤差最小原則，選擇FGM函數(shù)為最優(yōu)函數(shù).

表3 各理論的Copula函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)的誤差________________Table 3 The error between theoretical Copula function and empirical Copula function

3.4 尾部相關(guān)性

本文考慮了當(dāng)α=0.925、α=0.975、α=0.995時(shí)的上尾部相關(guān)性，以及當(dāng)α=0.010、α=0.050、α=0.100時(shí)的下尾部相關(guān)性.通過(guò)C-free4編寫(xiě)程序，利用（11）式～（14）式計(jì)算FGM函數(shù)下的尾部相關(guān)系數(shù)（見(jiàn)表4）.由于通過(guò)負(fù)尾部相關(guān)表達(dá)式得到的相關(guān)系數(shù)值存在負(fù)數(shù)，不具實(shí)際意義，因此可判斷各季度收盤(pán)價(jià)之間不存在負(fù)尾部相關(guān)性.

表4 FGM函數(shù)下的尾部相關(guān)系數(shù)Tabe4 Tail correlation coefficient of FGM

以一二季度為例，當(dāng)?shù)谝患径鹊纳献C指數(shù)收盤(pán)價(jià)超過(guò)q0.925、q0.975、q0.995時(shí)，第二季度的上證指數(shù)收盤(pán)價(jià)超過(guò)相應(yīng)分位數(shù)的概率分別是0.313 8、0.113 4、0.023 4，分別大于0.075、0.025、0.005，說(shuō)明第一季度的上證指數(shù)和第二季度的上證指數(shù)存在著正尾部相關(guān)性.即：當(dāng)α=0.925時(shí)，根據(jù)一二季度的上證指數(shù)的尾部相關(guān)性，可以說(shuō)當(dāng)?shù)谝患径鹊纳献C指數(shù)超過(guò)q0.925時(shí)，第二季度的上證指數(shù)超過(guò)q0.925的概率為31.38%.經(jīng)分析，其他每?jī)杉径戎g也呈現(xiàn)出明顯的正尾部相關(guān)性.

4 結(jié)論

本文基于Copula函數(shù)在尾部相關(guān)性研究的應(yīng)用理論，建立了Copula函數(shù)模型，對(duì)不同季度上證指數(shù)的尾部相關(guān)性進(jìn)行研究.通過(guò)上證指數(shù)進(jìn)行實(shí)證分析，可知各季度收盤(pán)價(jià)間有正尾部相關(guān)性.尾部相關(guān)性研究量化了投資風(fēng)險(xiǎn)，使投資者或風(fēng)險(xiǎn)管理預(yù)測(cè)者可依據(jù)季度間的股價(jià)指數(shù)尾部相關(guān)性預(yù)測(cè)股指在一個(gè)季度發(fā)生變化時(shí)，下一季度或另一季度發(fā)生變化的概率，這對(duì)于規(guī)避投資風(fēng)險(xiǎn)尤為重要.

［1］王軍.基于Copula方法的中國(guó)股票市場(chǎng)的相關(guān)性研究［D］.長(zhǎng)沙：湖南大學(xué)，2010.

［2］劉國(guó)光，許世剛.基于Copula方法深圳A股、B股投資組合風(fēng)險(xiǎn)值實(shí)證分析［J］.淮海工學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004，13（4）：82-84.

［3］邱樹(shù)萍，吳薇薇，侯美麗.基于Copula函數(shù)的航班延誤相關(guān)性分析［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)（交通科學(xué)與工程版），2015，39（1）：117-120.

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［5］司繼文，蒙堅(jiān)玲，龔樸.國(guó)內(nèi)外股票市場(chǎng)相關(guān)性的Copula分析［J］.華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）.2005，33（1）：144-166.

［6］NELSEN R B.An introduction to Copulas［M］.New York：Springer，1998.

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Quarterly Correlation Analysis of Shanghai Composite Index Based on Copula Function

JIANG Yingying，LIU Wenqiong
（School of Science，Huzhou University，Huzhou 313000，China）

The paper studied the tail dependence of the Shanghai Composite Index in different quarters with the theory of tail dependence based on Copula function.According to the empirical study based on Shanghai Composite Index，the results showed that it had positive tail correlation between the closing prices in each quarter.And the study of tail dependence provides a new way for the quantitative management of risk.

Copula function；optimal function；tail dependence；Shanghai Composite Index

F830.9

A

1009-1734（2016）04-0018-06

［責(zé)任編輯 高俊娥］

2016-03-02

劉文瓊，講師，博士，研究方向：信用風(fēng)險(xiǎn)管理、數(shù)據(jù)處理.E-mail：wenqiong6510@126.com

MSC 2010：91G70