小子樣試驗條件下的序貫概率圓精度檢驗方法

鄭小兵，孫 翱，雷 剛，王寶和，劉文超

（1.大連91550部隊，大連 116023；2.西安高新技術(shù)研究所，西安 710025）

小子樣試驗條件下的序貫概率圓精度檢驗方法

鄭小兵1，孫 翱1，雷 剛2，王寶和1，劉文超1

（1.大連91550部隊，大連 116023；2.西安高新技術(shù)研究所，西安 710025）

小子樣試驗條件下的精度評定問題是遠程飛行器靶場試驗的關(guān)鍵問題之一，屬于未知參數(shù)的假設(shè)檢驗問題。通過分析裝備飛行試驗雙方風(fēng)險管控和試驗成本，提出了基于序貫的命中精度概率圓鑒定方法。通過落點概率密度分布函數(shù)推導(dǎo)出概率圓計算公式，設(shè)計了假設(shè)條件下的概率圓計算流程和仿真算例，總結(jié)出概率圓半徑、試驗子樣和雙方風(fēng)險的關(guān)系，討論了檢出比λ的使用原則，基于保證使用方風(fēng)險不變的原則提出傳統(tǒng)概率圓檢驗方法的修正策略。利用仿真試驗結(jié)果證實了基于序貫的概率圓方法能夠保證檢驗精度，并且提高了試驗效益。飛行試驗結(jié)果證實了該方法的可行性。

小子樣試驗；精度評定；概率圓；序貫

命中精度是衡量遠程飛行器作戰(zhàn)使用能力的重要戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo)，其分析與評估是管理機關(guān)、論證部門、試驗靶場、使用部隊和研制單位各方都極為關(guān)注的焦點問題之一。但是由于政治、經(jīng)濟和地理等客觀因素，在裝備定型試驗過程中安排的實際飛行子樣數(shù)較少，并且不是最大射程狀態(tài)下的飛行彈道，使得傳統(tǒng)的經(jīng)典試驗統(tǒng)計方法無法進行評定。通常采用驗前信息通過相容性檢驗后補充試驗樣本信息，采用彈道折合方法將飛行試驗各誤差折合到最大射程狀態(tài)[1-3]。關(guān)于仿真子樣可信度問題和彈道折合帶來的誤差影響問題這里不再做專題討論，假定參與評定的試驗樣本均為全程彈道的實飛子樣。

飛行器的精度指標(biāo)一般包括射擊準(zhǔn)確度和射擊密集度兩個要求，不僅要求飛行器有一定的密集度，而且對落點散布中心離開目標(biāo)的的距離也有要求。新型飛行器使用圓概率偏差（CEP）來綜合反映準(zhǔn)確度和密集度的四個指標(biāo)（μx,μy,σx,σy），精簡了精度評估方法。小子樣精度評估方法一般采用概率圓方法，該方法是在研制方和使用方風(fēng)險相當(dāng)原則下確定被試產(chǎn)品落點散布的圓半徑，能夠有效解決傳統(tǒng)精度評定方法中需要預(yù)先確定射擊準(zhǔn)確度問題[4-6]。本文在充分研究概率圓評定方法設(shè)計原則和使用策略的基礎(chǔ)上，基于使用方接收風(fēng)險不變假定條件討論了概率圓方法的提前截止條件，對于節(jié)省試驗成本消耗具有很大的實際使用價值。

1 精度評定的概率圓方法

假定對平面目標(biāo)射擊，落點坐標(biāo)系的原點定義為理論目標(biāo)在地球參考橢球面上的投影點；縱軸為發(fā)射點至目標(biāo)點的大地線在目標(biāo)點的切線，指向射程增加的方向；橫軸垂直于縱軸指向射向的右方。彈頭實際落點在落點坐標(biāo)系中的坐標(biāo)以(X,Z)表示，且(X,Z)服從正態(tài)分布，縱橫向統(tǒng)計獨立，即(X,Z)～N圓概率偏差表達式為：

式中：P=50%時，R就是圓概率偏差（CEP）；Xμ、Zμ為縱橫向的射擊準(zhǔn)確度；σX、Zσ為縱橫向的射擊密集度。

飛行器命中精度鑒定中，往往采用下列簡單假設(shè)：

其中：CEP0為給定的要求值；λ為檢出比，由研制方和使用方共同協(xié)商事先確定。

不妨假定對應(yīng)于原假設(shè)的射擊準(zhǔn)確度和射擊密集度分別為

而對應(yīng)于備擇假設(shè)的射擊準(zhǔn)確度和射擊密集度分別為

假定共進行了n次試射，令m為落入以R為半徑的圓內(nèi)的飛行器數(shù)，取m為統(tǒng)計量，則

考慮如下鑒定方案：當(dāng)m≥m*時，接受原假設(shè)，即認(rèn)為此飛行器的落點精度符合要求；否則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為此飛行器的落點精度不合格。m*為檢驗門限。

研制方風(fēng)險α（即棄真概率）和使用方風(fēng)險β（即采偽概率）分別為：

綜合式(5)和式(6)可以看出，當(dāng)射擊準(zhǔn)確度、射擊密集度和檢出比確定后，試驗的研制方和使用方風(fēng)險與概率圓半徑R和檢驗門限m*息息相關(guān)。

在飛行器試驗方案設(shè)計中，一般要求雙方風(fēng)險α、β盡量接近，研制方風(fēng)險α可稍大于使用方風(fēng)險β，且通常不大于 30%。在實際應(yīng)用過程中，由于m*是整數(shù)，只調(diào)整m*時，α和β變化劇烈，很難找到適當(dāng)?shù)膍*使得c=α/β≈1。因此可調(diào)整圓半徑R的大小，使得雙方風(fēng)險基本相當(dāng)。

在試驗子樣確定的情況下，通過調(diào)整概率圓R的大小得到使用方和研制方滿意的風(fēng)險，進而進行圓概率偏差CEP評定的方法，即為精度評定中的概率圓方法[7-9]。

2 概率圓方法的應(yīng)用分析

2.1 概率圓檢驗軟件設(shè)計

在裝備研制總要求論證時，提出指標(biāo)合同要求的的規(guī)定值和最低可接受值，即明確了μ0、σ0、CEP0和λ，同時試驗總體方案中會明確n和m*，依據(jù)這些輸入條件即可計算得到每一個試驗子樣下的概率圓半徑，計算流程如圖1所示。

圖1 概率圓計算框圖Fig.1 Architecture of probability circle computing

如果試驗方案制定過程中希望利用概率圓方法來確定試驗子樣和檢出門限?？梢灶A(yù)設(shè)一個最低試驗子樣來計算概率圓半徑，如果滿足要求，則采用該試驗方案。如果不滿足要求，在通過調(diào)整試驗子樣數(shù)來找到達到雙方風(fēng)險要求的試驗方案[10-11]。

2.2 概率圓檢驗的算例分析

假設(shè)μ0=100，σ0=500，λ=1.5，則計算得到CEP0=600 m，總共進行 8次試射。試驗方案如表 1所示。

表1 概率圓檢驗實例Tab.1 Example for probability circle method

從這個案例可以發(fā)現(xiàn)，在射擊準(zhǔn)確度μ0、射擊密集度σ0、檢出比λ和試驗樣本n確定的情況下，概率圓方法應(yīng)用呈現(xiàn)如下特點：

1）檢驗門限m*與雙方風(fēng)險α、β大致成反比關(guān)系，說明試驗子樣越充分，試驗做出“棄真”或“采偽”的概率越小。大型武器試驗希望通過較少子樣得出評定結(jié)論已達到較高的費效比，試驗設(shè)計中就需要在試驗風(fēng)險與試驗消耗進行折衷考慮。對于飛行器精度評定工作而言，雙方風(fēng)險控制在0.1～0.3比較適宜。

2）檢驗門限m*與概率圓半徑R成正比關(guān)系，說明概率圓半徑定義越大，則要求落入概率圓半徑的子樣數(shù)越多。通過表 1可以觀察到，m*越接近n/2，R越接近CEP，這與CEP的定義是一致的。而且概率圓半徑R的變化也是有規(guī)律的，與正態(tài)分布的均值和方差息息相關(guān)。

3）考慮公式(6)，確定檢驗門限m*后，概率圓半徑R增大，α減小，β增大；概率圓半徑R減小，α增大，β減小。我們通過調(diào)整R來改變P0、P1，進而改變α、β使之達到雙方可接受的風(fēng)險，這就是概率圓方法的核心思想；

4）m*=n時的雙方風(fēng)險大于m*=n-1時的雙方風(fēng)險，這與試驗方案設(shè)計時子樣數(shù)的決策是吻合的。對本案例而言，制定8發(fā)7中的試驗方案是最優(yōu)的。伴隨著試驗子樣數(shù)據(jù)的增多，概率圓方法對于決策在試驗方案中最佳的檢驗門限也有著積極的參考作用。

2.3 檢出比λ的討論

在概率圓方法的應(yīng)用過程中，一般而言，試驗樣本n、射擊準(zhǔn)確度μ0和射擊密集度σ0已在武器裝備總體方案中進行明確，而檢出比λ的確定則會成為參試各方需要重點討論的問題。

假設(shè)μ0=100，σ0=500，CEP0=600m。當(dāng)試驗子樣n=6，檢驗門限為4的時候，調(diào)整檢出比λ可得試驗方案如表2所示。

表2 檢出比調(diào)整影響分析Tab.2 Th e effect of λ change

從這個案例可以發(fā)現(xiàn)，在試驗條件不變的情況下，通過調(diào)整檢出比能夠同時降低雙方風(fēng)險，且對應(yīng)的概率圓半徑隨著檢出比的增大而增大。

觀察公式(5)和公式(6)可以分析出，增大檢出比λ，研制方風(fēng)險α不變，使用方風(fēng)險β變小，此時雙方風(fēng)險不一致；通過放大概率圓半徑R，減小研制方風(fēng)險α，增大使用方風(fēng)險β，直到雙方風(fēng)險α、β接近，最后達到降低雙方風(fēng)險的目的。

往往有一些試驗設(shè)計者通過改變檢出比來調(diào)整試驗風(fēng)險，這種做法是不可取的。檢出比本質(zhì)上是體現(xiàn)了武器裝備某項指標(biāo)最低可接受值與設(shè)計值之間的關(guān)系，是一個確定值。我們來觀察公式(5)和公式(6)，可以看出，如果不設(shè)定檢出比，即檢出比為1，則P0=P1，α+β=1，那么不可能達到大體相當(dāng)且相對較低的雙方風(fēng)險。這也就是說如果研制方的設(shè)計值與使用方的最低可接受值較為接近的話，不能得到一個雙方滿意的試驗方案。規(guī)定值是研制方為達到最低可接受值且保證較小的試驗風(fēng)險下達的設(shè)計指標(biāo)。設(shè)計值越高，設(shè)計及生產(chǎn)的成本越高，試驗中被拒收的風(fēng)險越小。因此在試驗設(shè)計中不能通過調(diào)整檢出比來達到控制風(fēng)險的目的，檢出比是由設(shè)計來保證的。

3 基于概率圓的序貫檢驗方法

觀察表1可以看出，概率圓評定方法看似可以序貫進行，對應(yīng)每一階段的試驗子樣都有對應(yīng)的概率圓和雙方風(fēng)險，但是是否可以利用表1組織試驗評定值得商榷，下面我們先梳理一下概率圓評定方法的使用流程：

1）依據(jù)武器系統(tǒng)研制方案確定裝備的射擊準(zhǔn)確度μ0、射擊密集度σ0，計算得到CEP0；

2）依據(jù)武器系統(tǒng)設(shè)計方案確定檢出比λ；

3）使用方和研制方協(xié)商確定雙方能夠接受的試驗風(fēng)險α、β；

4）依據(jù)上述要素確定試驗方案，即確定試驗子樣數(shù)n和檢驗門限m*；

5）組織實施試驗，最后給出命中精度的評定結(jié)果。

由上述分析可以看出，在試驗方案制定過程中已經(jīng)確定雙方風(fēng)險，并且依據(jù)雙方風(fēng)險確定檢驗門限m*，那么表1的方法在試驗樣本小于m*時不能給出令雙方滿意的試驗結(jié)論。

仍作表1中的條件假設(shè)，同時假定雙方能夠接受的試驗風(fēng)險不大于0.17，即檢驗門限m*=7。分析表1可以看出在試驗子樣數(shù)小于7時給出的概率圓半徑試驗風(fēng)險均大于雙方可接受的試驗風(fēng)險，依據(jù)概率圓半徑不能給出試驗接收結(jié)論。但是如果某次試驗精度大于1390 m，那么依據(jù)概率圓半徑可以給出試驗拒收結(jié)論。

試驗方案設(shè)計中需要綜合考慮研制方風(fēng)險和使用方風(fēng)險，基本原則是兩者大體相當(dāng)且使用方風(fēng)險略低于研制方風(fēng)險。在試驗組織實施階段發(fā)現(xiàn)，裝備試驗表現(xiàn)出來的性能指標(biāo)優(yōu)于設(shè)計值，這時研制方愿意接收更大的試驗風(fēng)險以更快得出試驗結(jié)果。

基于以上分析，保證使用方風(fēng)險滿足要求，通過調(diào)整研制方風(fēng)險得到不同試驗階段的概率圓判據(jù)如表3所示。

這樣就可以得到既控制試驗風(fēng)險又節(jié)省試驗消耗的基于概率圓的序貫檢驗方法。當(dāng)試驗中只要有一發(fā)落點落入半徑為R1的圓內(nèi)時，即可停止試驗，做出接受原假設(shè)的決策。但是要考慮到精度指標(biāo)是一個概率性指標(biāo)，且一般隨機誤差占主要成分，通過較少試驗子樣得出評定結(jié)論試驗風(fēng)險較大。在試驗組織實施階段，建議序貫判斷一般在試驗子樣大于n/2之后。

表3 基于序貫的概率圓檢驗結(jié)果Tab.3 Result of sequential probability circle method

4 概率圓方法的運用實例

4.1 概率圓方法的仿真驗證

設(shè)計仿真試驗來驗證概率圓方法的實際應(yīng)用效果。仍沿用上述的假設(shè)條件：μ0=100，σ0=500，CEP0=600 m，λ=1.5，n=8。分別進行命中精度為 CEP0/λ、CEP0、CEP0·λ三種試驗輸入的仿真試驗，試驗次數(shù)設(shè)為10000次，檢驗概率圓方法和序貫概率圓方法做出接收和拒收的概率。當(dāng)試驗次數(shù)大于4時給出序貫判斷。

表4 仿真子樣信息Tab.4 Information of simulation samples

觀察仿真試驗結(jié)果，可以得出如下結(jié)論：

1）當(dāng)裝備命中精度為CEP0時，研制方拒收風(fēng)險為17.2%，當(dāng)裝備命中精度為CEP0·λ，使用方接收風(fēng)險為16.7%。概率圓方法的仿真試驗結(jié)果與表1中的理論計算結(jié)果基本吻合；

2）概率圓方法與基于序貫的概率圓方法試驗結(jié)果大致相當(dāng)，說明基于序貫的概率圓方法試驗結(jié)果是可信的，且能夠很大程度上節(jié)省試驗成本；

3）當(dāng)裝備命中精度實際性能高于合同規(guī)定值時，本試驗中假定高1.5倍，概率圓方法做出誤判的可能性是很小的。一方面驗證了概率圓方法的有效性，另一方面說明了在此情況下利用序貫方法提前做出判斷是正確的。

4.2 試驗中的具體運用

以近年完成鑒定的某型遠程彈道式飛行器試驗結(jié)果為方法驗證子樣，其中大部分為實際飛行子樣，其余為依據(jù)地面試驗信息的仿真補充子樣。為保密起見，試驗結(jié)果進行了等比例降密處理，假定CEP0為1000，μ0=167、σ0=833，n=8。令λ=1.5，m*=7，得到的概率圓檢驗方法如表5所示。

表5 基于序貫的概率圓試驗設(shè)計Tab.5 The test design of probability circle method

試驗共取得了7個有效試驗子樣，試驗結(jié)果如表6所示。

表6 基于序貫的概率圓檢驗結(jié)果Tab.6 The result of probability circle method

依據(jù)本文中提出的基于序貫的概率圓方法，可以對試驗結(jié)果做出如下判斷：

1）7次試驗落點偏差均小于1848，說明命中精度試驗結(jié)果滿足指標(biāo)要求，即命中精度滿足CEP0=1000的指標(biāo)要求；

2）第3次試驗落點偏差為1796，查表5可得需至少完成7次試驗方可得出試驗結(jié)論，即無法利用基于序貫的概率圓方法提前給出試驗結(jié)論；

3）試驗結(jié)果分布整體情況較為均勻，且出現(xiàn)不能提前做出試驗判斷的打靶結(jié)果，初步分析認(rèn)為被試裝備精度指標(biāo)水平不會明顯優(yōu)于設(shè)計指標(biāo)。

5 結(jié) 論

本文在假定縱橫向的射擊密集度和射擊準(zhǔn)確度滿足正態(tài)分布條件下完成了概率圓檢驗方法關(guān)系式推導(dǎo)，進而結(jié)合裝備試驗鑒定工作討論了檢驗門限、研制方風(fēng)險、使用方風(fēng)險和檢出比等參數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，提出了在小子樣試驗條件下檢驗命中精度指標(biāo)的序貫概率圓方法，并進行了序貫概率圓檢驗方法實際應(yīng)用策略研究，最后利用仿真算例和實際試驗結(jié)果驗證了該方法的可行性。該檢驗方法基于的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)充分易得，理論推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)可靠，使用過程簡捷高效，為靶場以及研制方進行命中精度檢驗提供了一套可行的工程應(yīng)用方法。

（References）：

[1]鄭小兵, 董景新, 張志國, 等.彈道導(dǎo)彈落點密集度綜合評定方法.中國慣性技術(shù)學(xué)報, 2011, 19(4): 211-216.Zheng X B, Dong J X, Zhang Z G, et al.Comprehensive evaluation method for falling points’ dispersion of ballistic missile[J].Journal of Chinese Inertial Technology,2011, 19(4): 211-216.

[2]Zhang S, Duan X, Li C, et al.CEP calculation based on weighted bayesian mixture model[J].Mathematical Problems in Engineering, 2017(5): 1-7.

[3]許永飛, 張士峰.慣導(dǎo)平臺自標(biāo)定中安裝誤差可觀性分析[J].中國慣性技術(shù)學(xué)報, 2015, 23(5): 575-579.Xu Y F, Zhang S F.Observability analysis of IMU’s misalignment angles in self-calibration for inertial platform[J].Journal of Chinese Inertial Technology, 2015,23(5): 575-579.

[4]Peng W, Fang Y W, Zhang R, et al.Weapon systems accuracy evaluation using the error spectrum[J].Aerospace Science and Technology, 2016, 58(2): 369-379.

[5]Zhang D Y, Song B W, Zhu Z Q.The accuracy assessment of weapon system using grey linear regression method[J].Applied Mechanics and Materials, 2013, 268: 1809-1813.

[6]Dong G, He C, Dai Z, et al.Bayesian sample size optimization method for integrated test design of missile het accuracy[C]//Proceedings of the 5th International Conference on Simulation and Modeling Methodologies,Technologies and Applications.2015: 226-235.

[7]Eltohamy K G, Kuo C Y.Analysis of nonlinear missile guidance systems through linear adjoint method[J].Smart Science, 2015, 3(4): 170-175.

[8]程光顯, 張世峰.導(dǎo)彈落點精度的鑒定方法―概率圓方法[J].國防科技大學(xué)學(xué)報, 2001, 23(5): 13-16.Cheng G X, Zhang S F.Assessment for the accuracy of the fail points: probability circle method[J].Journal of National University of Defense Technology, 2001, 23(5): 13-16.

[9]張樂, 李武周, 巨養(yǎng)峰, 等.基于圓概率誤差的定位精度評定方法[J].指揮控制與仿真, 2013, 35(1): 111-114.Zhang L, Li W Z, Ju Y F, et al.Position accuracy evaluation method based on CEP[J].Command Control & Simulation,2013, 35(1): 111-114.

[10]張領(lǐng)科, 董家強.基于概率圓序貫檢驗的彈道一致性評定方法[J].彈道學(xué)報, 2009, 21(4): 26-28.Zhang L K, Dong J Q.Trajectory consistence evaluation method based on probability circle and sequential test[J].Journal of Ballistics, 2009, 21(4): 26-28.

[11]Zhang L, Li W Z, Ju Y F, et al.Positioning accuracy evaluation method based on CEP[J].Command Control &Simulion, 2013, 35(1): 111-114.

Sequential probability circle method for accuracy evaluation in small sample case

ZHENG Xiao-bing1, SUN Ao1, LEI Gang2, WANG Bao-he1, LIU Wen-chao1
(1.Unit 91550 of PLA, Dalian 116023, China; 2.Xi’an High-Tech Research Institution, Xi’an 710025, China)

The accuracy evaluation in small sample case is very important for strategic missile test, and it is hypothesis test for unknown parameter.Sequential probability circle method for accuracy evaluation is proposed based on analysis of both producer risk and user risk in equipment flying test.Computation of probability circle is framed based on probability density function of impact point.Calculating process and simulation example are designed in the condition of supposition.The relationship of probability circle radius,test sample and both risks is founded.The principle of checkup proportion is discussed.The progressive method of conventional probability circle test is advanced based on invariability of user risk.Simulation experiment results show that the sequential probability circle method can keep checkup precision and improve test benefit.The flight test results approve the feasibility of this method.

small sample; accuracy evaluation; probability circle; sequential

U666.1

A

1005-6734(2017)05-0566-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.05.002

2017-05-18；

207-08-23

國家自然科學(xué)基金（41506220）；軍內(nèi)科研項目

鄭小兵（1978—），男，博士，高級工程師，研究方向為導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制。E-mail: zhengxb07@126.com