具有時(shí)滯和脈沖接種的SEIR模型

仝耀華，石巖嶺

（1.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009；2.山西大同大學(xué)網(wǎng)絡(luò)信息中心，山西大同037009）

具有時(shí)滯和脈沖接種的SEIR模型

仝耀華1，石巖嶺2

（1.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009；2.山西大同大學(xué)網(wǎng)絡(luò)信息中心，山西大同037009）

建立了一個(gè)具有脈沖和時(shí)滯的模型來(lái)描述一類具有脈沖接種和染病潛伏期的疾病。運(yùn)用時(shí)滯微分方程和脈沖微分方程的理論，得到了系統(tǒng)持久性的充分條件。

時(shí)滯；傳染病模型；平衡點(diǎn)；脈沖接種

Kermark和Mckendrick在1927年利用動(dòng)力學(xué)方法建立了三倉(cāng)室SIR傳染病模型并對(duì)其傳播規(guī)律和流行趨勢(shì)進(jìn)行研究，提出閾值理論[1]。隨著細(xì)菌和病毒的耐藥性問(wèn)題日漸嚴(yán)重，出現(xiàn)一些新的傳染病[2]。因此，大量的數(shù)學(xué)模型被用于分析各式各樣的傳染病問(wèn)題[3]。

SEIR傳染病模型是非常重要的模型，很多人用它研究過(guò)麻疹、登革熱等疾病，帶有脈沖接種的流行病模型和具有非線性發(fā)生率的模型[4]，已經(jīng)建立并研究了很多年[5]。本文建立了一個(gè)具有脈沖和時(shí)滯的模型來(lái)描述一類具有脈沖接種和染病潛伏期的疾病[6]，結(jié)論是給出了染病者一致持續(xù)生存的條件，也就是存在q＞0，使得當(dāng)t充分大時(shí)，I(t)≥q。

1 模型建立

把人群劃分為四類：易感者、潛伏者、染病者、移出者。分別用S(t)、E(t)、I(t)、R(t)表示四類人群在t時(shí)刻的數(shù)量。總?cè)丝跀?shù)N是漸進(jìn)穩(wěn)定的常數(shù)，不妨設(shè)為1。即S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=1。討論SEIR模型：

其中b為死亡率，d為恢復(fù)率，h為預(yù)防接種比率，ω為潛伏期，n(0＜n＜1)為染病者新生兒成為易感者的比例，1-m為染病者新生兒被傳染成為潛伏者的比例。所有系數(shù)均為正數(shù)。E、R在模型(1)的第一個(gè)和第三個(gè)方程沒(méi)有出現(xiàn)，故只需研究下面的方程組

系統(tǒng)(2)的初始條件是

2 持久性

證明系統(tǒng)(2)的第二個(gè)方程可以寫(xiě)作

計(jì)算V(t)沿著系統(tǒng)(2)的解的導(dǎo)數(shù)

對(duì)于任意t0＞0，可以斷言當(dāng)t≥t0是，I(t)≤不能成立。否則，存在t0＞0,使得當(dāng)t≥t0時(shí)，I(t)≤。由系統(tǒng)(2)的第二個(gè)和第三個(gè)方程，可得

當(dāng)t＞t0時(shí)，考慮下面比較系統(tǒng)

令(S(t),I(t))是系統(tǒng)(2)滿足初始條件(3)和S(0+)=＞0 的解，u(t)是系統(tǒng)（7）滿足u(0+)=＞0 的解，我們知道存在t1(＞t0+ω)，當(dāng)t≥t1時(shí) ，有

令

可以斷言對(duì)所有的t≥t1，都有I(t)≥Il。否則，存在T0≥0,使 得 當(dāng)時(shí) ，I(t)≥Il,I(t1+ω+T0)=Il且I˙(t1+ω+T0)≤ 0 。

利用系統(tǒng)(2)的第二個(gè)方程和（8）可得

矛盾，所以I(t)≥Il，t≥t1。

由（9）可得

這表明當(dāng)t→∞時(shí)，V(t)→∞。這與當(dāng)t充分大時(shí)V(t)≥，則所要的結(jié)果得到。另一方面，如果I(t)關(guān)于震蕩，令

下面證明I(t)≥q，令t*＞0，γ＞0使得I(t*)=I(t*+γ)并且當(dāng)t*充分大時(shí)，有S(t)＞σ,t*＜t＜t*+γ。

由于系統(tǒng)(2)的正解最終有界，I(t)不受脈沖作用可知I(t)是一致連續(xù)的。所以存在T(0＜T＜ω,且T的選取與t*無(wú)關(guān)），使得

如果γ≤T。則所要的結(jié)果得到。接下來(lái)考慮如果T＜γ≤ω。由系統(tǒng)(2)的第二個(gè)方程可得I˙(t)＞-(d+b)I(t)且I(t*)=時(shí)，有I(t)≥q1,t*＜t＜t*+γ。如果γ＞ω,由系統(tǒng)(2)的第二個(gè)方程可得I(t)≥q,t*＜t＜t*+ω。繼續(xù)上面的討論能夠得到I(t)≥q,t*＜t＜t*+γ。由于區(qū)間是任取得（僅需要t*充分大），便可以得到I(t)≥q,對(duì)所有充分大的t成立。根據(jù)上面的討論，q的選擇與系統(tǒng)(2)的正解無(wú)關(guān)。

證明令(S(t),I(t))是系統(tǒng)(2)的任意一解，由系統(tǒng)(2)的第一個(gè)和第三個(gè)方程可得

對(duì)于充分小ε0＞0，使得

由定理1和定理2我們可以得到下面的結(jié)論：令

推論 1 如果θ＜或者τ＜或者ω＜或者α＜,則系統(tǒng)(2)是持久的，也就是說(shuō)疾病會(huì)成為地方病平衡點(diǎn)。

3 數(shù)值分析與結(jié)論

圖1 系統(tǒng)（2）持久性示意圖

圖1：其中a是*=1.2036＞1時(shí)，易感者人群時(shí)間序列圖;b是*=1.2036＞1時(shí)，染病者人群時(shí)間序列圖;c是*=1.2036＞1時(shí)，系統(tǒng)(2)τ周期解的相圖。

[1]馬知恩，周義倉(cāng)，王穩(wěn)地，等.傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[2]Iannelli M,Maia Marcheva,Li X Zh.Strain Replacement in an Epidemic Modelwith Perfect Vaccination[J].Mathematical Biosci?ence,2005,195(1):23-46.

[3]Maia Marcheva,Iannelli M,Li X Zh.Competition and Coexistence of Strains:The Impactof Vaccination[J].Mathematical Bioscienc?es and Engineering,2007,4(2):287-317.

[4]Onofrio A D.Stability properties of pulse vaccination strategy in SEIR epidemic model[J].Math Biosci,2002,179:57-72.

[5]L Stonc,B Shulgin,Z Agur.Theoretical examination of the pulse vaccination policy in the SIR epidemic model[J].Math Comput.Modelling,2000(31):207-215.

[6]S Ruan,W Wang.Dynamical behavior of an epidemic model with a nonlinear incidence rate[J].Di ffer.Equat.,2003(188):135-163.

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>

A SEIR Model with Delay and Pulse Inoculation

TONG Yao-hua1,SHI Yan-ling2
(1.School of Mathematical and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009;2.Network Information Center,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

In this paper,we established a model with impulsive and delay to describe a class of impulse inoculation and incuba?tion period infected disease.The sufficient co-nditions of system persistence are obtained by applying the theory of delay differential equation and impulse differential equation.

time delay;infectious disease model;balance;pulse vaccination

TQ018

A

1674-0874(2017)05-0015-03

2017-03-26

仝耀華(1979-),女,山西大同人,碩士,講師,研究方向:生物數(shù)學(xué)。