剖析平面向量求解中的八種錯誤

■江蘇省高港中等專業(yè)學校 李 霖

平面向量融數、形于一體,具有幾何與代數的“雙重身份”,它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具,有著極其豐富的實際背景,它包括向量的概念和運算。本文匯集了同學們在求解向量問題中的種種錯誤,展示剖析其原因,攻克易錯點,給出提醒,希望對同學們的復習能有所幫助。

錯誤1——忽視向量概念中的特殊情況

四個命題:(1)0·a=0;(2)0·a=0;(3)0-;(4)a·b =a ·b。其中正確的個數為( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

錯解:全都正確,選D。

剖析:(1)根據向量數量積的概念,0·a應是一個實數0,而非一個向量,正確;(2)根據實數與向量的定義,0·a應是一個向量,而非一個實數,錯誤;(3)由向量的減法運算和共線的意義,正確;(4)根據數量積的定義a·b =a ·b cosθ,原式只有當θ=0或π時成立,錯誤。由以上分析可知,正確答案為B。

提醒:向量的有關概念的判斷中一定要注意定義的本質屬性,區(qū)分特殊的情況和一般成立的關系,注意零向量和實數零的區(qū)別。

變式1 以下命題正確的是( )。

Aa.∥b,b∥c?a∥c

B.若a與b互為相反向量,則a+b=0

C.平面向量a,b平行的充要條件是存在不全為0的實數λ1,λ2,使得λ1a+λ2b=0

D.若a與b互為相反向量,則a≠b

解析:當b=0時,A中結論錯誤;互為相反向量的和為零向量0而不是實數0,B中結論錯誤;當a=0時,其相反向量也是0,此時a=b,D中結論錯誤;只有C正確。

錯誤2——忽視平面向量基本定理的成立條件

下列各組向量中,可以作為基底的是( )。

A.a=(0,0),b=(1,-2)

B.a=(-1,2),b=(5,7)

C.a=(3,5),b=(6,10)

D.a=(2,-3),b=(4,-6)

錯解:選A或C或D。

剖析:根據基底的定義,只有非零且不共線的向量才可以作為平面內的基底。一一驗證非零不共線的向量只有B。

提醒:如果a、b是同一平面內的兩個不共線向量,那么對該平面內的任一向量c,有且只有一對實數λ1,λ2,使c=λ1a+λ2b。解決問題的一般思路是:先選擇一組基底,并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式,再通過向量的運算來解決。

錯誤3——弄錯一個向量在另一個向量上的正投影

錯誤4——忽視向量數量積與實數乘法的區(qū)別

已知a、b都是非零向量,且向量a+3b與7a-5b垂直,向量a-4b與7a-2b垂直,求向量a與b的夾角。

錯解:由題意可得:

兩式相減得46a·b-23b2=0,即b(2a-b)=0,所以b=0(不合題意舍去)或2ab=0,由2a-b=0知a與b同向,故向量a與b的夾角為0°。

剖析:本題誤用實數的性質,即實數a、b若滿足ab=0則必有a=0或b=0,但對于向量a、b若滿足a·b=0,則不一定有a=0或b=0,因為由a·b=|a|·|b|cosθ知與θ有關,當θ=90°時,a·b=0恒成立,此時a、b均可以不為0。

由錯解知b2=2a·b,代入7a2+16a·b-15b2=0,得a2=2a·b,所以a2=b2=

提醒:數量積的運算不滿足結合律也不滿足消去律,平面向量投影問題的易錯點是:①忽視“哪個向量”在“另一個向量”上的投影;② 要注意投影是一個數量,不是向量,其值可正,可負,可為0。

變式4 已知命題:(1)(a ·b)·c=a·(b ·c);(2)a+b ≤a +b ;(3)(a -b)·c=a·c-b·c;(4)如果a·b=a·c,且a=0,那么b,c在a方向上的投影相等。其中正確的個數是( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:(1)數量積的運算不滿足結合律,不能與實數運算混淆,錯誤。(2)由向量幾何運算的意義及平行四邊形法則可知正確。(3)結合向量的運算法則可知正確。(4)a·b=a·c,說明b,c在a方向上的投影相等,正確。

錯誤5——忽略共線向量或三點共線的條件

已知同一平面上的向量a、b、c兩兩所成的角相等,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求向量a+b+c的長度。

錯解:易知a、b、c皆為非零向量,設a、b、c所成的角均為θ,則3θ=360°,即θ=120°,所以a·b=|a|·|b|cos120°=-1,同理b·c=-3,c·a=-,由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=3,得|a+b+c|=3。

剖析:錯解以為a、b、c皆為非共線向量,而當向量a、b、c共線且同向時,所成的角也相等均為0°,符合題意。(1)當向量a、b、c共線且同向時,所成的角均為0°,所以|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=6;(2)當向量a、b、c不共線時,同錯解。

綜上所述,向量的長度為6或3。

變式5 如圖1,在△ABC中,AD=DB,AE=EC,CD與BE交于點F,設=xa+yb,則(x,y)為( )。

圖1

錯誤6——忽略向量的幾何意義與三角形“內心”之間的關系

A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心

錯解:選A、C或D。

變式6 已知△ABC的三內角A,B,C所對邊的長依次為a,b,c,M為該三角形所在平面內的一點,若a0,則M是△ABC的( )。

圖2

A.內心 B.重心 C.垂心 D.外心平分線。同理可證AM、BM的延長線也是角平分線。故M是△ABC的內心。

錯誤7——忽略向量的幾何意義與三角形“垂心”之間的關系

已知O是平面上的一定點,A、B、C是平面上不共線的三個點,動點P滿足λ∈[0,+∞),則動點P的軌跡一定通過△ABC的( )。

A.重心 B.垂心 C.外心 D.內心

錯解:選A、C或D。

錯誤8——忽略向量的幾何意義與三角形“重心”之間的關系

A.重心 B.垂心 C.外心 D.內心

錯解:選B、C或D。