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    淺談數(shù)學(xué)競(jìng)賽中平面幾何解題的小技巧

    2017-11-28 01:07:59李昊然
    卷宗 2017年31期
    關(guān)鍵詞:平面幾何數(shù)學(xué)

    摘 要:當(dāng)前,全國(guó)高中各學(xué)科聯(lián)合競(jìng)賽已成為普遍現(xiàn)象,它不僅能發(fā)揮的學(xué)生們的特長(zhǎng),也是各類高校自主招生的一個(gè)參考依據(jù)。對(duì)于那些學(xué)有余力的理科學(xué)生來說,積極參與數(shù)、理、化、生的全國(guó)聯(lián)合競(jìng)賽更是他們展現(xiàn)能力的一個(gè)舞臺(tái)。筆者作為數(shù)學(xué)競(jìng)賽的參與者,從平面幾何學(xué)習(xí)和競(jìng)賽中總結(jié)一些個(gè)人心得,以期對(duì)后來的參與者得到一些幫助,并希望與大家共同學(xué)習(xí)和交流。

    關(guān)鍵詞:全國(guó)高中;數(shù)學(xué);聯(lián)合競(jìng)賽;平面幾何

    在平面幾何中,有著一個(gè)非常重要的定理,梅涅勞斯定理,即 (一種基本形式)。這個(gè)定理在平面幾何中用處之廣不

    必多說,許多同學(xué)把其當(dāng)作一個(gè)非?;A(chǔ)的定理,因?yàn)橥ㄟ^它可以推導(dǎo)出帕斯卡定理等。但是梅氏定理真的是那么基本嗎?我看并不是這樣,梅氏定理也可以通過共邊定理來證明。證明如下:

    ,即

    這樣說明了一個(gè)什么問題呢?即用梅涅勞斯定理證明的題目均可以使用共邊定理來進(jìn)行證明,有時(shí)只是解答復(fù)雜的問題,但是一定可以做出,而共邊定理的本質(zhì)即是三角形的面積比例,這應(yīng)該算是一個(gè)非?;镜亩ɡ?,下面我舉一例子加以說明。

    例一:(如圖二)

    P為⊙O外一點(diǎn),PA、PB分別切⊙O于A、B,C為⊙O上一點(diǎn),過C作⊙O切線,分別交PA、PB于E、F,OC交AB于L,LP交EF于D,證明D為EF的中點(diǎn)。(1991年四川隊(duì)題)

    證明:

    =

    ∴DE=DF #

    由此可以發(fā)現(xiàn)這道題可以用共邊定理一口氣解決。但是對(duì)于競(jìng)賽,許多同學(xué)感到困惑,這個(gè)是怎么想到的呢?難道是天分嗎?不對(duì),這其中是有小技巧的。

    從題目中,我們可以得到:A、B是圓上的兩任意點(diǎn),這兩個(gè)點(diǎn)是沒有任何限制的,因此可以理解為初始點(diǎn),記做“0”,而P點(diǎn)是過B、C兩切線的交點(diǎn),只要BC位置確定,P點(diǎn)即確定,其中P與AB的關(guān)系為∠PBO=∠PAO=90°,即PB=PA,∴P由初始點(diǎn)確定,P也記做“0”級(jí)。C為任意點(diǎn),∴C記做“0”級(jí),L由CO,AB確定,∵C、O、A、B均為初始點(diǎn),∴L為“1”級(jí),E、F由PB與PA和C點(diǎn)確定,∴E、F為“1”級(jí),而D點(diǎn)由PL、EF確定,∴將D點(diǎn)記做“2”級(jí),題目即證:DE=DF,不難發(fā)現(xiàn),D為本題中最復(fù)雜的點(diǎn),而題目正是要證明這東西的相關(guān)性質(zhì),利用共邊定理,從D點(diǎn)出發(fā)一步一步還原,消去點(diǎn)D,當(dāng)還原到基本點(diǎn)時(shí),結(jié)果必定可以約掉,若約不掉,則題目有問題,下面舉一例子加以說明。

    例二:在△ABC中,D為BC上任一點(diǎn),O為△ABC內(nèi)任一點(diǎn),BO交AC于N,CO交AB于M,DO交BA于E,AD交BN于F,MG交EN于G,證明G在BC上。

    證明:“0”級(jí)的點(diǎn):A、B、C、D、O

    “1”級(jí)的點(diǎn):M、N、E

    “2”級(jí)的點(diǎn):F

    “3”級(jí)的點(diǎn):G

    ∴從G開始消去,題目可以這樣理解,MF交BC于G,EN交BC于G',只需證明即證畢。(這樣就將共線問題轉(zhuǎn)化成線段的比例問

    題,就可以考慮使用共邊定理)

    聯(lián)立①②即證明:

    即即

    (先消去C,再消去E、F,由于M、N在AB,AC上,非常容易表達(dá),故最后消去M、N)。由于共邊定理是利用的面積比,而在三角形的面積公式中一個(gè)為,這樣便與一個(gè)三角形的角度結(jié)合起

    來。因?yàn)楣策叾ɡ韮H是邊之間的轉(zhuǎn)化,不易解決角之間的問題,利用此公式便可與角度產(chǎn)生聯(lián)系,同時(shí)在三角函數(shù)中正弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化,下面舉一三角函數(shù)相結(jié)合的例子。

    例三:如圖四,三角形ABC中,BF⊥AC,CE⊥AB,D哦BC的中點(diǎn),DE交AC于M,DF交BE于N,O為ΔABC的圓心,H為垂心,延長(zhǎng)OH,做AI⊥OH于I,證明M、I、A、N四點(diǎn)共圓。

    證明:M、I、A、N四點(diǎn)共圓

    ∴E、I、A、F、H五點(diǎn)共圓

    ∴ 證

    ∴考慮證明

    即證明

    一方面:

    對(duì)ΔBHO與ΔCHO考慮使用正弦定理

    則 ①

    另一方面:的比例轉(zhuǎn)化,考慮ΔMDF與ΔNED

    結(jié)合①②,只需證

    同理,原③式得證#

    本題證明四點(diǎn)共圓不必多說。轉(zhuǎn)化到邊比例之后可以考慮共邊定理,但是涉及到許多的角度,故用共邊定理轉(zhuǎn)化具有一定的難度,所以可以考慮用三角的相關(guān)知識(shí)去解題,在這之中,同樣可以考慮消點(diǎn)的思想,盡量將復(fù)雜的邊轉(zhuǎn)化到基礎(chǔ)的邊上,如,當(dāng)觀

    察到時(shí),問題便基本解決了,若觀察不出,則也可以按例二的方式逐步消定。

    參考文獻(xiàn)

    [1]張景中 《新概念幾何》 中國(guó)兒童新聞出版總社2004.5

    [2]馬洪炎 《平面幾何》 浙江大學(xué)出版社2007.6

    [3]范端喜 鄧博文 《奧林匹克小叢書之平面幾何》 華東師范大學(xué)出版社 2013.1

    作者簡(jiǎn)介

    李昊然(2000-),男,重慶人,西南大學(xué)附屬中學(xué)高中2018級(jí)10班應(yīng)屆學(xué)生,獲得2017年9月全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽二等獎(jiǎng)獲得者。endprint

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