三角函數(shù)性質(zhì)的研究與拓展

■黑龍江省大慶市第一中學(xué)高二(13)班 秦嵩博

三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型,在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用。初學(xué)三角函數(shù)時(shí),會(huì)感覺比較簡單,只要公式背會(huì)了就可以了,隨著學(xué)習(xí)的深入,變化越來越多,越來越復(fù)雜,題目給的條件少了不知道怎么辦,題目給的條件多了又不知道如何下手。經(jīng)過總結(jié),我們可以發(fā)現(xiàn)要想順利求解此類問題,需要善于創(chuàng)設(shè)豐富的情境,把單純的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為便于理解的模型,下面就以一道教材中的習(xí)題為例,由淺入深進(jìn)行研究,希望對(duì)同學(xué)們有所啟發(fā)。

一、原題

如圖1,點(diǎn)P是半徑為r的砂輪邊緣上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn),它從初始位置P0開始,按逆時(shí)針方向以角速度ω做圓周運(yùn)動(dòng)。求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式,并求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的周期和頻率。

二、分析

我們可以將其轉(zhuǎn)化為下面的數(shù)學(xué)模型:點(diǎn)P在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,A(A＞0)為半徑的圓上做勻速圓周運(yùn)動(dòng),以ω為角速度,0時(shí)刻點(diǎn)P在P0位置上,OP0所在的邊與x軸非負(fù)半軸成φ角,求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y和時(shí)間x(x∈R)的關(guān)系。

容易得到結(jié)論:經(jīng)過時(shí)間x后以O(shè)P為終邊的角為ωx+φ,所以y=Asin(ωx+φ)(逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)ω＞0,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)ω＜0),其中ωx+φ稱為相位,φ稱為初相。

這道課本習(xí)題反映的思想:三角函數(shù)的研究與認(rèn)識(shí)始終以單位圓為重要的研究工具,對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行深入的探究,主動(dòng)加以應(yīng)用,才能做到舉一反三,靈活運(yùn)用。

圖1

三、三角函數(shù)的性質(zhì)探究與圓周運(yùn)動(dòng)解釋

1.性質(zhì)探究。

(3)單調(diào)性:①ω＞0時(shí),如圖2,點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),所以當(dāng)程中隨著時(shí)間x的增加函數(shù)值y也會(huì)從-A→0→A逐漸增加,所以由-2π＜ωx+φ＜2π能夠得到該函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間,因此通過解不等式得到該函數(shù)的所有的單調(diào)增區(qū)間。同理,通∈Z)可以得到該函數(shù)的所有的單調(diào)減區(qū)間?？梢缘玫皆摵瘮?shù)的所有的單調(diào)減區(qū)間。同理,通過解不以得到該函數(shù)的所有的單調(diào)增區(qū)間。

圖2

圖3

2.圓周運(yùn)動(dòng)的解釋。

在圓周運(yùn)動(dòng)過程中函數(shù)圖像的變化如下:

y=Asin(ωx+φ)+h(A＞0,ω＞0)圖像的變化:

①y1=sinx→y2=Asinx。

圖像變化:橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍。

圓周運(yùn)動(dòng)的解釋:在同樣的時(shí)刻,點(diǎn)P2的縱坐標(biāo)是單位圓上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P1縱坐標(biāo)的A倍。

②y2=Asinx→y3=Asin(ωx)。

④y4=Asin(ωx+φ)→y5=Asin(ωx+φ)+h。

圖像變化:如果h＞0,則圖像向上平移h個(gè)單位;如果h＜0,則向下平移h個(gè)單位。

圓周運(yùn)動(dòng)的解釋:相對(duì)于y4來說,圓周運(yùn)動(dòng)的圓心從點(diǎn)(0,0)變?yōu)榱它c(diǎn)(0,h)。

總之,三角函數(shù)是刻畫周期變化的一種重要模型,勻速圓周運(yùn)動(dòng)是該模型的一個(gè)典型代表,只要抓住這個(gè)要領(lǐng),就能以簡取繁,讓整個(gè)三角函數(shù)的研究從角到函數(shù)性質(zhì)與圖像渾然一體,給人豁然開朗的感受。